В.Б. Алекссев - Сложные алгоритмы (1132790), страница 8
Текст из файла (страница 8)
w^ASTNOSTI 'i (i) = f (i) I ZNA^IT OPREDELENO. dOPUSTIM, ^TO ti(i) 6 T (i).tOGDA PO OPREDELENI@ f (x) POLU^AEM: ESLI 'i (i) = 0, TO f (i) = 1, A ESLI'i(i) =6 0, TO f (i) = 0. w L@BOM SLU^AE f (i) =6 'i(i) | PROTIWORE^IE.sLEDOWATELXNO (OT PROTIWNOGO) ti(i) > T (i). tEOREMA DOKAZANA.tEOREMA. dLQ L@BOJ OB]EREKURSIWNOJ FUNKCII T (x) SU]ESTWUET OB]EREKURSIWNAQ FUNKCIQ f (x) PRINIMA@]AQ TOLXKO ZNA^ENIQI I TAKAQ ^TO DLQ L@BOJ MA[INY tX@RINGA Mi WY^ISLQ@]EJ f (x)SU]ESTWUET BESKONE^NOE ^ISLO ZNA^ENIJ x DLQ KOTORYH WYPOLNQETSQNERAWENSTWO ti (x) > T (x)dOKAZATELXSTWO pUSTX g(x) = x ; (bpxc)2. tOGDA FUNKCIQ g(x) WY^ISLIMA I WS@DU OPREDELENA (TO ESTX OB]EREKURSIWNA). pRI x = 0; 1; 2; 3; : : : FUNKCIQ g(x) PRINIMAET ZNA^ENIQ.|,,-..-,12,,,..390,0; 0; 1; 2; 0; 1; 2; 3; 4; 0; 1; : : : .
lEGKO DOKAZATX, ^TO FUNKCIQ g(x) PRINIMAET KAVDOE ZNA^ENIE IZ Z + BESKONE^NOE ^ISLO RAZ. oPREDELIM FUNKCI@f (x) SLEDU@]IM OBRAZOM:(f (x) = 1; ESLI tg(x)(x) 6 T (x) I 'g(x) (x) = 0;(13)0; INA^E:tOGDA FUNKCIQ f (x) OB]EREKURSIWNA (DOKAZYWAETSQ TAK VE, KAKW PREDYDU]EJ TEOREME). pUSTX MA[INA Mi WY^ISLQET f (x), TO ESTXf (x) = 'i(x). pUSTX j - L@BOE ^ISLO, TAKOE, ^TO g(j ) = i (TAKIH jBESKONE^NO MNOGO).
dOPUSTIM, ^TO ti (j ) 6 T (j ). tOGDA PO OPREDELENI@f (x) POLU^AEM: ESLI 'i (j ) = 0, TO f (j ) = 1, A ESLI 'i (j ) 6= 0 , TOf (j ) = 0. w L@BOM SLU^AE f (j ) 6= 'i (j ) - PROTIWORE^IE. sLEDOWATELXNO,ti(j ) > T (j ). tEOREMA DOKAZANA.sPRAWEDLIWO E]E BOLEE SILXNOE UTWERVDENIE, KOTOROE MY PRIWEDEM BEZ DOKAZATELXSTWA.tEOREMA. dLQ L@BOJ OB]EREKURSIWNOJ FUNKCII T (x) SU]ESTWUET OB]EREKURSIWNAQ FUNKCIQ f (x) PRINIMA@]AQ TOLXKO ZNA^ENIQI I TAKAQ ^TO DLQ L@BOJ MA[INY tX@RINGA Mi WY^ISLQ@]EJf (x) MNOVESTWO TEH x DLQ KOTORYH ti(x) 6 T (x) KONE^NOtEOREMY POKAZYWA@T, ^TO SU]ESTWU@T SKOLX UGODNO SLOVNO WY^ISLIMYE OB]EREKURSIWNYE FUNKCII S DWUMQ ZNA^ENIQMI (ILI, ^TO\KWIWALENTNO, SKOLX UGODNO SLOVNO RASPOZNAWAEMYE QZYKI).
wOZNIKAETWOPROS: A KAKOJ WOOB]E MOVET BYTX SLOVNOSTX ZADA^ (QZYKOW)? sU]ESTWENNYJ OTWET NA \TOT WOPROS DAET SLEDU@]AQ TEOREMA, KOTORU@MY PRIWODIM BEZ DOKAZATELXSTWA.tEOREMA. pUSTX OB]EREKURSIWNYE FUNKCII t(n) I T (n) TAKOWYT(n)^TO t(n) log2 t(n) ! 1 PRI n ! 1 tOGDA SU]ESTWUET QZYK L KOTORYJ RASPOZNAETSQ NEKOTOROJ MA[INOJ tX@RINGA S ^ISLOM [AGOW NEBOLEE T (n) DLQ WSEH WHODNYH SLOW L@BOJ DLINY n I NE RASPOZNAETSQNIKAKOJ MA[INOJ tX@RINGA S ^ISLOM [AGOW t(n)|TA TEOREMA POKAZYWAET, ^TO WOZMOVNYE FUNKCII SLOVNOSTIQZYKOW OBRAZU@T DOWOLXNO PLOTNOE MNOVESTWO. mOVNO LI POLU^ITXREZULXTAT O BOLX[EJ PLOTNOSTI W OB]EM SLU^AE NEIZWESTNO.
oDNAKODLQ ODNOGO WAVNOGO INTERWALA MY SEJ^AS POLU^IM OTRICATELXNYJ OTWET. a IMENNO, MY POKAVEM, ^TO NE SU]ESTWUET QZYKOW SO SLOVNOSTX@RASPOZNAWANIQ PO PORQDKU MEVDU n I n log n.-,012,,,,,.,.,().40-rEGULQRNYE QZYKIrEGULQRNYE QZYKI | \TO QZYKI, RASPOZNAWAEMYE AWTOMATAMI. w\TOM KONTEKSTE AWTOMAT MOVNO OPREDELITX KAK MA[INU tX@RINGA SOSLEDU@]IMI OGRANI^ENIQMI: GOLOWKA MA[INY NA KAVDOM [AGE DWIVETSQ WPRAWO ILI MA[INA OSTANAWLIWAETSQ; MA[INA OSTANAWLIWAETSQTOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA GOLOWKA OBOZREWAET SIMWOL ; MA[INAOSTANAWLIWAETSQ W ODNOM IZ DWUH SOSTOQNIJ q0 ("PRINQTX") ILI q00("OTWERGNUTX").oPREDELENIE.
pUSTXC - LENTO^NYJ ALFAWIT AWTOMATA M I A =C nfg. pUSTX L A . bUDEM GOWORITX, ^TO AWTOMAT M RASPOZNAETQZYK L, ESLI DLQ L@BOGO SLOWA a 2 A RABOTA M PRI WHODNOM SLOWEa (W STANDARTNOJ NA^ALXNOJ KONFIGURACII) ZAKAN^IWAETSQ SOSTOQNIEMq0, ESLI a 2 L, I ZAKAN^IWAETSQ SOSTOQNIEM q00 , ESLI a 2= L.oPREDELENIE. pUSTX A - NEKOTORYJ ALFAWITI L A - NEKOTORYJ QZYK W ALFAWITE A.
dLQ KAVDOGO SLOWA a 2 A OSTATO^NYJ QZYKLb OPREDELIM SLEDU@]IM OBRAZOMb 2 La () ab 2 L:qZYK NAZYWAETSQ REGULQRNYM, ESLI U NEGO LI[X KONE^NOE ^ISLO RAZLI^NYH OSTATO^NYH QZYKOW. (zDESX RASSMATRIWAETSQ I b = | PUSTOESLOWO; PRI \TOM 2 La () a 2 L).w TEORII AWTOMATOW I QZYKOW DOKAZYWAETSQ SLEDU@]AQ TEOREMA(SM., NAPRIMER, [ ]).tEOREMA. qZYK RASPOZNAWAEMYJ L@BYM AWTOMATOM REGULQREN dLQ L@BOGO REGULQRNOGO QZYKA SU]ESTWUET RASPOZNA@]IJ EGOAWTOMATsLEDSTWIE. eSLI QZYK L REGULQREN TO DLQ NEGO SU]ESTWUETRASPOZNA@]AQ EGO MA[INA tX@RINGA WREMQ RABOTY KOTOROJ ^ISLO[AGOW NA KAVDOM WHODNOM SLOWE DLINY n RAWNO n + 1oKAZYWAETSQ, ^TO NE SU]ESTWUET QZYKOW, DLQ RASPOZNAWANIQ KOTORYH NA MA[INAH tX@RINGA DOSTATO^NO WREMENI SU]ESTWENNO MENX[EGO, ^EM n log2 n (n - DLINA WHODNOGO SLOWA) I NE DOSTATO^NO WREMENIn + 1. bOLEE TO^NO \TO WYRAVAETSQ W PRIWODIMYH NIVE TEOREMAH.oPREDELENIE.
rASSMOTRIM TO^KU NA LENTE MA[INY tX@RINGAMEVDU Q^EJKAMI S NOMERAMI i I i + 1. sLEDOM W \TOJ TO^KE PRI RABOTEMA[INY NA NEKOTOROM WHODNOM SLOWE BUDEM NAZYWATX POSLEDOWATELXNOSTX WSEH SOSTOQNIJ, W KOTORYE PEREHODIT MA[INA, KOGDA EE GOLOWKASME]AETSQ IZ Q^EJKI i W Q^EJKU i + 1 ILI NAOBOROT (TO ESTX PROHODITNAD \TOJ TO^KOJ).1),,-. 2).,,)(.41tEOREMA. pUSTX MA[INA tX@RINGA M RASPOZNAET QZYK L AI PUSTX SU]ESTWUET KONSTANTA c > 0 TAKAQ ^TO PRI RABOTE M NAL@BOM WHODNOM SLOWE a 2 A DLINA SLEDA W L@BOJ TO^KE NE PREWOSHODIT c tOGDA L REGULQRNYJ QZYK LEDOWATELXNO SU]ESTWUETAWTOMAT RASPOZNA@]IJ L S c = 1dOKAZATELXSTWO pUSTX a 2 A.
pOSTROIM MNOVESTWO Da WSEHSLEDOW, KOTORYE MOGUT POLU^ITXSQ PRI RABOTE M NA SLOWAH WIDAax 2 A W TO^KE i, RAZDELQ@]EJ a I x. pUSTX SLED qi1 qi2 qi3 : : : qis 2 Da.rASSMOTRIM RABOTU MA[INY M SLEWA OT RAZDELQ@]EJ TO^KI. oNA ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SLOWOM a I TEMI SOSTOQNIQMI qi2 ; qi4 ; : : : ; W KOTORYHNAHODITSQ MA[INA, KOGDA GOLOWKA WOZWRA]AETSQ NA LEWU@ ZONU ^EREZTO^KU i. pO USLOWI@ s 6 c. eSLI s | ^ETNO, TO MA[INA OSTANAWLIWAETSQSLEWA OT TO^KI i.
w \TOM SLU^AE K POSLEDOWATELXNOSTI qi1 qi2 qi3 PRIPI[EM+, ESLI M OSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNII "PRINQTX", I PRIPI[EM ;,ESLI M OSTANAWLIWAETSQ W SOSTOQNII "OTWERGNUTX". tAK KAK s 6 c,TO WOZMOVNYH SLEDOW KONE^NOE ^ISLO I RAZNYH WOZMOVNYH MNOVESTWDa TAKVE KONE^NOE ^ISLO. tOGDA UTWERVDENIE TEOREMY WYTEKAET IZSLEDU@]EJ LEMMY.lEMMA. eSLI Da = Db TO OSTATO^NYE QZYKI La = Lb SOWPADA@TdOKAZATELXSTWO pUSTX x - L@BOE SLOWO IZ A. rASSMOTRIM RABOTU M NA SLOWAH ax I bx.
pUSTX qi1 qi2 qi3 : : : qis I qj1 qj2 : : : qjm | SLEDYW TO^KAH, RAZDELQ@]IH a I x, b I x. zAMETIM, ^TO RABOTA SPRAWA OTRAZDELQ@]IH TO^EK ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SLOWOM x I SOSTOQNIQMIqi1 qi3 qi5 : : : I qj1 qj3 qj5 : : : , W KOTORYH GOLOWKA PEREHODIT ^EREZ RAZDELQ@]IE TO^KI WPRAWO. pRI \TOM qi1 I qj1 ODNOZNA^NO OPREDELQ@TSQ PO a Ib. tAK KAK Da = Db, TO qi1 = qj1 I RABOTA SPRAWA POSLE PERWOGO PEREHODA ^EREZ RAZDELQ@]IE TO^KI PROISHODIT ODINAKOWO. tOGDA qi2 = qj2 .oPQTX, TAK KAK Da = Db, TO qi3 = qj3 I OPQTX RABOTA SPRAWA PROISHODITODINAKOWO. pOSLEDOWATELXNO POLU^AEM, ^TO s = m I qir = qjr DLQ WSEHr = 1; 2; : : : ; s.
eSLI s NE^ETNO, TO POSLE PEREHODA WPRAWO W SOSTOQNIIqis W OBOIH SLU^AQH RABOTA SPRAWA BUDET ODINAKOWOJ I, SLEDOWATELXNO,M OSTANOWITSQ W ODNOM I TOM VE SOSTOQNII. eSLI s ^ETNO, TO MA[INAW OBOIH SLU^AQH OSTANOWITSQ SLEWA OT RAZDELQ@]EJ TO^KI, PRI^EM WODNOM I TOM VE SOSTOQNII, POSKOLXKU Da = Db I SLED qi1 qi2 : : : qis W OBOIHMNOVESTWAH DOPOLNEN ODNIM I TEM VE ZNAKOM + ILI ;. tAKIM OBRAZOM,M PRINIMAET SLOWO ax TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONA PRINIMAETSLOWO bx, TO ESTX LIBO OBA SLOWA WHODQT W L, LIBO OBA NE WHODQT W L.pO\TOMU La = Lb.
|TIM DOKAZANA LEMMA, A WMESTE S NEJ I TEOREMA.,-.|. (C,,)..,-..42dOKAVEM TEPERX NESKOLXKO LEMM, KOTORYE ISPOLXZUEM W SLEDU@]EJ TEOREME.lEMMA. pUSTX A = fa1; a2; : : : ; arg ALFAWIT b1; b2; : : : ; bnRAZNYE SLOWA W \TOM ALFAWITE li DLINA SLOWA bi I lmax = maxi litOGDA lmax > c log2 n GDE c > 0 NEKOTORAQ KONSTANTA ZAWISQ]AQTOLXKO OT rdOKAZATELXSTWO wSE n SLOW IME@T DLINU, NE PREWOSHODQ]U@lmax. nO WSEGO TAKIH SLOW MENX[E, ^EM rlmax +1 (SM. LEMMU). pO\TOMUn 6 rlmax +1, lmax > logr n ; 1 > c1 logr n = logc12 r log2 n. lEMMA DOKAZANA.lEMMAP.
pRIUSLOWIQH LEMMY SU]ESTWUET KONSTANTA c > 0nTAKAQ ^TO i=1 li > cn log2 ndOKAZATELXSTWO ~ISLO WSEH pSLOWDLINYMENX[EJ, ^EM b 21 logr ncb 12 logr nc 6 r 12 logr n = n. pO\TOMU SREDI SLOW bi NE MENEE,NE PREWOSHODITr^EM n ; pn SLOW, IME@T DLINU NE MENX[E ^EM b 12 logr nc. pO\TOMUnXpli > (n ; n)b 12 logr nc > cn log2 n|,,,||.|,..,..i=1DLQ NEKOTOROJ KONSTANTY c.lEMMA. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX n1; n2; : : : ; nk; : : : NE OGRANI^ENA SWERHU tOGDA IZ NEE MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTXni1 ; ni2 ; : : : TAKU@ ^TO DLQ L@BOGO s I WSEH 1 6 j < is WYPOLNQETSQ-.,nj < nisdOKAZATELXSTWO pERWYM \LEMENTOM PODPOSLEDOWATELXNOSTIWOZXMEM n1. pUSTX UVE WYBRANY ni1 ; ni2 ; : : : ; nir . tOGDA, PROSMATRIWAQ\LEMENTY PO PORQDKU POSLE nir , W KA^ESTWE O^EREDNOGO \LEMENTA WYBIRAEM PERWYJ \LEMENT nir+1 , BOLX[IJ, ^EM nir .
eSLI WSE \LEMENTY njISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI S j = 1; 2; : : : ; i2 ; 1 MENX[E, ^EM nir , TO,POSKOLXKU nir+1 > nir , A WSE \LEMENTY MEVDU nir I nir +1 NE PREWOSHODQTnir , TO WSE \LEMENTY nj S j = 1; 2; : : : ; ir+1 ; 1 MENX[E, ^EM nir +1. tAKIMOBRAZOM PO INDUKCII PROWERQETSQ TREBUEMOE SWOJSTWO. tO, ^TO nir +1 SU]ESTWUET, SLEDUET IZ NEOGRANI^ENNOSTI ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI.oBOZNA^IM ^EREZ M (ab) SLED PRI RABOTE MA[INY tX@RINGA MNA SLOWE ab W TO^KE, RAZDELQ@]EJ a I b.lEMMA. pUSTX a; b; c NEKOTORYE SLOWA I PUSTX M (ajbc) =M (abjc) tOGDA PRI RABOTE M NA SLOWE ac SLEWA I SPRAWA OT TO^KIRAZDELQ@]EJ a I c MA[INA RABOTAET TAK VE KAK NA SOOTWETSTWU@]IH ^ASTQH PRI RABOTE NA abcdOKAZATELXSTWO rASSMOTRIM RABOTU MA[INY M NA SLOWE abcTOLXKO NA 2 ^ASTQH LENTY: SLEWA I SPRAWA OT b.
pOSKOLXKU M (ajbc) =..|.,,,..43-M (abjc), TO PRI WYBRASYWANII ^ASTI LENTY, NA KOTOROJ ZAPISANO b, ISKLEIWANII OSTAW[IHSQ ^ASTEJ KORREKTNO "SKLEIWA@TSQ" I PROCESSYRABOTY M NA \TIH ^ASTQH.tEOREMA. pUSTX MA[INA tX@RINGA M RASPOZNAET QZYK L ApUSTX dM (n) MAKSIMALXNAQ DLINA SLEDOW W TO^KAH 1; 2; : : : ; n PRIRABOTE MA[INY M NA WSEH SLOWAH a A DLINY n A TM (n)MAKSIMALXNOE WREMQ WY^ISLENIQ ^ISLO [AGOW MA[INY M NA SLOWAHDLINY n IZ A tOGDA ESLI WYPOLNQETSQ HOTQ BY ODNO IZ DWUH USLOWIJA dM (n) = o(log n) B TM (n) = o(n log n) TO L REGULQRNYJ QZYKdOKAZATELXSTWO TEOREMY (OT PROTIWNOGO). dOPUSTIM, ^TO L |NE REGULQRNYJ QZYK. tOGDA PO TEOREME dM (n) NEOGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX. pO LEMME IZ NEE MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTXn1; n2; : : : TAKU@, ^TOdM (n) < dM (ni)(14)DLQ WSEH n < ni (i = 1; 2; : : : ):lEMMA. pUSTX n1; n2; : : : UDOWLETWORQ@T I ai SLOWO DLINYni NA KOTOROM DOSTIGAETSQ dM (ni) tOGDA PRI RABOTE M NA SLOWEai ODIN I TOT VE SLED W TO^KAH 1; 2; : : : ; ni NE MOVET POWTORQTXSQBOLEE ^EM RAZAdOKAZATELXSTWO pREDPOLOVIM, ^TO ai = abcd I M (ajbcd) =M (abjcd) = M (abcjd), GDE a, b, c | NE PUSTYE SLOWA.
pRI RABOTE MNA SLOWE ai ESTX SLEDY DLINY dM (ni). pO KRAJNEJ MERE ODIN TAKOJ SLEDLIBO NE LEVIT WNUTRI b, LIBO NE LEVIT WNUTRI c. tOGDA PO LEMME ONSOHRANITSQ PRI RABOTE M LIBO NA SLOWE acd, LIBO NA SLOWE abd, NO\TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO dM (n) < dM (ni) DLQ WSEH n < ni. lEMMADOKAZANA.iZ \TOJ LEMMY POLU^AEM, ^TO PRI RABOTE M NA SLOWE ai W TO^KAH 1; 2; : : : ; ni IMEETSQ NE MENEE n2i RAZNYH SLEDOW. tOGDA PO LEMMAMdM (ni) > c log2 n2i , I SUMMA DLIN \TIH RAZNYH SLEDOW, A ZNA^IT IWREMQ RABOTY MA[INY M , NE MENX[E, ^EM cni log2 n2i , GDE c - NEKOTORAQKONSTANTA. eSLI WYPOLNENO USLOWIE A) ILI B) IZ TEOREMY, TO POLU^AEM PROTIWORE^IE.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
