14. Доопределение теорий. Теория множеств Цермело-Френкеля - сигнатура, аксиомы, вопрос непротиворечивости (1131935), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. .}?Достаточно однозначно отобразить каждый элемент uмножества N0 в пару {0, u}FuncA [ϕ(exn , x, y)] — это сокращение для∀x (x ∈ A → ∃!y ϕ(exn , x, y))ImA,B [ϕ(exn , x, y)] — это сокращение для∀y (y ∈ B ↔ ∃x (x ∈ A & ϕ))Схема преобразования A→ (ϕ(exn , x, y)):∀exn ∀A (FuncA [ϕ] → ∃B ImA,B [ϕ])Схема преобразованияПрименение схемы преобразования:(ϕ: y = {∅, x})A= , A2 , A∞ , A↓ , A→ (ϕ) |= ∃!x ImN0 ,x [ϕ]Значит, теперь можно доказать существование и единственностьмножества {{0} , {0, 1} , {0, 2} , . .

.}noNА существует ли множество N0 , 2N0 , 22 0 , . . . ?Это вопрос крайне непростой — оставим его в стороне,довольствуясь наличием тех множеств, которые уже полученыОсталось описать аксиому A↓Аксиома регулярностиБыло бы неплохо уметь доказывать не только существование, нои несуществование множествВсе предложенные ранее аксиомы утверждают существованиемножеств, но никак не запрещают нам предполагать наличиепарадоксальных множеств, таких какI множество всех множеств (парадокс Кантора)I множество всех множеств, не содержащих себя в качествеэлемента (парадокс Рассела)Аксиома регулярности (фундирования) A↓ :∀x (x 6= ∅ → ∃y (y ∈ x & x ∩ y = ∅))И как это поможет нам исключить парадоксальные множества?Отрицание аксиомы регулярности трактуется так:существует непустое множество x, такое чтодля любого его элемента y верно x ∩ y 6= ∅Аксиома регулярностиСуществует непустое множество x, такое чтодля любого его элемента y верно x ∩ y 6= ∅Рассмотрим произвольный элемент x1 множества xТогда x1 ∩ x 6= ∅Выберем множество x2 , такое что x2 ∈ x1 ∩ xТогда x2 ∩ x 6= ∅...В итоге получим бесконечную последовательность множествx1 , x2 , x3 , .

. . , такую чтоx2 ∈ x1 ,x3 ∈ x2 ,x4 ∈ x3 ,...Аксиома регулярности утверждает, что такойпоследовательности множеств не существуетАксиома регулярностиx1 , x2 , x3 , . . . — последовательность множествx2 ∈ x1 , x3 ∈ x2 , x4 ∈ x3 , . . .И как же отсутствие такой последовательности спасает отпарадоксов?Пример: не существует множества всех множеств Ω(. .

. |= ¬∃Ω ∀u u ∈ Ω)Доказательство. (от противного)Для такого Ω верно соотношение Ω ∈ ΩТогда можно выписать такую последовательность включений:Ω ∈ Ω, Ω ∈ Ω, Ω ∈ Ω, . . .Эта последовательность запрещена аксиомой регулярностиЗначит, какой бы ни была модель для теории, включающей всебя все описанные ранее аксиомы, множество всех множеств невходит в эту модельТеория множеств Цермело-ФренкеляТеория Цермело-Френкеля ZF состоит изIIIIIIIIIаксиомы объёмности(A= )аксиомы пустого множества(A∅ )аксиомы пары(A2 )аксиомы объединения(AS )аксиомы бесконечности(A∞ )всех аксиом, порождаемых схемой выделения(A⊆ (ϕ))аксиомы степени(Ap )всех аксиом, порождаемых схемой преобразования (A→ (ϕ))аксиомы регулярности(A↓ )Мы показали, что теорией ZF исключается парадокс Кантора,основанный на существовании множества всех множествАналогично можно показать, что теорией ZF исключается ипарадокс Рассела(а как именно?)Непротиворечивость теории ZFА не может ли так случиться, что теория ZF исключает всеизвестные логические противоречия теории множеств, простопотому что она противоречива?Как упоминалось ранее,1 противоречивые теории абсолютнобессмысленны и потому не должны приниматься во вниманиеНасколько трудно показать непротиворечивость теории ZF?1Лекция 10, “Основные свойства теорий”Непротиворечивость теории ZFIIIIЛекция 3: теория ZF непротиворечива ⇔ существуетмодель для этой теорииТеорией ZF строго описывается набор свойств, которымдолжны удовлетворять множестваЕсли теория ZF непротиворечива, то моделью будет иинтерпретация Iset , содержащая все (хорошие) множестваПредметная область модели Iset — это множество...всех множеств?Пытаясь рассуждать о непротиворечивости и адекватноститеории ZF так, как это всегда делалось раньше, мы пришли ктому, что предметной областью модели для ZF являетсяпарадоксальное множествоЗначит ли это, что теория ZF противоречива?Непротиворечивость теории ZFПарадоксальность предполагаемой модели Iset возникает из-затого, что мы пытаемся рассуждать об истинности теории ZF,используя понятия самой теорииБолее того, любая интерпретация использует в своёмопределении понятие “множества”, а значит, в той или иноймере будет парадоксальна (ведь мы так и не знаем, можно ли,используя набор очевидных свойств множеств, получитьтеоретико-множественное противоречие)Лекция 10: теория ZF противоречива ⇔ существуетZF-общезначимая формула, являющаяся такжеZF-противоречивойПока что в наших рассуждениях таких формул не возникалоА можно ли изменить определение непротиворечивости теориитак, чтобы не использовать в нём понятие множества?Непротиворечивость теории ZFВспомним последнюю часть лекции 10,“исчисление предикатов”:теория — это исчисление, в котором общезначимые формулывыводятся по правилу modus ponens и правилу обобщения изаксиом исчисления предикатов и аксиом теорииТеория (как исчисление) противоречива, если существуетформула ϕ, выводимая вместе со своим отрицанием ¬ϕТакое определение противоречивости не приводит кпарадоксам и часто используется теми, кто исследуетпротиворечивость фундаментальных аксиоматических теорийПри этом обоснование непротиворечивости теории в такойпостановке довольно трудно: требуется не привести модельтеории, а доказать, что ни для какой выводимойформулы нельзя вывести её отрицаниеНепротиворечивость теории ZFЕщё один факт, усложняющий проблему проверкипротиворечивости ZF:I в рамках теории множеств описывается множество N0(лекция 13, аксиома бесконечности и схема выделения)I также в этой теории можно определить операции сложения(а как именно?)и умножения чиселI значит, в терминах множеств можно описать фрагментарифметики над N0 со сложением и умножениемI этот фрагмент оказывается достаточно выразительным длятого, чтобы предъявить невыводимую формулу,утверждающую непротиворечивость теории множеств(формула строится примерно так же, как и невыводимаяформула в теореме Гёделя о неполноте)Непротиворечивость теории ZFТекущее состояние дел:непротиворечивость теории ZF —открытая проблемаКонец лекции 14.

Характеристики

Список файлов лекций