Вопросы и задачи к зачету (1129469), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В какое состояние перейдет 2s-уровень водородоподобного иона в условиях, когда движение электрона ограничено непроницаемой плоскостью z = 0, а ядро перемещаетсяиз точки с координатами ~r = (0, 0, a), расположенной высоко над плоскостью a aB вначало координат ~r = 0.31. В какие состояния перейдут 2p-уровни водородоподобного иона с m = 0 и m = ±1 вусловиях, когда движение электрона ограничено непроницаемой плоскостью z = 0, аядро перемещается из точки с координатами ~r = (0, 0, a), расположенной высоко надплоскостью a aB , в начало координат ~r = 0.32. Состояние конфайнмента квантовой частицы внутри замкнутой полости Ω с границейΣ задается энергетическим функционаломE[ψ] =ZΩ"d~rh̄2 Zh̄2 ~ 2|∇ψ| + U (~r) |ψ|2 +dσ λ(~r) |ψ|2 ,2m2m Σ#RU (~r) — потенциал внутри Ω, а поверхностный член Σ задает контактное взаимодействие частицы с границей полости.
Считая λ(~r) вещественной функцией, найти видУШ внутри полости, граничное условие для волновой функции частицы на поверхности полости, и выполнение условие “невылетания” частицы из полости.33. Водородоподобный ион находится в начале координат замкнутой сферической полостиΩ с граничным условием на электронную волновую функцию~ + λ]ψ = 0 ,[~n∇Σгде ~n — внешняя нормаль к границе полости Σ. Показать, что при выполнении условияZe2 = h̄2 λ/m, где m - масса электрона, при любом радиусе полости основное состояниеиона и его ВФ будут совпадать с 1s-состоянием свободного иона.34. Вычислить среднее значение hr−1 i , hr−2 i , hr−3 i в состоянии с определенной энергиейEn и орбитальным моментом l в кулоновом поле притяжения.35. Найти среднее значение и дисперсию расстояния между электроном и ядром для водородоподобного атома в n-ом возбужденном состоянии.36. Найти среднее значение различных компонент квадрупольного момента Qik = xi xk −1/3δik~r2 для заряженной бесспиновой частицы, находящейся в кулоновом поле притяжения в стационарном состоянии c фиксированными n, l, m.37.
Найти уровни энергии бесспиновой заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле напряженности H в состоянии с фиксированным значением проекций импульса и орбитального момента на направление поля.538. Определить энергетический спектр заряженной бесспиновой частицы, движущейся воднородном электрическом и однородном магнитном полях, направления напряженностей которых взаимно перпендикулярны.39. Найти уровни энергии заряженного сферически симметричного осциллятора, помещенного в постоянное однородное магнитное поле напряженности H, для состояний с фиксированной проекцией орбитального момента на направление поля.40.
Найти спектр оператора углового момента для планарной (пространственно-двумерной)системы.41. Установить соотношение между дисперсиями проекций Jx , Jy момента в состоянии сфиксированным значением Jz .42. Вычислить f [aE + ~b~σ ], где E - единичная матрица, ~σ - матрицы Паули, а a и ~b - произвольные действительные число и вектор.43. Найти спектр энергий заряженной частицы со спином 1/2 и магнитным моментом µ~=µ0~s в постоянном однородном магнитном поле H.44. Частица массы m со спином 1/2 и магнитным моментом µ~ = µ0~s движется в неоднород~ном магнитном поле H = {0, −ky, H0 + kz}.
Найти операторы ~r(t) , p~(t) . Определитьсредние значения и дисперсию координат частицы, если в начальный момент временичастица находилась в координатном состоянии ψ = ϕ(~r)eip0 x/h̄ , где ϕ(~r) действительная квадратично-интегрируемая функция, и чистом спиновом состоянии χ. Прецессиеймагнитного момента пренебречь.45.
Найти спиновые волновые функции системы двух частиц со спином 1/2, которые являются собственными функциями операторов ~s2 = (~s1 + ~s2 )2 , sz = (s1 )z + (s2 )z .46. Протон и нейтрон находятся в синглетном состоянии по полному спину. Найти вероятности обнаружить у них одинаковые или различные значения проекции спина на ось ~nпри одновременном измерении.47. Выразить проекционные операторы на синглетное и триплетное состояния для системыиз двух частиц со спином 1/2 через скалярное произведение их спинов ~s1~s2 .48. Две частицы со спином 1/2 находятся в состоянии |Ψi = exp(iϕ1 s1x ) exp(iϕ2 s2y ) |↑↑i.Найти угол между ориентацией спинов частиц и вероятности обнаружить частицы всинглетном и триплетном состояниях по полному спину.49.
Гамильтониан системы двух взаимодействующих частиц со спином 1/2, помещенных впостоянное однородное магнитное поле, имеет вид~ + α ~s1~s2 .H = −(µ1~s1 + µ2~s2 )HНайти уровни энергии системы.50. Найти вид операторов спина 1 в представлении, где Sz диагональна. Показать, чтооператоры спина 1 могут быть представлены также в виде (Sl )jk = i(h̄)jlk . Найтиунитарное преобразование, связывающее эти два представления.51. Определить отношение интенсивностей пятен на экране в опыте Штерна-Герлаха дляполяризованного по оси z пучка частиц спина 1 и магнитным моментом µ~ = µ0~s, еслиотклоняющее магнитное поле ориентировано под углом θ к оси z.652. Частица со спином 1/2 находится в поле центральных сил.
Найти волновые функцииэтой частицы, являющиеся одновременно собственными функциями трех коммутирующих операторов: jz = lz + sz , j 2 , l2 .53. Частица со спином 1/2 находится в состоянии с квантовыми числами (j, l, s, jz ). Найтивероятности различных значений проекций орбитального и спинового моментов частицы lz и sz при их одновременном измерении в этом состоянии.54. Частица со спином 1/2 находится в состоянии с квантовыми числами (j, l, s, jz ). Покажите, что направление спина (т.е. направление оси, вдоль которой проекция с достоверностью принимает значение 1/2) различно в различных точках пространства. Найтисвязь полярных углов этой оси с направлением радиус-вектора.55. Найти средние значения различных компонент квадрупольного момента Qik = xi xk −1/3δik~r2 для частицы со спином 1/2 в состоянии c фиксированными jz = lz + sz , j 2 , l2 .56.
Найти средние значения компонент полного магнитного момента частицы µ~ = µl~l + µs~sв состоянии |jlsmj i с определенными значениями j, l, s, jz = mj .57. Равновесное состояние одномерного гармонического осциллятора в термостате с температурой T описывается матрицей плотности ρ = exp(−βH)/T r(exp(−βH)), где H— гамильтониан осциллятора, β = 1/kT . Найти среднюю энергию осциллятора и еедисперсию в этом состоянии. Вывести формулу Планка.58.
Система двух частиц со спином 1/2 находится в чистом состоянии√|Ψi = (|↑↑i + |↑↓i − |↓↓i)/ 3.Найти матрицы плотности смешанных состояний, в которых находится каждая из частиц по-отдельности.59. Установить, при каких условиях на параметры α, β, γ матрицаρ=1/2 + α β − iγβ + iγ 1/2 − αбудет спиновой матрицей плотности. Найти средние значения всех трех компонент спина в этом состоянии.60. Определить отношение интенсивности пятен на экране в опыте Штерна-Герлаха, еслиотклоняющее градиентное магнитное поле ориентировано по оси ~n, имеющей сферические углы θ и ϕ, а состояние пучка электронов в представлении, где матрица szдиагональна, описывается матрицей плотности:ρ=1/2 + α β − iγ.β + iγ 1/2 − αУстановить, при каких θ и ϕ отношение интенсивностей будет максимально (минимально).7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
