Теормин (1128199)
Текст из файла
ф 2. П$$СТЯ$$ОЯ$ГЯ йЯЧЯЛЫ$О-й~$ЯФВЫХ ЩЦ$$$. Подводя птоГ, м0$к$$О поставить обЩГВ$3В«$ачу1 $.($Ь$) «Э(«$$') И, - "~®~) ИГ ««)+«'"(М,«), Мпй, «>О„ и(Ь«,0) р(М), Мей=йиЗ', Г«(Р) — — "~+~3(Р)и(РД=)««Р,«), Ра Ь", «>О, дм(Р„«) $$ачаль$$О"крвеяп$В 3$ькача будет $$рсдс$$И$лсна так: и,=а'и„+)(х,«), хп(О,«), «>О, м(х,О»= $в(х), х и ~О,«1, 1краепьа мщача: и(О,«) = $«$(«), и(«,«) =,и,(«)„« ~О, П краевая мдача: и,(0,«)= $,(«), м,(1,«) = $;(«), « ~ О, 10 краевая эадвча: и,(О,«)-«$,и(О,«)=$«,(«), и„(«,«)+)$,и(«,«)=$«,(«), «аО; «$, =со«м«>0, «$$ -"еапх«>О.
крапина 8:(х=О„х=«). $ ВсдетВЯВ. Иъ докаЗВ$$иых тсор$$м следует $«риппи$$ Экстремума; зиачс$$ня фупк$$ии $«(Н„«) для Всех точск (М,«)п ф лежат мс$кау макспмальиь«м и мпиимальнмм Зпаченнямн фуи$щ$$Н па $'ра$$пцс, т.е, полубесконсч«и$$$ осп; и, =$$'и„+„«'(х„«), хп(О, ), «>О, и(х,О) "- «в(х)„х и (О„ж), 1 кр$$еваа эадача: и(0,«) = «и(«), «3 О, Н краевая я«П$$$ $В: и, ($$„«) = $."(«).
«> П, Ш краси$$я зл«ь$ $и: и, (О,«) "- «$и(0.«) "- ««(«), «;> 0; «$ > «$, $ 3. Ирй$«цйй веп$«сймумя для уряя$$П$$йя 'Гейдяйр«$йяйй$$с"Гй* Хееф~мы ейяййеййя. $ еорема ($$рп$$ян$$ маиепмума) реп$спис урав$$с$$ия тс$П$О$$р$«вод$И$сти а, -"- а' - «$И, «М„«) П Ц, нспрсрь«виос В эамк$$ухом $$ил$$$$лрс ДГ, В$$у$р$$ этОГО цняи$$дра пс ь«ожет прппимвть зпачсп«$л, оольп«ий, чем эпачеиня при «О и«$$$$$В$ра$$ицс Ж облкти й, Теорев«а сравп аппп 2. Пусть фупкции м,(м„«), « = 1„2 удовлепюря$ОТ однородному урапиенивэ тс$$ло$$роводиостп и, = $$ * Ьи, $$спрсрь«ани В ф П УДОВЛС$'ВОРЯИ$Т УСЛОВИЯМ ~м,(«Ь«,0)-и$(М,О~ ~ ю, М а Й, ~у,(Р,«)-$$$(Р,«'~Ь к, Рп Я, «а(0„7'), $ ОГДВ ~и (М «) и (М «~ < а во всея «очках эвмк$$у«О«т$ ЦИЛИН«$РВ $ $ ф 4.
В,дй$$стпейй«$ст$ й у~~$$йчйяос*ь $$С$йеййй Йе)ЭВФЙ йячядьйп — $сдяеййй зядячй «$ьпя уряй$$еййя таей«$О$Ч$оя«$дй$$етй. Рассмотрим перву$О $$ача«$ьно-кр$$еву«О задачу дла уравиения теплопроаодп$$с: И,:= а'«$И+ ~"(М,«), (М, «)П ф. $4,$) и($$$,0) = 4$($1«), «Ь«е $$ (4.2) и(Р,«) -" ««(Р,«), Р и Ь', «е «О, «') (4.3) $ е$$ре$$$а е«$Я$$етпеппаетп рен«е$$пп. Зааача $4 «) — (4.3) мол«СГ иметь только Одпо классичсск$$с рси«симе. Опредевеппе. РС$иеиие эааачп $4.
$) — (4.3) натмвается усто$$чивь«м„ее$$П маяь$м НЗмспспням пачальпык и Тра«тнч$$ь«х услОВНИ соответствует малое Н3$$снспис РЕ$ПСИПВ. '$ еорсма ап устоячпаоетп ре«пе$$ип. К«$В«юическос реп$с$$ие за«м $и «4. $) — «4.3) устойчиво по $$ача$$ь$$мм и $ ра$$пч«$ь$м усяовплм. 111, «з -"'-"-~+»(»$»(Р) = г(Р), Р е Ях 1трс$ъл красава В декарто$юй снстсме координат ура$И$сннс ЛВПЛаса Имеет В$щ ди ди ди »ъ( )и(ж $' зарх« + — + — -0 дг ф дг' В СфСРНЧССКой 1К У' ЯП д СО«Рх )» Г МП «9З$П ~У « ж ~ г СОЗ $» 1 $«»«1» «у )и(г, $»)х ()$) = — - — - г '=- + — — — з$п $У * .'д 1, Ь! .'; дМ~ М~ 1 д'и '+ =0 г' зн$д д()$$ в цплнндрнческой (х = г соз $в„у = г з(п р, ж = з)— 1 д ~ дии'1 1 д'и д'и «(х$х хи(г е$ 3) — г — + + х 0 .д.1, д ~ "д1' д" В плоском случае урал)$с$$ис д'и д'и ЛВ$$ласа имеет В$Щ $$$х,)и(хх«')= — + — 0 В д $ (~„2 ДСКВРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДНнатх ИЛИ 1 д1' ди1 1 д$и »($$, у)и(Г $В)-"х ~Г 1+ $0 — а НОЛаРНОй г д()» (К ~ ГСО»Ы У ~ ГЛИЦ(У).
фу!нации. язнзт$$ейм$$ 5 2. $ П1змо$$$$«чее$сме Фупднвзаз$тз$ль$$ь4е $$езцетгн$$ Лнплнен. Определенна. Даал(дм непрермвио днффере$$цнруемал функпнл и(М), которал в областн Й удоапсгворлст ураанеии(о ЛВпласа, пйзь$лаетсл гармо$$нческой В Й фу$$кцисй. (х — х ) х(у-у $)'х(х-х ) =«((х-х $)'х(у-у )' и(М,М,) = — $$азмзи)етса фундаме$ггальнмм ре$ценнем урааиеинл Лапласа В простринс$з»е. Функцна и(М,М,) 1П 1 фугцв$мситальнь$м рен(еннем уравнен на Лацласа ПЛОСЖОСТН. Фу$$двмеитальнь$м ре$неннем урал Пенна Лапласа пищаакгг такую гармоническую фупкцню, кокорев нмсе$ Определенного Вида особенность В единственной ТОчке М, ф 3. Поетнз$$зв$са зсрненьп знднч.
Внутренззнн задача ДнрнклеПусть 8- замкпутаа, достаточно глцдкал $$оаарк$$ОСТЬ« О$'1)ВИИЧИВВКИЦВЛ ОбЛВСТЬ Й, 1рсбустса найти фупкцн)О и(М), кото1и)л Определена и иеп1)срмв$$а в замкнутой области Й = Й $.» Я„удонлетвораст внутри Облас$з$ И уравненню Лапласа $$«и "-0 и при$$нмает НВ границе Ж задаи$$ь$с зпаченнл: и(Р) =,и(Р), Р и 8. Впутреинии задача Неймана. '1'рсбуется найти функцню и(М)„котораа оиределена, иепрсрь$вна и нспрсрмвно дифферсйцнруема В замкнутой областн Й, удовлетворлст В$$утри области Й уравнению Лапласа»)л: О, сб нормальнаа производ$$ал $$ри)$нмаст $$В гра$$пцс заданиь«с значеппя = $(Р), Ра Ь*.и(М)ИСф)«"«С'(Й),инС(Я). дл $$$$утр«нанни третьн $$раез$аи з4щвча.
Требуе се найтн фуикц$по и(М), которал ОПРЕДЕЛСНах НСПРСРМВНВ Н НЕ$$РСРЬ$ВИО ДнффСРСНЦНРУЕМВ в замк$$утой областн Й, удовлетворлст внутри Области Й урааиспи)о Лапласа Ли ~ 0„на $ра$$ицс УДОВЛЕТВОРЛСТ УСЛОВИЮ $т — +»(уи(Р)=у(Р),РИЗ,гг+»($ Ф О, $г>0,,$)) с О, ди(Р) ди и(М)и $,$(й)» ~$..'(Й), г н С(3). Пусть Й'- Обиас$ь, Вне)ннал к некоторой замкнутой $$овсрхностн Я. 9$$ен$$$ии задача Дирих»$е, '1'ребустсл иайтн функцию и(М), удовлетворл(он$ую уравне$$ню Лаиласа »$и = 0 а нео раипчсниой областн Й', непрермвпую в замкнутой области Й' = Й'$»Я, $$рпниммошу$О на г1ип$нце заданпь$е значепнл и(М) =,и(М), М «к Я н равномерно стремл$цуюсл к нулю на бескопсчностн, Стремление к нулк) функции и(М) па бсскопсхии$с(и нообходнмо д»$я еди$$стве$$ности регвеннл задачи. Еслп рассм$приаать случай наук псрсмсииь(х„то стремление к нулю функцни на беско$$еч$$ости нуло$О вамспзгть на условие Огр($ничсиностн функцин на беФконечпОстн.
ВНС$цнне краевме задачи 11 и 1И тнпа стаалтсл аиалогз$чиО. ф И1, ф~$$$С$1НЭ $"ф$$$$Э ЗЭК Ч$$,01$$ф~~дЛЭ. ОЮЙ$."П$Э ф~$$Ю~$$$$ $ Р4И$Э. Рзссмотриь1 Внутренэазкз задачу Дарите длл ураанення Пуасеона $.'16(М)=- -,1"(М), М и й, и $$ С(5)~-1С$(12)„ и(Р) =,и(Р), Р а К. Запнп$ем 6$$$6$раяьное предста1$лсиис рен$ення зтой задачи: Если потребовать, чтобы Выпоаналось услоаие ЯМ„Р)=0, Ре Я, то и(М,)=- Ои(Р) га(М„Р) х д$$,. — ЯЬ~(м~а(М„МР.„. (10,3) Определп$не. Функпил 6(М„М) юзыааетса функ$$неэ Грина Внут1зенней задачн Дбрнкле длл О$$ератора Лапласа, еслн 1.
б(М„М) = — + ю(М), гле фупкцна $(М) 4ЯИ,„и Гармоничиа Вс$оду В Облзстн Й; 2. 6(М$„Р)=0, Рн Я. Свойства функции 1 рииа. 1, 6(М, „М) > О, еслл М, М„Я Й, 2. Функцна 1"рана сэмметрбчна Относительно точек М, и М: а(М„М)-а(М,М,). $ 2. Зэдэч$$ КО$э$$ длэ урээ$$еп6$э $еолебэ$$нй иэ и16$$6$$$Й Ть1. Метод Даламбера.
Сформулируем задачу КОИ16 длл уравнен па колебаний иа прамой: и,„(х,$)ж а~и (х,$)+~(х,$), хе 11', $ >О, ~2.1) и(х,0): 4$(х)» и,(х,0) = 1к(х), х 6 Р'. 12.2) Онределе$$пе. Классическим ре1пеиием задачи (2,1), 12.21 ЙазыВастса фу1ищ$1Я и(х»$)» Определениаа $$ри ХНМ'.,$10 и непрерыа$$66 Вмеете со своей первой пронзаодиой пО $ В Обласп$ х е 1$', $2:О» нмеаощаа непрерывные Вт$$рь$е произаод$$ь$е а Областн „6 $11 $ > 0 и у$$оалеп$ора$аи$аа урзвие1$6$О 12-1) и пачааьным усаоаиам Р.21- $'асс$$отр$$м сначала задачу для Однародн6$'О ураа$1енна колебаннй и иеод$$ородиых иачальнь$Х условий: и„(х,$) = $$'и„(х,$)„х 6 11", $ > О, 12.3) и(х.0) =- р(х).
и, (х,0)-- у~(х), х е Л'. 12.41 ) х-6$)+1Р(х+а$) 1 '~~ 2$$ „ «~ормула 12.11) йвзыааетса формулой Даламбера В $ е пое$р$$ениа ре1пеииа ~~да~и 12.3], $2.4) назылаетса метолом Д$п1аь$бера $$» 3» С~ЩФЕТВ$$ЭЭННФ~ ЕДН$$Е'ПЬЙЙ$$$$Ф$"Ь Н уСТОЙЧ$$ЭЭЕТЪ $$6$$$ЕН$$Э ЗЭДЭЧЙ КОИ$$6» $ еореа$6 суп$еетиования и единс$'66$$наети ре$ненна залвчн $$,6$нн» Пусть фуикция 4$(х) даал$ды непрерь$6ио ифферс$И$ируема з фуикцпя Ф~(х) иепрерь1ано Лифферсн1$йруема 1$6 $$ ° 101'46 класси»1еское ре$аеиие задачи КОФЙ (2.31, (2,4) существует, е$$ииствеп$$О и Определаетса фОрмулой Дазймберй. ДоказательстаО.
Пусть фуикни и $$$(х) и р'(х) удоалетаорякзт услОВиям те$$ремы. ТО$'да иепосредсп$еннОЙ проверкой уствнаалн Наем, что фуикцна и(х,$), прелст$6$нмал формулой Даламбера, является классическим реплп$ием задач$$. Сяцестаоаанне ре$пення доказано. '1'еорема уе$$$Йчнваетн ренкннн залачн $$.$и$$и. Пусть функэнн 41(х)» $$$(х), $Р(х)„дФ(х)- йачальные даннь$е даук за$$ач КОП$6 $$„(х,$)=а и„(х,$), хек', $>0, и(х,0)=16(х), и,(х,0)=1$(х), хнг'„ П. 3 СУЗП$$СТВОВЭ$$ПФ П ФДППФТВФППОСТЬ $$ЭП$ФНПЯ 3ЭДЭЧП $ЬО$$$П ДЛЯ $$6ОД$$9~$ОД НОГО УРЭВ$$ОППЯ КОЛФбп$$ПЙ ПЭ $$РЯВ$ОЙ.
Рвссмотр$$М за$В$чу КО$йи два нсодпороди6$" в урввнсннв коасбм$нн". и,(Х,$) а'и„(х,$)+ /(Х,$), х е М'„$ > О, (2.9) и(х,О) =О, и,(Х,О)= О, х е г', (2ЛО) 'у'аврама„пусть функцпа «(Х,$) йсйрсрь$вна й имаст фх,т) НС$$У$»Р ЫВИУЗО йро$$ЗВРДИУЮ дх х н ф $ > О, тоГда задача Д.$$), ~2,10) ймсст Рвп$снив, Оно сдииствсй$ю н О$$родсаастса фОР$$у$изп »'Ф»ф Ф $ и(х, $) ~ — ) ~~ф, Г)$$фт, 2а$4- $ 3, ПОСТРОВППО РФ$$$ФППЙ $$ЭЧЭЛЬПО-КРЭФВЬ$Д ЗИДЭЧ ДЛЯ Т$$ЭВПИППЯ КОЛабп$$ПЙ ПЭ полуп~иФВ$ОЙ втйт$здовв п$$одол$каппй» Рассмотрим звдачп о Распрострайейпп аолй па $$олу$$Р о$$ х е (О, $6). Этн задачн ставатса с$$сдуюй$пм об вазом: $'$антн Рс$$$с$$нс уРВВ$$с$$ив и„(х,$)= а"и (х,$)„х>О, $ >О, (3.Ц ~д$овлстаоракзп$сс ГРВ$$йч$$ому усдов$ИО и(0,$)= $$($) пап и,(0,$)= ~ф), $ ~ О, (3.2) н начальным условиам В(х„О)= $$(х), и,(х,О)= $Г(х)„х ~ О, (33) Р6$йспис ка$кдой из з$З$х двух задач мож$о $» Рсдстав$ГГЬ как сумму рс$$$$$$ ий .
$$вух задач. 'с сднородйими нвчальньп$И усдовиамн» но с нсоднороднмм Граничнмм услов$$см, и с нводнороднь$ми йвчвльнь$$$Й усдов$$$мй» ПО с Одйороднь$м Грвйичнь$м, Рассмотрим сйачаав иачааьно к~н$свук$ задачу с однородп$$м услОВисм Дирихлс: и„(х,$)=а'и„(х,$), х>О, $>О, $3.4$ и(Х,О)=у(х), и,(х»0)"-'Р(х), Х10, (3.5) и(0,$)"-.О, $~0, (3,6) х О, 0<$<-, АНВВОГичнмми Рвссузкасииамй Рейимтев и задача с $$сод$$ороднь$М крвсвь$м усдовнсм $.'$сйма$$й. ф $$.
НЭЧЭЛЬПО"К$$ЭФВЬ$й ЗЭДЭЧП, ДЛП УРЭВПФП$$Я КОЛФбЭППЙ В П$КМ!Т~ФЭПФТВИ П ПЭ ОТ$$ВЗКФ» ПД. ЕДП$$ФПВВНПОСТЬ ~$6$ПСППЙ ПЭЧЭЛЬПО к$$ээВых мщэч для я$э В$$впня к$$лй6$аппй В ПРОСТ$ЖП$$ТВФ $6ОРФЙВ 6$ВВ$$счпвп$$6с$$$ Р6$ивппи зада чп В йрвстрапстйв. Задача ($,$) - (13) мозкат нмсть только ОДИО класспчсскос Р6$псннс, П.З. $'.ВП Р$$$ПОНПЙ ПЭЧЭЛЬП в'м'$а зэдэч длЯ У$авпенпЯ пплпбэп Й ОТ$ВВЗКЭ» Сйо У'~РУсм $$вчавьно крвовую зала Отрсзкс; ~е(х4-а'и„(х»$) = ф;$) О „„, О ( "(")=Р(х),( 4-й'), О~х~» $Ъ(Х„$) а,(х)--- * +д(х~ф «) ь йф;~) $5~у '"""ст амсть толь о о клвосн псков Р6$аснис .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
