В.А. Кондратьев - Варианты и программа экзамена по УрЧП (1127872)
Текст из файла
Варианты и программа экзамена по УрЧПЛектор В. А. КондратьевV–VI семестры, 2005–2006 г.1. Программа экзамена1. Постановка задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Формулировка теоремы Коши. Доказательство единственности аналитического решения задачи Коши.2. Определение характеристик линейного уравнения с частными производными. Обобщённая задача Коши(сведение её к обычной).3. Определение корректности задачи Коши. Пример Адамара.4.
Приведение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами кканоническому виду. Классификация линейных уравнений второго порядка.5. Единственность решения задачи Коши для волнового уравнения.6. Формула Кирхгофа. Доказательство существования решения задачи Коши для волнового уравнения.7. Доказательство единственности решения смешанной краевой задачи для волнового уравнения.8. Задача Штурма – Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций. Функция Грина.9. Обоснование метода Фурье для решения смешанной задачи для волнового уравнения.10. Принцип максимума для гармонических функций.11.
Лемма о знаке производной по внутреннему направлению для гармонических функций.12. Строгий принцип максимума для гармонических функций.13. Постановка основных краевых задач для гармонических функций. Необходимое условие разрешимостизадачи Неймана.14. Формула Грина. Функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа. Симметрия функции Грина.15. Формула для решения задачи Дирихле для оператора Лапласа в круге. Обоснование.16. Теоремы о среднем.17.
Теорема об устранимой особенности для гармонических функций.18. Теорема Лиувилля для гармонических функций.19. Бесконечная дифференцируемость гармонических функций.20. Оценки производных гармонических функций (неравенство Бернштейна).21. Обобщённая производная по Соболеву. Пространство H 1 , полнота.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.◦Неравенство Фридрихса, пространство H 1 .Усреднение функций.Обобщённое решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Существование и единственность.Гладкость обобщённого решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа.Схема вариационного метода решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.Принцип максимума для уравнения теплопроводности (в ограниченной и неограниченной области).Существование и единственность решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.Непрерывность интеграла, равномерно сходящегося в точке.Непрерывность потенциала простого слоя.Формулы скачков потенциала двойного слоя.Формулы скачков нормальной производной потенциала простого слоя.Интегральные уравнения для основных краевых задач для уравнения Лапласа.Доказательство существования решения задачи Коши методом мажорант.Доказательство теоремы о стабилизации решений задачи Коши.Аналитичность гармонических функций.12.
Досрочный экзамен2.1. Вариант №11.а. Написать формулу решения задачи Коши для волнового уравнения для трёх пространственных переменных.б. Доказать единственность решения задачи Коши для волнового уравнения.в. u(x, t) – решение задачи4utt = uxx ,= 0, uux2.x > 0, t > 0,= 0, ut= ϕ(x),x=0t=0ϕ > 0,ϕ = 0 вне (2, 4),t=0ϕ ∈ C ∞ (R).Найти множество точек (x, t), в которых ut (x, t) = 0 для любой функции ϕ.а. Сформулировать теоремы о среднем для гармонических функций.б. Доказать вторую теорему о среднем для гармонических функций.в.
Найти решение внешней задачи Дирихле∆u = 0 в |x| > 1,ux = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ,= x1 .|x| = 13.а. Написать формулу для решения задачи Коши с непрерывными и ограниченными начальными данными при t = 0 для уравнения теплопроводностиut = uxx + 4uyy .б. Доказать непрерывность решения задачи Коши для уравнения ut = uxx , t > 0.в.
u(x, t) – решение задачиx > 0, t > 0, такое, чтоut = 4uxx,u(0, t) = 2,u(x, 0) = 2 cos2 3πx.Найти lim u( 3π4 , t).t→∞2.2. Вариант №21.а. Сформулировать теорему Коши – Ковалевской.б. Привести уравнениеuxy − uyz + uxz = 0к каноническому виду.в. При каких α ∈ R задача Кошиα2 utt + utx − uxx + 1 = 0u= ϕ(x), ut= ψ(x),t=02.t=0имеет единственное решение?а. Сформулировать лемму о знаке производной по внутреннему направлению для гармонических функций.б. Бесконечная дифференцируемость гармонических функций.в. Пусть u(x) гармонична в шаре |x| < 3 в R3 иZ|u(x)| dx < 2.|x|<33.Указать C = const такую, что в точке (0, 0, 1) выполнено ∂2u ∂x1 ∂x2 < C.а.
Определение пространства H 1 (Ω).б. Доказать полноту пространства H 1 (Ω).в. При каких nвещественных α и s > 0oфункция lnα (1 + rs ) принадлежит H 1 (Bn1 ), где Bn1 – единичныйpшар в Rn : r = x21 + . . . + x2n < 1 , n > 1.23. Основной экзамен3.1. Вариант №31.а. Определение характеристик линейного дифференциального уравнения порядка m. Найти характеристики2uxx − uxy = 1.б.
Сформулировать теорему Коши – Ковалевской. Доказать единственность решения.в. Привести пример Адамара. Будет ли корректна задачаutt + uxx + 2ux + 4u = 0,= ϕ(x),u2.= ψ(x)?utt=0t=0а. Написать формулу решения задачи Коши для уравненияutt = uxx + uyy , t > 0, (x, y) ∈ R2 ,u= ϕ(x, y), ut= 0.t=0t=0б. Доказать единственность решения задачи Коши для уравненияa2 utt = ∆u,a = const > 0.в.
Найти решение задачиut > 0, (x, y) ∈ R2ut= sin x − cos y.utt = uxx + uyy ,= cos x + sin y,t=03.t=0а. Сформулировать и доказать принцип максимума для уравнения теплопроводности в ограниченнойобласти.б. Доказать теорему о стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.в. Пусть u(x, t) – решение задачи Кошиut = 4uxx,t > 0, x ∈ R,=ut=0x2 + sin x2.1 + x2Найти lim ux (x, t).t→∞3.2. Вариант №41.а. Постановка внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа.
Доказать теорему о единственностирешения.б. Определение функции Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области в R2 . Построитьфункцию Грина для круга радиуса R.в. ∆u = 0, u 6 0 в x2 + y 2 6 1, u ∈ C 2 (x2 + y 2 6 1) иZZu dx dy = 16.92225 6x +y 61Указать C = const такую, чтоmax16x2 +y 2 = 252.u(x, y) 6 C.а. Дайте определение уравнения эллиптического типа.
При каких α = const уравнениеuxy + 2αuxx − 3α2 uyy − αuy + ux = 0является уравнением эллиптического типа?б. Доказать существование решения задачи Кошиutt = ∆u,= 0,ut=0x ∈ R3 ,= ψ(x).utt=03в. Решить задачуu4utt = uxx + uyy + uzz ,= cos x − e−2z , utt=03.t>0= sin y.t=0а. Дайте определение собственного значения задачи Штурма – Лиувилля. Докажите, что собственныефункции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.б. Существование решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности (формулировкаи доказательство).в. Пусть u(x, t) – решение задачи2ut = uxx + e−t ,t > 0, x ∈ R,2= e−x .ut=0Найти lim u(x, t).t→∞Последняя компиляция: 6 июня 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
