Э. Таненбаум - Архитектура компьютера (1127755), страница 187
Текст из файла (страница 187)
Ряд целых чисел не замкнут относительно деления, поскольку существуют такие значения 1 и ~, для которых 1/7' не выражается в виде целого числа (например, 7/2 или 1/О). Числа конечной точности не замкнуты относительно всех четырех операций. Вот примеры операций над трехразрядными десятичными числами: 734 Приложение д. двоичные числа + Слишком большое число: 600 + 600 = 1200.
+ Отрицательное число: 003 — 005 = -2. + Слишком большое число: 050 х 050 = 2500. + Не целое число: 007/002 = 3,5. Отклонения можно разделить на два класса: операции, результат которых больше самого большого числа ряда (ошибка переполнения) или меньше самого маленького числа ряда (ошибка потери значимости), и операции, результат которых не является слишком маленьким или слишком большим, а просто не является членом ряда. Из четырех приведенных примеров первые три относятся к первому классу, а четвертый — ко второму классу.
Поскольку объем памяти компьютера ограничен и компьютер должен выполнять арифметические действия над числами конечной точности, с точки зрения классической математики результаты определенных вычислений оказываются неправильными, Ошибка в данном случае — это только следствие конечной природы представления чисел в вычислительном устройстве. Некоторые компьютеры имеют встроенную аппаратную поддержку для обнаружения ошибок переполнения. Алгебра чисел конечной точности отличается от обычной алгебры. В качестве примера рассмотрим ассоциативный закон а+ (Ь вЂ” с) = (а+ Ь) — с.
Вычислим обе части выражения для а - 700, Ь = 400 и с = 300. В левой части сначала вычислим значение (Ь вЂ” с). Оно равно 100. Затем прибавим это число к а и получим 800. Чтобы вычислить правую часть, сначала вычислим (а + Ь). Для 3-разрядных целых чисел получится переполнение. Результат будет зависеть от компьютера, но он окажется неравным 1100. Вычитание 300 из какого-то числа, отличного от 1100, не даст в результате 800. Ассоциативный закон не имеет силы. Важна очередность выполнения операций.
Другой пример — дистрибутивный закон: а х (Ь вЂ” с) = а х Ь вЂ” а х с. Подсчитаем обе части выражения для а = 5, Ь = 210 и с = 195. В левой части 5 х 15 = 75. В правой части 75 не получается, поскольку результат выполнения операции а х Ь выходит за пределы ряда. Исходя из этих примеров, кто-то может сделать вывод, что компьютеры совершенно непригодны для выполнения арифметических действий. Вывод, естественно, неверен, но эти примеры наглядно показывают, как важно понимать механизм работы компьютера и знать о его ограничениях.
Позиционные системы счисления 735 Позиционные системы счисления Обычное десятичное число состоит из цепочки десятичных разрядов и иногда десятичной точки (запятой). Общая форма записи показана на рис. А.1. Десятка выбрана в качестве основы возведения в степень (и называется основанием системы счисления), поскольку мы используем 10 цифр. В компьютерах удобнее иметь дело с другими основаниями системы счисления. Самые важные из них— 2, 8 и 16.
Соответствующие системы счисления назывшотся двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной. Сотни Десятки Единицы Десятые Сотые Тысячные 02 СЗ... ОК 00 Ол" о2 41 к Число = Х С;х10' Рис. А.1. Общая форма десятичного числа Система счисления с основанием 7т требует 7т различных символов для записи разрядов с 0 по я — 1.
Десятичные числа строятся из 10 десятичных цифр: 0123456789 Двоичные числа, напротив, строятся только из двух двоичных цифр: 01 Восьмеричные числа состоят из восьми цифр: 01234567 Для шестнадцатеричных чисел требуется 16 цифр. Это значит, что нам нужно 6 новых символов. Для обозначения цифр, следующих за девятью, принято использовать прописные латинские буквы от А до Е Таким образом, шестнадцатеричные числа строятся из следующих цифр: 0123456789АВС() ЕЕ Двоичный разряд (то есть 1 или О) обычно называют битом. На рис. А.2 десятичное число 2001 представлено в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Число 7В9, очевидно, шестнадцатеричное, поскольку символ В встречается только в шестнадцатеричных числах.
А число 111 может быть записано в любой из четырех систем счисления. Чтобы избежать двусмысленности,нужно использовать индекс для указания основания системы счисления. В табл. А.1 ряд неотрицательных целых чисел представлен в каждой из четырех систем счисления. 736 Приложение А. Двоичные числа о ! о о о я с т 5 1 «21в + 1 «2в + 1 «2в + 1 «27 + 1 «24 + О «2а + 1 «24+ 0 «2а + 0 «2т + 0 «2Ч + 1 «2в Е я« 1024 + 512 +256 +128 +64 +О +16 +О +О +О +1 ст о 3 7 2 1 8 с 3 «8а+7 «8 + 2 «8'+1 «8 Я т 1536 + 448 + 16 + 1 о о а,'! е с2 0 0 1 а+ О «!От+ О «!О! + ! «10 «Ят 2000 +О +О +1 ст с я 7 С 1 со яф Я 7 «16т+ 13 «16!+ 1 «16в яи У 1792 + 208 + 1 Л Рис. А.2.
Число 2001 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления Таблица А.1. Десятичные числа и их двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные эквиваленты Двоичное Восьмеричное десятичное Шеотнадцатеричное 1О 100 1О! 110 10 1000 1001 12 1010 !О !3 1011 14 1100 12 15 1101 13 16 1110 14 17 1111 Преобразование чисел из одной системы счисления в другую 737 Деовтичное Двоичное Восьмеричное Шестнадцатеричное 16 10000 20 10 20 10100 24 14 30 11110 36 !Е 101000 110010 111100 1000110 1010000 1011010 11001000 111!101000 101110101101 40 50 28 62 50 32 60 74 ЗС 70 106 80 120 50 90 132 5А 100 144 1000 1750 ЗЕ8 2989 5655 ВАР Преобразование чисел из одной системы счисления в другую Преобразовывать числа из восьмеричной в шестнадцатеричную или в двоичную систему счисления и обратно легко.
Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно разделить его на группы по три бита, причем три бита непосредственно слева от двоичной запятой формируют одну группу, следующие три бита слева от этой группы формируют вторую группу и т. д. Каждую группу по три бита можно преобразовать в один восьмеричный разряд со значением от О до 7 (см.
первые строки таблицы А.1). Чтобы дополнить группу до трех битов, нужно спереди приписать один или два нуля. Преобразование из восьмеричной системы в двоичную тоже тривиально. Каждый восьмеричный разряд просто заменяется эквивалентным 3-разрядным числом. Преобразование из шестнадцатеричной в двоичную систему по сути сходно с преобразованием из восьмеричной в двоичную систему, только каждый шестнадцатеричный разряд соответствует группе из четырех битов, а не из трех.
На рис. А.З приведены примеры преобразований из одной системы в другую. Преобразование десятичных чисел в двоичные можно совершать двумя разными способами. Первый способ непосредственно вытекает из определения двоичных чисел. Самая большая степень двойки, меньшая, чем число, вычитается из этого числа. Та же операция проделывается с полученной разностью. Когда число разложено по степеням двойки, двоичное число может быть получено следующим образом.
Единички ставятся в тех позициях, которые соответствуют полученным степеням двойки, а нули — во всех остальных позициях. Второй способ — деление числа на 2. Частное записывается непосредственно под исходным числом, а остаток (О или 1) записывается рядом с частным. То же проделывается с полученным частным. Процесс повторяется до тех пор, пока не останется О. В результате должно получиться две колонки чисел — частных и ос- 738 Приложение А.
Двоичные числа татков. Двоичное число можно считать из колонки остатков снизу вверх. На рис. А.4 показано, как происходит преобразование из десятичной в двоичную систему. 1 9 4 8 . В 6 0001100101001000 .101101100 1 4 5 1 0 . 5 5 4 7 В А 3 . В С 4 7 5 6 4 3 . 5 7 0 4 Рис.
А.З. Примеры преобразования из восьмеричной системы счисления в двоичную и из шестнадцатеричной в двоичную Остаток 746 373 185 93 46 1 0 1 1 1 0 0 0 0 14921а Рис. А.4. Преобразование десятичного числа 1492 в двоичное путем последовательного деления (сверху вниз). Например, 93 делится на 2, получается 46 и остаток 1. Остаток записывается в строку снизу Пример 1 Шестнадцатеричное число Двоичное число Восьмеричное число Пример 2 Шестнадцатеричное число Двоичное число Восьмеричное число Частное 1492 0111101110100011 .101111000100 Отрицательные двоичные числа 739 Двоичные числа можно преобразовывать в десятичные двумя способами.
Первый способ — суммирование степеней двойки, которые соответствуют битам 1 в двоичном числе. Например: 10110 = 2' е 2 ч- 2' = 16 ч- 4 + 2 = 22. Во втором способе двоичное число записывается вертикально по одному биту в строке, крайний левый бит находится внизу. Самая нижняя строка — это строка 1, затем идет строка 2 и т. д. Десятичное число строится напротив этой колонки.
Сначала обозначим строку 1. Элемент строки и состоит из удвоенного элемента строки и — 1 плюс бит строки и (О или 1). Элемент, полученный в самой верхней строке, и будет ответом. Метод иллюстрирует рис. А.5. 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 + 2 х 1499 = 2999 Результат Ъ, 1 + 2 х 749 = 1499 1 + 2 х 374 = 749 Ъ, 0 + 2 х 187 = 374 хк 1+2 х93=187 1+2 х46=93 Ъ О+2 х 23=46 'ъ 1+2 х11 =23 1+2 х6=11 1+2 х2=6 О+2 х 1=2 Ъ нужно отсюда Рис. А.В.
Преобразование двоичного числа 101110110111 в десятичное путем последовательного удваивания снизу вверх. В каждой следующей строке удваивается значение предыдущей строки и прибавляется соответствующий бит. Например, 374 умножается на 2 и прибавляется бит соответствующей строки (в данном случае 1). В результате получается 749 Преобразование из десятичной в восьмеричную или шестнадцатеричную систему можно выполнить либо путем преобразования сначала в двоичную, а затем в нужную нам систему, либо путем вычитания степеней 8 или 16. Отрицательные двоичные числа На протяжении всей истории цифровых компьютеров для представления отрицательных чисел использовались 4 различные системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
