Коды, исправляющие ошибки (1127158), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . è α5 , . . . .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü II: Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêè147 / 152Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÊ-8...Íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî ýòè êëàññû òàêæå áóäóòïÿòèýëåìåíòíûìè: 3 6 12 24 48α , α , α , α , α = α17 , (ò.ê. 34 ≡31 3) ; 5 10 20 40α , α , α , α = α9 , α18 , (ò.ê. 36 ≡31 5) .Ïî ñïåöèàëüíûì òàáëèöàì∗ ) íàéä¼ì íåïðèâîäèìûåìíîãî÷ëåíû ïÿòîé ñòåïåíè íàä F2 : èõ øåñòü ¶ x5 + x2 + 1,¹ x5 + x4 + x2 + x + 1,· x5 + x3 + 1,º x5 + x4 + x3 + x + 1,¸ x5 + x3 + x2 + x + 1,» x5 + x4 + x3 + x2 + 1.∗ ) èç ñïèñêà ëèòåðàòóðû ñì., íàïðèìåð, ìîíîãðàôèþËèäë Ð., Íèäåððàéòåð Ã.
Êîíå÷íûå ïîëÿ (Òîì 1, Òàáëèöà C).ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü II: Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêè148 / 152Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÊ-8...Âñå ýòè ìíîãî÷ëåíû, êàê óêàçàíî â òàáëèöàõ, ÿâëÿþòñÿïðèìèòèâíûìè (êîðåíü α = x ãåíåðàòîð ìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïû ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîëÿ) è âñå îíè ìîãóò áûòü âûáðàíûâ êà÷åñòâå ïîðîæäàþùåãî ïîëå ïîëèíîìà a(x).Ïîëîæèì a(x) = x5 + x3 + 1 (ìíîãî÷ëåí 2) è òîãäàgα (x) = a(x), α5 = α3 + 1, α31 = 1.Îïðåäåëèì, êàêèå èç îñòàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñîîòâåòñòâóþòöèêëîòîìè÷åñêèì êëàññàì äëÿ α3 è α5 .Èìååì:äëÿ ìíîãî÷ëåíà 3 (x5 + x3 + x2 + x + 1)x=α3 = α15 + α9 + α6 + α3 + 1 == (α3 + 1)3 + α4 (α3 + 1) + α(α3 + 1) + α3 + 1 = . . . = 0,ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü II: Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêèÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÊ-8...äëÿ ìíîãî÷ëåíà 5 (x5 + x4 + x3 + x + 1)x=α5 = α25 + α20 + α15 + α5 + 1 == (α3 + 1)5 + (α3 + 1)4 + (α3 + 1)3 + α5 + 1 = .
. . = 0.Òàêèì îáðàçîì, gα3 (x) = x5 + x3 + x2 + x + 1,gα5 (x) = x5 + x4 + x3 + x + 1 (ñîâïàäåíèå íîìåðîâìíîãî÷ëåíîâ ñî ñòåïåíÿìè ãåíåðàòîðà ñëó÷àéíî) èg(x) = gα (x) · gα3 (x) · gα5 (x) == x15 + x11 + x10 + x9 + x8 + x7 + x5 + x3 + x2 + x + 1.Èìååì deg g(x) = m = 15, k = n − m = 16 è ïîðîæäàþùèéìíîãî÷ëåí äëÿ (31, 16)-êîäà Á×Õ, èñïðàâëÿþùåãî íå ìåíåå 3îøèáîê, ïîñòðîåí.149 / 152ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü II: Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêèÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÊ-9Ðàññìîòðèì Á×Õ-êîä, íóëè êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ñòåïåíÿìèïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà α ïîëÿ F = F2 [x]/ x4 + x + 1 .Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî ïðèíÿòîãî ñëîâà w(x) ïîëèíîìëîêàòîðîâ îøèáîê åñòü σ(x) = α6 x + α15 .Îïðåäåëèòü ïîçèöèè îøèáîê â ñëîâå w(x).ÐåøåíèåÍàì ïîíàäîáèòñÿ òàáëèöà, âûðàæàþùàÿ ýëåìåíòûìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû F ÷åðåç ñòåïåíè å¼ ãåíåðàòîðà α,óæå ïîñòðîåííàÿ â íà÷àëå ðàçäåëà Ñóùåñòâîâàíèå èåäèíñòâåííîñòü ïîëÿ GF (pn ) è â çàäà÷å ÒÊ-4.150 / 152ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü II: Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêèÇàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÊ-9...α4 = α + 1α1α2α3α4α5α6α7α8α9α10α11α12α13α14α15αα2α3α+1α2 + αα3 + α2α3 + α + 1α2 + 1α3 + αα2 + α + 1α3 + α2 + αα3 + α2 + α + 1α3 + α2 + 1α3 + 11151 / 152ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü II: Êîäû, èñïðàâëÿþùèå îøèáêè152 / 152Çàäà÷è ñ ðåøåíèÿìèÇàäà÷à ÒÊ-9...α4 = α + 1Ïåðåáîðîì íàéä¼ì êîðíè ïîëèíîìà îøèáîêσ(x) = α6 x + α15 = (α3 + α2 )x + 1:σ(α) = α4 + α3 + 1 = α + 1 + α3 6= 0;σ(α2 ) = α5 + α4 + 1 = α2 + α + α + 1 + 1 = α2 6= 0;......σ(α9 ) = α12 + α11 + 1 = (α3 + α2 α + 1) + (α3 + α2 + α) + 1 = 0.Ëèíåéíûé ïîëèíîì σ(x) èìååò îäèí êîðåíü α9 , ïîýòîìóïîçèöèÿ åäèíñòâåííîé îøèáêè åñòü −9 ≡15 6..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
