AA3-1(GF-I) (1127138), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Найти корни неприводимого надF2многочленаf (x) = x4 + x3 + 1Решение. Один корень получаем немедленно: x (или x).По только что доказанной теореме можно выписать остальные:x2 ,x4 = x3 + 1,x8 = x6 + 1 = x3 + x2 + x.Покажем, что, например, x2 — действительно корень f (x):f (x2 ) = x4 + x3 + 1x 7→ x2 = x4·2 + x4+2 + 1x4 7→ x3 +1 == (x3 + 1)2 + (x3 + 1)x2 + 1 = x6 + 6 1 + x5 + x2 + 6 1 == x6 + x5 + x2 = x2 (x4 + x3 + 1) = x2 · 0 = 0.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IКорни многочленов над конечным полем67 / 71Как решать уравнения f (x) = 0, когда корней нет?Алгоритм нахождения всех корней многочленаf (x) ∈ Fp [x]Fp :1Разложить f (x) на неприводимые множители надf (x) = g1 (x) · g2 (x) · .
. . · gk (x).2Для каждого многочлена gi (x), i = 1, k рассмотретьрасширение Fp [x]/(gi (x)), в котором он будет иметь корниdeg g −1x = α, αp , . . . , αp i .Записать данные корни как многочлены из Fp [x]/(gi (x)).3Объединить все корни в одном общем расширениигде m = HOK ( deg g1 , deg g2 , . . . , deg gk ).Fmp ,ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IСуществование и единственность поля Галуа из pn элементовРазделы1Поля вычетов по модулю простого числа2Вычисление элементов в конечных полях3Линейная алгебра над конечным полем4Корни многочленов над конечным полем5Существование и единственность поля Галуа из pnэлементов6Циклические подпространства7Задачи с решениями8Что надо знать68 / 71ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IЦиклические подпространстваРазделы1Поля вычетов по модулю простого числа2Вычисление элементов в конечных полях3Линейная алгебра над конечным полем4Корни многочленов над конечным полем5Существование и единственность поля Галуа из pnэлементов6Циклические подпространства7Задачи с решениями8Что надо знать69 / 71ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IЗадачи с решениямиРазделы1Поля вычетов по модулю простого числа2Вычисление элементов в конечных полях3Линейная алгебра над конечным полем4Корни многочленов над конечным полем5Существование и единственность поля Галуа из pnэлементов6Циклические подпространства7Задачи с решениями8Что надо знать70 / 71ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IЧто надо знатьРазделы1Поля вычетов по модулю простого числа2Вычисление элементов в конечных полях3Линейная алгебра над конечным полем4Корни многочленов над конечным полем5Существование и единственность поля Галуа из pnэлементов6Циклические подпространства7Задачи с решениями8Что надо знать71 / 71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
