Главная » Просмотр файлов » А.Е. Ромащенко, А.Ю. Румянцев , А. Шень - Заметки по теории кодирования

А.Е. Ромащенко, А.Ю. Румянцев , А. Шень - Заметки по теории кодирования (1127104), страница 7

Файл №1127104 А.Е. Ромащенко, А.Ю. Румянцев , А. Шень - Заметки по теории кодирования (А.Е. Ромащенко, А.Ю. Румянцев , А. Шень - Заметки по теории кодирования) 7 страницаА.Е. Ромащенко, А.Ю. Румянцев , А. Шень - Заметки по теории кодирования (1127104) страница 72019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

КодРида { Соломона превращает эти элементов поля F в элементовтого же поля, после чего каждый из элементов мы заменяем его кодомАдамара и в итоге получаем битов.)В итоге параметры каскадного кода таковы: длина входного слова 2 ; длина выходного слова (2 ) ; кодовое расстояние (в расчёте насимвол) не меньше произведения кодовых расстояний, то есть (1 − ).Таким образом, мы можем достичь кодового расстояния, сколь угодноблизкого к 50% (при малом фиксированном ). При этом длина кодового+1+122123216. ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÅ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÄÏ× áÄÁÍÁÒÁслова ограничивается примерно квадратом длины кодируемого слова.(Такая граница представляет интерес лишь потому, что наш код описан явно | граница Варшамова { Гилберта позволяет получить линейныекоды с лучшими параметрами, которые можно использовать либо самипо себе, либо как внутренний код для кода Рида { Соломона, как в конструкции Форни.)16.

Вероятностное декодированиекодов АдамараПусть фиксировано некоторое значение < 1/4. Тогда, как мы знаем,возможно однозначное декодирование кода Адамара с исправлением до ошибок (на символ).Можно ли это делать за полиномиальное время? Постановка этоговопроса требует уточнения: полиномиальное время от чего? От длиныкодируемого слова или длины кодового слова? Поскольку мы кодируем + 1 битов с помощью 2 битов, разница весьма существенна.Тривиальный ответ таков: за полиномиальное от 2 время мы можемперебрать все 2 возможных кодируемых слов и найти нужное, а заполиномиальное от время мы сможем прочесть лишь пренебрежимомалую часть кодового слова, и вся эта часть может попасть в зону ошибок,так что декодирование невозможно.(Более аккуратное рассуждение: проведём декодирование для какогото одного случая, скажем, нулевого слова, потом посмотрим, какие позиции в кодовом слове мы прочли, и во всех кодовых словах эти позициисделаем нулевыми; доля ошибок будет невелика, а декодирование разрушено.)Другое возможное уточнение: говоря о декодировании слова длины2 за полиномиальное от время, будем предполагаеть, что это слово задано нам как «оракул»: по номеру бита (этот номер имеет длину ) нам сообщают значение соответствующего бита.

(Это уточнение необходимо, поскольку, скажем, давать на вход слово длины 2 на лентебессмысленно | в этом случае реально будет доступно лишь его началополиномиальной длины.)Оказывается, что в данной постановке задачи декодирование за полиномиальное время может быть выполнено вероятностным алгоритмом сосколь угодно малой вероятностью ошибки. Точная формулировка:+13317. ëÏÄÙ òÉÄÁ { íÁÌÌÅÒÁ. Для всякого < 1/4 и для всякого > 0 существует вероятностный алгоритм, который, получив число и (в виде оракула)кодовое слово длины 2 с не более чем 2 ошибок, работает полиномиальное от время и правильно декодирует слово с вероятностью неменее 1 − .(Заметим, что полином, ограничивающий время работы, зависит от и от : чем ближе к 1/4 и чем меньше , тем дольше работаеталгоритм.).

По условию мы можем найти значение неизвестнойаффинной функции : B → B, имеющей вид ( , . . . , ) = + + + . . . + в случайной точке с вероятностью ошибки не больше . Коэффициент можно записать как разность значений в двух точках, отличающихся попервой координате: = ( + 1, , . . . , ) − ( , . . . , ).Если в качестве ( , . . . , ) взять случайную равномерно распределённую точку, то сдвинутая точка ( + 1, .

. . , ) также будет равномернораспределена (хотя, конечно, эти две точки не будут независимы). Каждое из двух значений нам известно с вероятностью ошибки не больше2, поэтому правильное значение для будет получено с вероятностьюне меньше 1 − 2 > 50%.Повторяя это несколько раз (для независимых точек) и затем определяя ответ большинством, можно (как известно из теории вероятностей)быстро уменьшать вероятность ошибки и тем самым найти коэффициент со сколь угодно малой вероятностью ошибки. Аналогично найдём ивсе остальные , после чего уже можно находить (тоже голосованиемпо нескольким точкам).Теорема доказана..

Как известно из теории вероятностей, при таком повторении (и голосовании) вероятность ошибки убывает быстро, поэтому можносделать её, скажем, меньше 2− , оставив алгоритм полиномиальным по.ТеоремаДоказательство1011221112111110Замечание17. Коды Рида { МаллераКоды Рида { Соломона и коды Адамара являются двумя крайними случаями в семействе кодов, называемых кодами Рида { Маллера : в кодах3417.

ëÏÄÙ òÉÄÁ { íÁÌÌÅÒÁРида { Соломона мы рассматривали многочлены от одной переменной, нобольшой степени, а в кодах Адамара { от многих переменных, но первойстепени.В общем случае мы рассматриваем многочлены от переменных степени не выше над полем F . При этом степень понимается как суммарная степень по всем переменным. (При = 1 получаются коды Рида { Соломона, при = 1 | коды Адамара.) Алфавит состоит из символов(элементов поля); коэффициенты многочлена степени не выше образуют кодируемое слово, а значения этого многочлена во всех точках F |кодовое слово.Длина кодового слова равна , а длина кодируемого слова равначислу решений неравенства + . . . + 6 1в неотрицательных целых числах, то есть (решение такого неравенства задаётся разбиением ряда из объектов на + 1 групп с помощью перегородок; числа , .

. . , | числа объектов между перегородками; объекты справа от последней перегородки не входят ни в одно исоставляют разницу между частями неравенства).Оценка кодового расстояния основана на следующем простом алгебраическом утверждении:. Пусть F | поле из элементов, а ( , . .

. , ) | многочлен от переменных над этим полем, причём его степень (суммарнаяпо всем переменным) равна . Тогда доля точек ( , . . . , ) ∈ F , длякоторых ( , . . . , ) = 0,не превосходит / .. Лемма очевидна, если многочлен содержит член степени , в который входит только одна переменная. Тогда при любыхзначениях остальных переменных получается ненулевой многочлен степени , имеющий не более корней, так что на каждой прямой (когдавсе остальные переменные фиксированы) доля нулей не больше / , иостаётся их усреднить.К этому случаю можно пытаться сводить произвольный многочленлинейной невырожденной заменой переменных (которая не меняет суммарную степень); проще, однако, доказать утверждение леммы индукциейпо числу переменных. Для = 1 утверждение леммы очевидно (числокорней многочлена от одной переменной не превосходит его степени).+1Лемма111Доказательство3518.

ëÏÄÙ âþèДля произвольного рассуждаем так. Выделим какую-нибудь переменную, например, , и рассмотрим моном с максимальной степенью по . Пусть эта степень равна ; очевидно, 6 . Запишем как многочленпо , коэффициенты которого суть многочлены от , . . . , . Коэффициент при представляет собой некоторый многочлен ( , . . .

, ) степени не больше − . Случай − = 0 мы уже обсуждали. В общем случаедля равномерно распределённых случайных , . . . , вероятность события ( , . . . , ) = 0по предположению индукции не превосходит ( − )/ , а вероятностьсобытия ( , . . . , ) = 0, но ( , . . . , ) ̸= 0не превосходит / , поскольку для каждого набора значений , . . . , ,при которых ( , .

. . , ) ̸= 0, существует не более значений , прикоторых ( , . . . , ) = 0. (Так что даже и условная вероятность11122112122211 ( , . . . , ) = 0 при условии ( , . . . , ) ̸= 012не превосходит / .) Складывая вероятности, получаем искомую оценку/ . Лемма доказана.Таким образом, кодовое расстояние не меньше (1 − / ), то есть(1 − / ) в расчёте на один символ.

Например, при = 1 и = 2получается расстояние 50%, как мы уже видели для кодов Адамара.Ещё один пример: пусть = 2. Кодовое слово состоит из символов,а кодируемое слово из = ( + 1)( + 2)/2 ≈ /2 символов.Таким образом, коэффициент полезного действия кода примерно равен(1/2) / , что значительно хуже, чем у кодов Рида { Соломона при томже удельном кодовом расстоянии 1 − / . Зато размер алфавита теперьуже равен корню из длины кодового слова (а не самой этой длине).222+22218. Коды БЧХЭти коды названы БЧХ (в английском варианте | BCH) по именамсвоих изобретателей: Боуза (Bose), Чоудхури (Ray-Chaudhuri) и Хоквингема (Hocquenghem).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
713,8 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее