В.Н. Нефедов, В.А. Осипова - Курс дискретной математики (1127083), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е ..и в ела х, м ы т эти««с элб«и н «вам л(О), ы*эл нш:э « С«н а»а Н Х Е С реш Лзш те Нтп тр Лнш ШН Етс тнт Э рм ЭЭ« ! вэ !"ч О У ебрээм «этери««э нэ м ю«ерш«ил э Ц У. г. е, мзш на« нэ У! Таким образом, мы доказали, что если двйствовачь согласна алгоритму 4 9, чо нули каждой очередной строки Лт, где )ая(О,.... г), будут соответствовать вершпнам яз ('г, п строка Л! буде~' состоять вз нулей и символов )( талька прн ! г. На тогда нк шаге 3 будут получены нскомые уровня орграфа О. Алгоритм полностью обоснован.
Покажем, что наряду с накожленвем уровней орграфа без контуров алгоритм 4.9 позволяет провернчь на'иене контуров у произвольного орграфа. Утверждение 4.54.Длл тога чтобы орграф О = (У, Х) содержал .готя бы один контур,необладимо и достаточно, чтобы в резулыате применения к П алгоритма 4.9 появилась строка Л! без нрлед. Досгыоем . Птс ь ш«е нр еееш к эрграфу О э рн нэ 4О ээяз» э т А, беэ нулей Да неш ч о О имееге е я б оа кэ уг Птса шшм, ч э Π— рграф бээ «шнур н Уэ,, У, (ае Гж«О) — УР Н ОРГРафа О. Т Да Э ЛЭЫО Е РЕ Е ча Угээ!К. ! д..., г, э гылеыншь«э, «ре н л ..., л, содэрнат нтэ ( м, эн нне э«гарн з 4В).
Прн э ем, «««юльку У О Р, ( м рэн! 45!. тэ у, (, О у (р сс атрее ен яе рнэ«эзыыа с тчэа, кэ гл г>а!. с.е«е эм к тр аэ Л, атлет с э» ь уэ а н вм»ме х (си. «ф«н «э с«э рн э 4Л). Но гда тр «э Л,— ссэ д «э (с . агайорнт э 4.а), * энэчн, «е мшлсэ стр к беэ «улы, э рсшм ре эт ашш эш. т «релналэменн У(собшдимасть. Пусть орграф П содержит хотя бы одна контур..Предположим, что в проиессе выпалпснвя алгорятма 4.9 все встречаюшнсся строки Л! ммеют пуля.
Тогда множества Ун состоящие кг вершин, соотнетствуюшят нулям в Лн отличны от пустых и удавлетнаряют (4.52) (см. обоснование алгоритма 4.9). Из (4.52) получ«ем, что множества Р! попарно не пересекаются. Но тогда в силу конечвостн множества )' последовательность множеств (У!), а чна шт, н послеловэтотьнасчь строк (Л!) нс могут быть бесконечнымн. Следовательно, прн некотором гыб страка Л, будет со~таять нз нулей и символов Х (см. шаг 3 алгорвтма 4.9), а значит (см.
обоснование алгоритма 4.9), булст сбраведлнво У () ('э, откупа согласно утверждению 4.53 получаем, 245 что Π— арграф Осз контуров, з зто противоречит исходаому предположению. Прммер 4.47. Проверим валнчие «оитурав в орграфе О. заааннам матрнцей смежности О О О О О О О 3 О О 3 О 1 1 О 1 О 1 3 О 3 А(0) 3 О О О 3 О О 1 О О О О О О 1 О 3 1 О О ! 3 О О О 3 О О В табл. 4.12 приведена послеловательнссть строк (й,), постраеиная по алгоритму 4.9. Поскольку встрегилвсь строка Ра без пулей, го в силу утверждемня 4.64 в орграфс 0 имеется хот» бы один коптур.
Тзазвцз 41З 44.9. Оу Юш Гранин рассмотрим оргрвф Р ()т, Х). функция у(о), стааяшая а саотвегспше каждой вершине ишр целое число у(и) ь;О, называется Фуякцпед Гропди лля ар!рафа О, соя» в кажцой вергпнне ешр число у(о) является минимальным из всек целык нажрицатель. имх чисел, не принадлежащих множеству (у(та)(юшО(о!), и у(о) О ари О(о) (д. Если для орграфа О сушестауег фуинция Гранли, то говорят. чть арграф О допускает (н ыратнвном случае — ке доауеюыт) фуанцию Гранда.
Не всяхмй орграф О допускает функцию Гранам (см. пример 4.49), а если и допускает, то она не обязательно саннсгвенаая (ем. пример 4.60). Из опрелеления функции Гравди следует, чта справедливо утверждение 4.66. Если орграф О (у, Х) далуекаст фуккцию Грекди то кабдюся вершина освр такая, что у(и) О. Пусть в оргрвфе О (товар б(о)~О. (4ДО) ега Рассмотрим пропзволькую вершину юшИ Тогда, с едкой сторокы, з силу (АЛО] имеем у(м))О, а с другой стороны, используя (488), получаем, что либо О(ю) й), либо УошО(ю) у(о))О, а следовательно, на определению фузкцпк Грмшп, у(м) =О, т. е.
налицо протиаоречпо Пример 4.48. На ркс. 4.42 приведено изображение ортрафа О, лопускаюжего ф)шпцпю Грзнди, оюжо каждой вершины впорого указапо зпачепке втой фуппцпи. Пример 4А9. Покажем, что орграф О, изображенный ка рис. 4АО, ие допускает фупкцкю Гранда. Предположим обратное, т. е. орграф О допускает функцию Грапли.
Используя утверждекпс 4.88, получаем, что ка пекоторой зершпзе значение 1 О З Р 1 1 функции Грандк резко кулю. Пусть для определенности У(о,) О (другие случаи рассматриваются нпалогпчпо]. Тогда в силу того, что О(ое) =(о), О(ое)=(сч), Р(ое)=(ое), после)ювателько получаем у(се] 1, у(о,) О, у(оч] 1, а зто протею. речнт равенству у(о,) О.
Пример 4.88 На рко 4АЗ прпиедены два варианта фунзпии Грапдп дзя одного и того же орграфа О. Приведем достаточпое )тлонпе существования функции Гранды. Теорема 4.9. Пусте О (У, Х) — орнриф без ноитурон. Уоеда О допускает и притом единственную функцию Грозди. Согласна теореме 4.8 миожестао вершин У орграфа Р можно разбить на уровни Уе, ..., Уо По определению фуикппк Гран. ди, сели оиа допустима лля О, то Тонаре у(о) О' Уоярч у(о)=1.
(4.87) заиеви, ччо е ачения Огнннии Гранд нн к мно» уровне 1'о пп )ю т, онноеничю инниюпен но ю еначеии н н орединрчинн гронвп р„..„р,, (ооон ямо поют, п(н) ю О р ), а оеювнтеи вч иеюая нн (4.61), ее иопио чнноюечно онрезеппе ю нее ишненюпип грэияз. Р .зла[ з ! 1 ч 1 ! ! 1 1 т, т, ч, ''Зимечалие 4.52. Доказательство теоремы 4.9, па существу, солержнт в себе алгоритм опрелелевня функцвн Грандн лля ар!рафов без контуров. Пример 4.б(.
Найдем функцию Грандн для орграфа, опясаннога в прнмере 4.45. Разобьем множество вершин арграфз О ва уровни: Уз (ог. иг).Уг (иь из), Ут (иь), Ув = [од С учетом (457) получаем 2(иа) Е(ог) =О. 2(о) =й(из) 1. Далее для вершины игкаУз имеем Р(ад (иь оь иг), где й(од = О, д(о,) - Р(и,) 1, а следовательно, Е(из) = 2. Соответственно для вершины изщуз получаем О(и,) = (аг. оь оз), где Е(иг) = Р(ив) = О, Е(из) = 2, а следовательно, д(оз) = 1.
На рнс. 4.44 прмеедено изображение орграфв О, акела каждой вершнны которого указана значение фупнцни Гранды, Слсаующая теорема показывает, что па функции Граядн орграфа может легко определять сю ялра. Теорема 4.10. Если оягяпф Р = (У, Х) допускает фу кциш Гронди 2(и), ю множество вершин Р = [ищу[2(и) = О) является ядром этого орерафа.
Покажем, чю множество Дт удовлетворяет уславппм (см, онредюеннс ядра): 1) Уоьийт ДтПО(и) =Р; 2) Уищучр йгПР(и)чьИ. Докажем спасала, что выполняется первое условие. Пусть ищзР Тогда 2(о) =О. Еслн предположнты ую ИПР(и) чьгд, та существует вершина ющйтПО(о). Но тогда нз ющйг имеем Е(ю) = О, в пз шщР(а) получаем. что нс мажет выполняться равенства 2(и) = О. Данное иратнноречне подтвержлает справевлнвость первого условня. Докажем тытсрь, по выпачняется второе условие. Пусть ищрчьр. Тогда 2(и) чьб.
Если прелположнть, что дгПР(а) = = ш, то па определению функции Гранки должна выполняться Равенство у(и) =О, т. е пришли к противоречию, а значит, ЛУПО(и) Мю. Задач» и упражнения 1, Доказать, что лля любой вершины и арграфа Р найдется максимальное внутренне устойчивое множество вершин орграфа О, содержащее и. 2. Привести пример орграфа с четырьмя вершинамн, имеющего лишь адно минимальное внешне устойчивое множество, спшаящее при зтам пз единственной верШины.
3. Используя метод Мигу, определить максимальные внутренне устойчивыц а также минггмальные внегпне усшйчнвые множества вершин орграфов, изображенных на рис. 4.45,п — з. Най. ти ядра. 4. Разбить орграфы без контуров, ааданные матрнцаын смежности, на уровни. Найти функцию Гранли и ядра орграфав. Рассмотреть случаи: Оеаавгг 0000000 0,100011 0010400 00000.10 0100001 0100000 ОЛОВО11 ООЛ1010 ооооооо ОО'10000 0010010 0001000 ОЛ00410 ОЛООЛОЛО 001044 00 00000000 00100000 00000100 00000000 аоо1110о 00100140 е! 4,5. ТРАНСПОРТНЫЕ СЕТИ Ураксяоргиад сетью называется аргрзф О=(У, Х) с множествам вершин У.= (иь -., и ).
дли которого выполняются условия: 1) существует одна и талька овна вершние оь называемая «гготииком, такая, чш О-'(о.) - ЕГ (т. е. ии одна дуга не заходит в иг); 2) существует одна и только одна вершина о, нззываемзя стоком, такая, что О (о ) =И (т. е. из и„ нс исходит ян одной дуги); 3) каждой духе хсвХ поставлено в соответствие пелое и бг числа с(х) )О, называемое пропускная способностью ду- рее. 446 16-1610 З49 5.
Пусть орграф Р допускает фуннцню Гранли. Показать, чта любое множество вершин, на котором функция Граиди постоянна, является внутренне устойчивым. Вершины в транспортной сети, отличные ат нсточвнна н стока, называются лромежуточнммы Пример 4Л2 На рнс. 4.46,а показана транспортная сшъ, в которой и,— нсючнян, ил — сток, ит, из — промежуточные веринны. Прн каждой дуге в скобках указана ее пропускная способность. 4.6.1. Поток а трвнспортней сета Функппя 9(х), определенная на множестве Х дуг транспортной сетя Р н прннемающая пеаочясленнме вначення, называется долусткным патокам (нлн просто потокам) в транспортной сети Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
