В.Н. Нефедов, В.А. Осипова - Курс дискретной математики (1127083), страница 44
Текст из файла (страница 44)
а 2 6 7. Проверить, сущестпуют ли и мультщрафах, задвиньи матрицами смежности, эйлерозы цепи н циклы? Если да, то вайщ нх. Рассмотреть случаиг Е1002Л 010026 101602 10!002 060203 010201. И оото16 :6) Оототг 200101 200000 .322 160 Я 2П31 Оа 4.3. ДЕРЕВЬЯ И ЦИКЛЫ Граф П называется дерезам, если ои является связным и пе име. ет ципчов. Граф С, все компоненты связности которого являются деревьями. называется лесом.
Пример 4.27. Граф, нзображеияый на рис. 4.23, яалястсн деревом. 4.3.1. Свойства деревьев Следугопгне утворжденяя эквивалентны: 1) граф О есть дерево; 2) граф С является связнмм и не имеет простых циклов; 3) граф С является связным н число его ребер равно иа сд»- ницу меньше числа вершин; 4) любые две различные вершины графа О можно соединить единственной (и притом простой) цепью; 3) граф С не содержит циклов, но, добавляа к нему любое новое ребро, получаем розно один (с точжютыо до направления обходе и печальной вершины обхода) и притом простой инюг (проходящий через добавляемое ребро). заметим, чго для доказательства эяаивалентяосгя утверзше' ний ! и 2 достаточно воспользоваться тем фактом, что пз любаю 206 пазла мшкиа выделить просим ппкт (см, утверждеиве 4.3).
ниже (см. утверждения 4.33 — 4АО) будет абосвсюана эквивалентность утвержденна 1 любому иа утверждеваО 3 — 5, а тем самым будет показана эквиввлснтность утверждений 1 — 5. Уююржденне 4.33. Если у дерева 0 есть, но крайней мере, одно ребро, то у него обяэптельно найдежя висячая еершиюх Прсхположнм, что в 0 нег висячих всргпин. Тогда а сину утверждении 4.29 в С гэйашся шгкл, а юо противоречит чому, что 0 — дерево. Утверждение 4.34. Пусть 0 — сеязнмй граф, в — висячая е рюияв е О, 0' — граф, лояученнмй из 6 е результате убгшения есрюинм с и ининдентного ей ребра. Тоеда 0' — сажный граф.
Предполшким, что граф 0' не является связным. Тогда в вем найпутси вершины сь оз(с~ ФШ), которые нельзя соединить маршрутом. Но в 0 их можно соединить маршругои гс (в силу спязнасги О). Выделим из маршрутз р цепь тт, также соединявшую вершины сь с (см. утверждение 44). Если эта цепь не проходит через о, то сиа является пенью и в 6; ччо пропвюречит сделанному ранее предположению, а счедавэтсльно, она проходит юрев о. Пусть э — вершина, смежная с о. Она сдннсгвеи. ная, так как о — висячая вершина. Тогда указанная цепь ц имеет внд г) о, ... эсю ...
сь а значит, ребро (с, э) в этой цени встречается более односо раза, что противоречит определению нели. Полученное противоречие показывает, «то исходное предположение неверна, т. е. 0' — связный граф. Замечание 4.33. Утверждение 4.34 остается справедливым в двя прсшаольнаго псевдографа 6. Докааательпгва аналогична; Утшржденне 4.33. Пусть 0 — дерево с л вершинами и ш ребрами. Тогда гп = л — 1. Доказательспю прсшедем нндукцнсй иа л — количеству аерсшк Прв л=! имеем ги О, т. е. гл л — 1. Пусть прн векоторон лв2 доказываемое равенство справедливо для любого де. рсва с л — 1 вершинами. Докэжетг его справедливость лля лысого деревэ 6 с л вершннзми. Поскольку в дереве с ль.2 вершииамн имеется, па крайней мере, одно ребро (дерево †связн граф), то в силу упгерждеавв 4 33 в рассматриваемом дереве 0 чарлегся висячая вершиик удалим се вместе с ннцидентным ед ребром.
В силу утверждения 4.34 оставшийся граф 0' булсг сняв° ии. Кроме тога, он не содержит гтиклов (так как в противном ггучае и граф О, являюшнйсв дср во, садерлгал бы нх), т. е. О' — дерева Заметим, что 6' содержит л — 1 вершин н ш — 1 Ребер. По тогда по пвлуктпвяоиу предположению вышшняется и — 1 л — 2, откуда ш = л — 1. ттювввчвю 4жк Пт О' — р Ф ° г ~жя д с а, С "- гэ Ф, ь г е с рюггью г Есе ю . а' е сгрю и !чесс (с.
). Пс зс зсчг ь, ь г — тсвч швшч а таф а. Ляа зьвчч.ы а ь . *ь а -зсчь. чччз счмчк «ьаб а юна. ью а гь ю доз за» го явзгв рш нт гв Фь о" «и со тот анянть маршрутом а а (пашюльку а силу вяэнасгн рафа б' любие дзе вершвнм графа б, отлвнп е ат а, эзведозю можно ааедвннть машруггч), Рвеема рнм ветра лазьима случай, котла «Ф~ . В г му ешзвш н гр фз б) еушеювует маршрут т!' в б' (а слщаваюзьна, а е 6), е«ел и юшна и, и, На тогда чОюа — маршрут в 6, еаедняаюшна а, а. Поившем евер! чта в 6 нег ш" заэ. Предпал, 6 ее и т р. С гзэ ! тедетвюа вэ утвержденна 4.30 вершина а (я леюшаа н внсячеб) ие еалержнтев в этгш инв. г, а э!а ат, Н вЂ” иэил в 6( на эта пр*твв речвт тому, чта б' — дерезе утверлшенне елт.
Прюь 6 (У, Х) — а. ил раф г и )мера н н л Евлшинаии и ЛВ ГаЮЮ амаазл ГГ жшвнзтаа Л вЂ” !. Та ба б-бе. реза. Доаазаюльагео араведем шюузниеа на л — волн ест у вершни. Вела а=.), ю л — ! о. Граф, садержашна ал у вершнну н не нмеюшна ребвр. очеенлпа, яшме н дерезам. Пуе ь нр» неко арам л ж 2 дава м эенае у, вержаеине гарзюдлвва длн любша графа не бшее е л — ! вершнвэнп, Даваж*м нра еалнзасгь этап уп ержзенвв з;ш проюеальюма графа б е л вершнаамн.
Палашем, па в С и еетев «агачал зерш э. Е лн ее нег, та УэюУ 3(э)улз, а гледоватюм!а, непал зуа ута рида!в 4 ), нолучзезг, чга 2ю 2 3(э) > та, атвуда ю > л, а зта врат варечаг углазню ю шУ л — !. Таким абраюю графе б вмяты виеаеаа юршназ э. Улвюн ю вмеюе нвнидеитамн ез )юбрам. В результате полу ам граф б' с а — ! верши амн н л — 2 ребрамн. Саглзсиа )тюрмвешю 434 гр ф 6' юляюга евшим», а юелаээ ельне, на нилувтнвнаму арелпалажеввю б' — дерева. На таглв в ошу утверждейия 4.33 н граф б азллег а дереюм. Замечание 4.34. Утверждение а.37 остается справедливым а для произвольного псевдографа б. Доказательство анвлогичю. Из утверждений 4.35, 4.37 следует эквивалентность утверищш ний 1 н 3 (см.
с. 200). Утверждение 4.38. Пусть С вЂ” дерево. Тогда любив цепь е С будет простад. Пусть азов ., оа — пень в дереве О, ие являющаяся простой. тогда пря некоторык и, (,зж(1, 2, ..., 2) выполняется !зчь(ь оц ои. Пусть для определенности !г(П, Тогла оно), ! ... в),— инкл в О, а зто протиноречнт тому, что б — дерево. Утверждение 4.30.Для справедливости утверждения ! необлоднио и достаточно, чтобы выполнялось утверждение 4 (сн.
с. 203). Паоблодмозють. Пусть б — дерево п г. ю — нгноторые вег шины графа С, где оные. Тогда в силу связности б их можно соединить пенью (см. утверждение 4.4). Предположим, что ве найдутся две различные ивин ц, цз, соединяющие о, ю. Согласно утвержлеиию 4.38 пепи ць цз являются дростыми. Пусть ш оп!э . в», зн ю!ягз ... юь гае а! ю! г, оь = ю! ю, йюу 1ю2. Поскольку цзчьцз, найдется номер й,ъ) такой, что о! =и!, ..., оэ,=шаг ое,+)мыла, ! !. ПУсть йз — иеРвый сРедн пома Ров й! + 1, ..., й такай, что веРшина аз встРечаетсп сРеш! ш)г шин нзз,+)...
ш! (2, обязательна найдется. так как оа Пусть, далее, й, — первый номер среди 2, + 1, ..., ! так из, шь,. В сиду неравенства ол, !чьим), не может выпер няться равенство йв йз й, + 1. Ио тогда Мб аш аз,+г - аз,юе,-г -. Ше,+г 'Еа, ещъ простой цикл в графе 6 (см. рис, 4.24], а зто противоречит том, чга б — дерево.
М' остаточность. Пусть в графе С любые две вершины можно соединить, н притом единственной цепью. Докажем, что 6 †дере. Очевнаио. что нг,э - ане граф 0 сеянный. Пакажсн, что в 6 нет циклов. Пусть а б нмеетси цикл с,оз ... оеоь где й)3 (так как при 4=2 мае мыт маршрут о,сто~ ие является циклом). Но тогда вершины Рнс. а.ва он ст можно соединить дву. Мя различныип цепямн: о,оз, о~оное ~ ... от, чта противоречит исходному прелаоложению. Замечание 4.34. Нетруапа показать, что условие достаточно- сти в угаержаении 4.39 остается справедливым и для произволь- ного пссвдографа С. Утверждение 4.40.
Для слраеедлнооста утверждение 1 необ- ходимо и достаточно, чтобы еынолнянось утверждение б (см. с 205). Необходимость. Пусть б = (У, Х) — дерева. Тогда в б иет анклав. Пусть и, ш — любые вершины из У такие, что о чьи, (а, ифсйХ.,Рассмотрим граф 6' (У, Х'), где Х' Х()(о, зе). Используя утверждение 4.39, получаем, что в 6 найдется про- стая цепь ць соединяющая о, ю. Но тогда ~ц пюОц, — про- стой цикл в графе б', проходящий через ребра (о, ш).
преапо- ложим, что в С' существует некоторый другой дикл см. Тогда рз обязательно должен проходить через ребро (о, ю» (так как в противном случае асс был бы цннлом в дереве 6), а следова- тельно, аи имеет внд (с точностью да направлении обхода и вы- бора начальной вершины обхода) ыт = теоОпь где цт — цепь в 6', соединяющая и, ю. Заметим, что поскольку Нз — цикл, та пень ц» не проходит через ребро (о, и», а'значит, является цепью е 6. Но тогда в силу утверждения 4.39 получаем ч, цо в следовательно, И, = Нь Лостатоасость Пусть для графа б = (У, Х) выполяястся уг- верждеяпе 5 (см.
с. 206). Предположим, что б не является де- ревом. Согласно утверждению 5 граф б пе содержит циклов, а поскольку в сину сделанного предположения граф 6 не являетси деревом, то он не мажет быть связным. Но тогда найдутся вер- Шины о, мщУ, очам, такие, что нх нельзя соединить маршрутам в 6. Добавим к графу 6 ребро (о, ы). В результате получим граф 6', содержащий (см. Утвержденне 5) некоторый цикл и. Очевидно, что и проходит через ребро (е, щ) (так как в против- Пом случае и — цякл в б, а 6 ае содержит циклов), а следова- иж тельно, он имеет вид (с точностью до направления обхода и вы. бора начальной вершины обхода) и юоОц, где и — пепи в С; соелиняющаи о, м.
В силу того, что р — цикл, ц не содержит ребро (е, ю), а значит, является цепью в 6. что противоречит сделанноыу ранее предположению. 4.3.2. Ссговное дерево связного графа Остов>икм дересол> связного графа 6 называется любой его подграф, содержащий все всршииы графа С и являющийся деревом. Пусть С вЂ” связный граф.
Тогда в силу утверждения 4.35 ос. тонное дерево графа 6 (если оно существует) должно содержать п(С) — 1 ребер. Таким образом, .тюбое остовное дерево графа С есть результат удалении из С ровна т(О) — (л(6) — 1) = = т(6) — л(6) + 1 ребер. Число ш(6) — л(0) ь 1 называется цикломотическим числом связного графа 6 и обозначается через т(6). Замечание 4.3б. Понятия ос>сапого дерева и цикломатичесио. го числа анатоп>чным образом определиются и для произвольного связного игевдографа 6. Покажем существование потопного лерева дли произвольного связного псевдографа 6 = (!', Х), описав алгоритм его выделения. Алгоритм 4,5> Шаз 1.
Выбираем в 6 произвольную вершину иь которая образует подграф 6> псевдографа О, явлиющийся деревом. Полагаем 1=1. Шаз 2. Если 1= в, где л л(6), то задача решена, и С,— искомое остовное дерево псеедографа О. В противном случае по реходим к шагу 3. Шаг 3. Пусть уже настроено дерево О>, явлиющееск полграфом нсевдографа 0 и содержащее некоторые вершины и>... иь где !м(мп — 1. Страни граф 6гм, добавляя к графт 6> новую вершину ьчмшГ, смежную в 6 с некоторой вершиной и; графа Сь и новое реГ>ро (п>еь а>) (в силу связности 6 и того обстоятельства, что 1(л, указанная вершина и,+> обязательно найлется).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
