В.Н. Нефедов, В.А. Осипова - Курс дискретной математики (1127083), страница 2
Текст из файла (страница 2)
задачу 3, с. 91. Рассмотрим методы получения новых множеств нз уже существующих. Объединением множеств А и В июыаастся множество ЛЕВ, вге эисмсоты которого являштс» элемситзип множества А пля В: А () В = (х) ш Л н ел В). Пересечением множеств А и В иазывапся множеогэа АДВ, злгченты которого являются элементами обоза множаств А иВ: АПВ (х)к шА и хшВ). Очевидиц что выполняются вюпочсння АПВ АглАЦВ и А П В В А ()В. Т Отиогмтельним дополнением множества Я да множества Х называется множество Хчд всех тех элементов мпожесчва Х.
которые вс прннаплежат множеству Аг ХЕА = (к(кьяХ н хй(А). Симметрической рсэнасгью множеств А я В называется множество А+В (А В)Ц(ВМ). Если все рассматриваемые в ходе даняога рассужвснпа ыаожества являются падыножествамн некоторого мпохгсствэ ц. то это множество ц называется уннверсальным для лонного рассуждения. Абсолютным долаллеиием множества А пааывеется множества Я всех тех элементов х, которые ве прннаэлел ьт множеству Л: А ЦХ.
Заметим, что ХчЛ Х ПА. Для нагляднога представлены» отношеннй между пчщмножествамя какого-либс уннвер- .НИ,И, сального мжпкгства нгчсльзуют ( бд ~1 диаграммы Эйлере — Пенна. Са® ~ф ~ ~~~в ~ мо универсальное множество ц Ф О оэображают в внхе прямоуашьинка, э сга палыиожестеа — в .%Н.Й анде кругов, раочолаженных Слгт)(г ф 1 , л,. енугрн прямоугольника. На рнс. ~ «1(ллдрлс ( 0,1, а подмножество Я уняверхы л г л сального множества В втображеао в анде эаш"лрнковвнного круРкс. 01 га.
На рнс. 0.1,б — е мэображе. яы сооэаетственно абъедввенне. пересечение. оыкмнтелыюе дополнение, скмметрпчсокая рванешь, абсолютное дополнение. Утвержденна ОЛ. Длл любых подмножеств А, В и С уииеержи дуюш д- (- иоелые тождества лиебры миымисге)г 1. Лцд Вцд (команда- 1Е АПВ ВПА (каммугатиоиосгь ц)1 тонкость р ц 2. АЦ (ВЦС) =(ЛЦВ) ЦС 22 ЛП(ВПС) = (ЯПВ) ПС (ассоииагиоиость ьцс (сссоыиатиалопь П)1 З.
АЦ(ВПС) (АЦВ)П 5' АП(ВЦС) (АПВ)Ц П(А Ц С) (дистрибутив- Ц(Л П С) (дисгрибугивиость Ц атиосиильло П)1 кость П относительно Ц)1 4, А.ЦО Л; 42 АПЦ=А1 5. АСЛ Ц; 52 АПА ЕГ1 в Д АЦА-Л; 3( АПА =А! 7.' А Ц и = Сг 7'. АПЕ) = гдг 3. -4ЦВ = ЯПВ (заюж ЗТ ЛЕВ=ЛЕВ (эпнаи де Моргана); де Мормюа)г 9 А Ц (АПВ) Л (закон, 9'. АП (АЦВ) А (эаггон жмлоигелия); поглощения). Докажем тождество В. Сначала покажем, что АЦ(ВПС) ал(ЛЦВ)П(АЦС). Действительно, если «щАЦ(ВПС), то хщЛ плн хщВПС. Если хщЛ, то хээАЦВ к кщЛЦС, Слелоастюгьво.
«гп(АЦВ)П(АЦС). Если хкеВПС, то «кяВ и хеэС. Отсюда ккеВЦЛ н кщСОА, а значат, хээ(ЯЦВ)П(АЦС). Тсгмрь покажем, что (ЛЕВ) П (АЦС) глАЦ (ВПС). Есан кщ из(ЛЕВ)П(АЦС), то хщЛЦВ п хщЯЦС. Следовательно, хглА нлн кепВ и кщС, т. е. хкеВПС Оююда кщАЦ Ц(ВПС). Докагюм гакдгстао В. Пусгь «щАЦВ. То~да хщЦ н «щ щАЦВ. Следовательно, «ЕА и «ыГВ. Отсюда хкеЛ и хкеВм а значит, хщЯПВ. Итак, АЦВглЯПВ. Пусть теперь хщАПВ. Тогда хщА п х вК Следаввтлыпь кап Ц н хрЗЛ н хйВ. Значит, х Ж А ц В, т. с. к щ Л ц В.
Итак, А П В А ц В. Остальные тождества докззыяаюю» аналогично. Утеерждекне 9;2. Прэ)юг«о«ил о произвольных множествах А и В попарно гкаизалентныг !) ЛалВ; 2) ЛПВ А; 3) АЦВ В. Докажем, что нэ первого предложснкя следует второе. Дедствательно, так как А ПВ МА, то достаточно показать, чта в зюм сзучаеЛМАПВ. Но еслн «ээд, то хээВ, так как АМ В. н, следоэательно, «щАПВ. Докажем, что нз второго предложения следует трепа.
Так иак ЛЕВ =Л, то АЦВ=.(ЛПВ)ЦВ. По закону поглощения (см. тождество 9) ВЦ(АПВ) =В. Отсюда, используя закгм коммутатнвнсстн, поаучаем А Ц В = В. Докажем, что нз третьего предложення следует первое. Так «ак А АЦВ, а по услозню третьего предложення ЛЦВ =В. 'в ЛОВ Закачн н упражнения !. Доказать, чта ((!. 2). (2, 3)) чь 0 2 3). 2.
Существуют лн тэкме множестза Я. В п С, что А П ВчьИ. АПС ЕГ, (АПВ)т,С Е(7 3. Доказать, что еснн множество А сссюпт яз л элементов, .го множество Р(А! состоит нз 2" энсмснтоз. 4. Доказать следующне тождества: э! (АПВ) Ц (АПД) (АЦВ) П(АЦВ) А; б) (ЯОВ)ПА -АПВ; и) (Я~В),С= (Я;С)~(В»С); г) АЧ(В(]С) (АМВ) ЧС; д) А~(Н~С) (А~В)(](АПС); е] А + (В + С) (А + В) + С; ж) А П (В + С) (А П В) .(- (А П С). 5.
Доказать, что: а) (Я(]В) ШС тогда н только тогда, когда А спС н ВаС.' б) А ел В ПС тогда н только тогда, когда Я дд В и А щ С; и) Я П В дл С тогда н только тогда, когда А щ В (] С; г) АслВПС тогла н только тогда. когда АПВш С. б. йока»ать, что Р(А ПВ) - Р(А) ПР(В). 7. Какнс нз утасржденяй верны для всех А, В я С: а) если АщВ я ВщС, то А а С; б) если АПВШС н А(]вщ С, то АПС=]б; а) сслнАФвнвч»С,юйчьС; г) если АШВ(]С я ВспАНС, то В 87 8.
Решить спетому урапненпй ЯПХ В; А(]Х С, где Я, В н С вЂ” данные множсстаа; В шА щ С. ба. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКНИИ Упорядоченная пара <х, д> янтуетянно определяется наю совокупность, состоящая нз двух злементоа х н д, расположенныз а определенном порядке. Лнс пары <х, д> н <и, и> считаются равными тогда н только тогда, когда х = и я д = с. Упорядочсяпчя и-ка злемснтоя хь..., х обозначаетсн <хь ...,х„> н, по определению, есть <х„ ..., « ,>, х >. Бпяаряыл (нлн дедлесгямл) отношением р назыаастся множссгао упорядоченных нар.
Если р есть нскоторос отношение нпара <х, д> прннадлежнт атому отношению, то наряду с записью <х, д> сн р употребляется запись хрд. Элементы х н д натыкаются хаардияагсли (нля коллояектсми) отношения р. л-яоряыи огяошекиел назыаастся множесгао упорядоченных я-ак. Областью олределеяля бинарного отношения р назыаастс»: множество Вг = (х ( сУществУет такое д, что хРд).
Областью зяачеяий бннарного отношения р называется множестао йг — — (д ( сущсстауст такое х, что хрд). ю Пр мер О.б. 1. Множество (<1, 2>, <2. 4>, <3, 3>, <2, 1>) — бняарное отношение. 2. Огноженне равенства на множестве дейсгантельных чисел есть множество (<к. У>)к п д — действительные чпсла н .т равно д).
Для этого отпошення существует спсцпальнсе обозначение . Область определенна Р, совпаласт с областью шаче. пнй й н начнется множеством де!гшвшсльных чпсел. 3. Ьтпошенгге «мыгьше, чем» на множестве целых чпссл есть мнажеспю (<к, д>) для целят чнсел к п д найдется положнта!ьггое чпсло а таксе, что х-1-а д). Для мого отношеппя есть специальное сбозначенне <. Здесь Р, совладает с й«я являетса множеством целых чнссл. Прямым лропта«д«кисл лисы«сгэ Х н У называется сосо. кунность всех упорядоченпык нар <х, д> таких, что лшХ ц дш У.
Обозначаеюя прямое прошаеленггс множеств Х п У чс- раз ХХ У. Ка~кдое огнсшвгг~е р есть подмножество прямого пронаеелсння ненаюрык ыножсста Х п У танюг, что Ог Х н Аг ш У. Есле К У, то говорят, что р есть стношепне на множестве Х. Прямым процэасленпем множеств Хь. ° . Х называется соеокупносгь всех упорядоченных л.он <к„.... к > такнк, что л,шль 1 1,..., и.
Обозначаетса пРамсе пРонзаеденее множеста Хь..., Х через Х МК»Х ... ХХ . Есле Х~ Х» ...=Х„=Х, то пышут ХХК*Х...)(Х =Х". Любое шстное отношение есть подмножество прямого пропзпепеппя неноторык мпожесгэ Хь..., Х . Пример О У. !. Пусть Х (1, 2, 3), У (О, Ц. Тогда ХУОУ (<1,.О>. <1, !>, <2. О>, <2, 1>, <3. О>. <3, !>); УЗСХ=(<О, 1>, <О, 2» <О. 3>, <1. 1>. <1, 2>, <1, 3>). Мы укаэалп, кроме шло, таяне множества Х н У, что Х х Учь Уц Х.
2. Пусть Х вЂ” множество точек отрезка (О, Ц, а У вЂ” множество<очек отрезка (1, ф Тогда Х зс У вЂ” множество точен квадрата (О, Ц х (1, 2) с вершинами в точквк (О, 1), (О, 2), (1, 1), (1, 2). Для бппарнык отношепнй обычным образом определены тео. рстико-множественные опсрацкн обьеднненнн, персссченея н т.д. Обратяыл отно~ггсннем для р называется отношеппе р-'= (<л, д>)<д, к>шр). Коллшицисй отношений р| и рт называется огноагснпе д»Орг (<к, к ( сущестаует д такое, что <к, д>шрг н <д, а>шрЦ. 11 Дли любык бинарных отношений ныиолняются саедующне снайстяз: 1' (р ') ' - ш 2'. (ШОо,)- ='р,— Ор,—. Первое свойство очевидно. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные з лсигй и правой частях равенства, состоят из одних н тех же элементов.
действительно, <х, у>гн(рэОрг)-ьыь<у, х>сирэОргчъ существует г такое, что <у, г> ляр, н <г, х> елрзч=ь существует г такое, что <г, у> ш р,— ' и <х, х> ш рэ-'ч=ь <х, д> ш шр; Ор;. Бинарное отношение / называется функцией, сели ии <х, у> ш( н <х, г> ш( следует, чта д=г. Поскольку функннн являююя бинарными отношениями, то к ннм применим интуитивный прянцин объемности, т.
с. дзе функции ( н й разны, если аня состоят нз алиях и тех жс элементов. Область определения функции обозначается Вг, а область ее значений — йг. Онрсдсляются они так жс, как н для бинарных атиогнений. Часто. нрнходитс» сталкиваться с трудностями ирн онределенин области значений фуннции. Поэтому, если Юг Х н )(гщ У, то говорят, ио функция ( задана ии множестве Х со значениями зо миожсстае У н осущссталяет отображгиис множества Х яо множество У (нлн устаииалнвачт соагзсптвиз между множествами Х н У).
Это отображеяие обозначаетс» таким образом: (: Х У. Если ) — функция, то вместо <х, у> ш( пишут д = ((х) и говорят, что у — значение, соответствующее аргументу х, или у — образ элемента х ирн отображении (. Пря этом х иазывают прообразом элемента у. Пример 0.3. Отношение (<1, 2>, <2, 3>, <(3, й >)— функцил; отношение (<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>) не является фуницней; отношение (<ц ха+ 2х+1>(х — действительное число) — функция, которую обычно обозначают у = хэ + 2х + 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
