Методы Оптимизации. Упражнения (2007-2008) (1125399)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Упражнения по курсу Методы оптимизации5–6 семестры, 2007/2008 уч. год(В скобках pядом с поpядковым номеpом задачи указан ее уровень по пятибальной шкале.)1.(3) Привести примеры непрерывных функций, не достигающих своих нижних граней на ограниченном, но незамкнутом множестве; замкнутом, но неограниченном множестве.2.(3) Доказать, что единичный шаp в пpостpанстве C[a, b] не является компактным множеством.Rb3.(3) Доказать, что пpостpанство C[a, b] со скаляpным пpоизведением hf, gi = a f (t)g(t) dt неявляется гильбеpтовым.4.(3) Доказать, что "паpаллелепипед" в L2 (a, b) с постоянными границами α(t) ≡ α < β ≡ β(t)не является компактным множеством.5.(5) Доказать, что "гильбертов кирпич"noU = x ∈ `2 |xn | ≤ 2−n , n = 1, 2, . . .является компактным множеством в пространстве `2 .6.(4) Привести пример функции одной переменной, для которой в некоторой точке x справедливо представлениеh2+ ō(h2 ),f (x + h) = f (x) + f1 · h + f2 ·2но которая не является дважды дифференцируемой в этой точке.7.(3) Пусть J(u) ∈ C 2 (H).

Доказать справедливость формулы конечных приращенийZ 100hJ (u + h) − J (u), gi =hJ 00 (u + th)h, gi dt ∀u, h, g ∈ H.08.(3) Вычислить первые и вторые производные квадратичного функционала в гильбертовомпространстве H :1J(u) = hAu, uiH − hf, uiH ,2A ∈ L(H → H),f ∈ H.9.(4) Вычислить первые и вторые производные функционала J(u) = g(kukH ), где g : R1 → R1 –дважды дифференцируемая функция. Дифференцируем ли он в точке u = 0 в случае g(t) = t?в случае g(t) = t3 ?10.(5) Вычислить градиент функционалаZJ(u) =`ρ(x)|y(x; u) − z(x)|2 dx0в пространстве L2 (0, `) , где y(x) = y(x; u) – решение краевой задачи(k(x)y 0 (x))0 − q(x)y(x) = −u(x), 0 < x < `,y(0) = 0, y(`) = 0,k(x) ≥ k0 > 0, q(x) ≥ 0, ρ(x) ≥ 0 – заданные функции.11.(5) (дискретный вариант предыдущей задачиk(x) = 1, q(x) = 1, ρ(x) = 1).PN −1 для случая2Вычислить градиент функционала J(u) = i=1 |yi (u) − zi | h в пространстве RN −1 сеточныхP −1функций u = (u1 , u2 , .

. . , uN −1 ) со скалярным произведением hu, vi= Ni=1 ui vi h. Здесь h > 0 –шаг разностной сетки, z = (z1 , z2 , . . . , zN −1 ) – заданная дискретная траектория, а yi = yi (u) –решение разностной схемы yi+1 −2yi +yi−1− yi = −ui , i = 1, 2, . . . , N − 1,h2y0 = 0, yN = 0.12.(5) Пусть H – гильбертово пространство, L – его замкнутое подпространство. Доказать, чтооператор метрического проектирования из H на L является линейным ограниченным самосопряженным оператором (оператором ортогонального проектирования из H на L).13.(4) Пусть x0 – фиксированный элемент из H, x0 + L – соответствующее замкнутое линейноеаффинное многообразие.

Доказать, что тогда p = prx0 +L h в том и только в том случае, когдаp ∈ x0 + L,hp − h, `iH = 0 ∀` ∈ L.14.(3) Вычислить проекции точек на гиперплоскость {u ∈ H | hc, uiH = β} в гильбертовомпространстве H и на параллелепипед {u = (u1 , ..., un ) ∈ Rn | αi ≤ ui ≤ βi , i = 1, ..., n} в Rn .15.(3) Выписать явное выражения для шага αk метода скорейшего спуска в задаче минимизацииквадратичного функционала J(u) = 21 hAu, uiH − hf, uiH (A∗ = A ≥ 0).16.(3) Найти все угловые точки множества U = {u ∈ R4 | u ≥ 0, Au = b}, 1 1 3 13A=, b=,1 −1 1 21и исследовать их на невыpожденность.17.(5) Доказательство теоремы отделимости точки от непустого выпуклого множества в Rn .18.(5) Пусть A ∈ L(H → F ), пространства H, F – гильбертовы.

Доказать, что тогдаF = ImA ⊕ kerA∗ , H = ImA∗ ⊕ kerA.19.(3) Пусть H – гильбертово пространство, отображение G(u) = (g1 (u), ..., gn (u)) : H → Rnдифференцируемо по Фреше и G0 (u) = (g10 (u), ..., gn0 (u)) ∈ L(H → Rn ) – его первая производная.Доказать, что сопряженный к G0 (u) оператор (G0 (u))∗ ∈ L(Rn → H) действует по правилу0∗(G (u)) λ =nXλi gi0 (u),λ = (λ1 , ..., λn ) ∈ Rn .i=120.(4) Множество M в R2 задано уравнением M = {x = (x1 , x2 )|F (x) = 0}, где F (x) = x21 − x42 .Найти множество T0 M касательных векторов к M в точке 0 = (0, 0) и ядро KerF 0 (0). Верно лиравенство T0 M = KerF 0 (0)?21.(4) С помощью правила множителей Лагранжа решить задачу минимизации квадратичного функционала J(u) = hAu, uiH на сфере kukH = 1 в гильбертовом пространстве H.

ЗдесьA ∈ L(H → H), A = A∗ ≥ 0 (если dim H = ∞, существование решения предполагается).22.(4) Построить вторую двойственную задачу к канонической задаче линейного программирования и показать, что она совпадает с исходной задачей.23.(4) Построить двойственную задачу к задаче минимизации1J(u) = kuk2 → inf,2Au = f,где A ∈ L(H → Rn ), f ∈ Rn , H – гильбертово пространство.24.(4) Решить задачу оптимального управленияRTJ(u) = 0 (−x(t) + u2 (t)) dt → inf,x0 (t) = u(t), 0 < t < T, x(0) = x0 ; |u(t)| ≤ a.Рассмотреть случаи а) T > 2a > 0 и б) 0 < T < 2a.25.(4) В пространстве R2 найти нормальное решение u∗ системы линейных уравнений Au = f,где u = (u1 , u2 ), Au = (2u1 + u2 , 2u1 + u2 ), f = (5, 5).

Для системы с приближенным операторомe = (2u1 + u2 , (2 − δ)u1 + u2 ), δ > 0, найти экстремалиAuue = argmin Tα (u)u∈R2e − f k2 + αkuk2 и исследовать их на сходимость к u∗ прифункционала Тихонова Tα (u) = kAuδ → 0 и значениях параметра регуляризации а) α = 0 (регуляризация не проводится), б) α = δ.Некоторые задачи из письменных контрольных работ 2007/2008 уч. года1.(5) Пусть x(t) = x(t; u) – решения краевой задачиx00 (t) = u(t), 0 < t < T ;x(0) = 0, x(T ) = 0 .Указать правило вычисления первой производной Фреше J 0 (u) функционалаJ(u) = |x(T /2; u) + 3|2в пространстве u = u(t) ∈ L2 (0, T ), найти явное значение J 0 (0) в точке u(t) ≡ 0 и исследоватьфункционал J(u) на выпуклость и сильную выпуклость.2.(5) В бесконечномерном гильбертовом пространстве H поставлена задача минимизации с двумя ограничениями-неравенствами:J(u) = hf + 4g, ui → inf,ku − hf, uif k2 6 hf, ui,hf, ui 6 1.Здесь f, g – заданные элементы из H, такие, что kf k = 1, kgk = 1, hf, gi = 0.Поставьте соответствующую двойственную задачу максимизации видаψ(λ) → sup,λ ∈ Λ,с приведением явных выражений для функции ψ(λ) и допустимого множества Λ ⊂ R2 .Найдите оптимальное решение двойственной задачи λ∗ и соответствующее ему значение функции ψ ∗ = ψ(λ∗ ).Используя полученные значения λ∗ и ψ ∗ , найдите оптимальное решение u∗ исходной задачиминимизации и соответствующую ему нижнюю грань функционала J∗ .3.(5) В пространстве L2 (0, l) поставлена следующая задача минимизации с ограничением:J(u) = kuk2L2 (0,l) → inf,y(l/2) 6 −l3 /8 .Здесь y(x) = y(x; u) – решение краевой задачиy 00 (x) = u(x),0 < x < l,y(0) = 0,y(l) = 0,соответствующее выбранной функции u = u(x) ∈ L2 (0, l).

С помощью правила множителейЛагранжа найдите нижнюю грань функционала J∗ , множество оптимальных решений U∗ изначение множителя Лагранжа λ∗ , отвечающего за ограничение. Представьте объяснения поповоду регулярности задачи и возможности выбора λ∗0 = 1 .4.(5) В гильбертовом пространстве H (dim H = ∞) поставлена задача минимизации без ограничений:J(u) = (ha, ui − 3 hb, ui − 10)2 → inf, u ∈ H ,где a, b ∈ H, kak = 1, kbk = 1, ha, bi = 0 .Найдите нижнюю грань J∗ функционала, множество U∗ оптимальных решений и решение u∗ сминимальной нормой.Для задачи с возмущенными данными√ 2e = J(u) + δ ha, ui + δ → inf, u ∈ H (δ > 0) ,J(u)найдите экстремали ue функционала Тихоноваe + α kuk2 ,Tα (u) = J(u)α > 0,и исследуйте поведение их уклонений keu − u∗ k от нормального решения u∗ при δ → 0 и выборепараметра регуляризации по правилам а) α = δ и б) α = δ 2 ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы