Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Появление быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) сделало возможным эффективное решение многих важных прикладных экстремальных задач, которые ранее из-за своей сложности представлялись недоступными. В настоящей книге излагаются элементы теории экстремальных задач, а также основы наиболее часто используемых на практике методов приближенного решения экстремальных зада г, теоретическое обоснование и краткая характеристика этих методов. Книга накнсана как учебное пособие для студентов факультетов и отделений прикладной математики университетов, технических вузов. В основу книги положен нурс лекпий по численным методам решения экстремальных задач, который автор в течение ряда лет читает на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского университета. В главе 1 излагаются методы минимизации функций одной переменной, в главах 2 — 5 рассматриваются задачи минимизации функций конечного числа переменных, в главах 6, 7 — аадачи оптимального управления процессами, описываемым скстемамн обыкновенных дифференциальных уравнений.
Часть текста, которая содержит материал, дополняющий н расширяющий основное содержание книги, напечатана петитом и прп первом чтении может быть опущена. Заманчиво было бы изложить теорию и методы минимизации сразу в общем виде на язьпсе функционального анализа, охватив при этом как частный случай многие методы минимизации функций конечного числа переменных. Однако такой способ изложения, несмотря на свою привлекательность и удобства для читателя-математика, видимо, все же труден для первого знакомства с предметом, не говоря уже о том, что он не может отразить всю специфику конечномерных задач. Поэтому автор, стремясь сделать книгу доступной читателям, владеющим математикой в объеме программ технических вузов и впервые знакомящихся с теорией п методами решения экстремальных задач, в настоящей книге отобрал материал, не требующий для своего понимания знаний функционального анализа. За пределами книги остались такие важные разделы теории и методов экстремальных задач, как задачи оптимального уп- ПРЕДИСЛОВИЕ равлення процессами, описываемыми уравнениями с частными производными, некорректные экстремальные задачи, аппроксимация и устойчивость экстремальных задач, методы минимизации в функциональных пространствах.
Этим разделам теории и методам экстремальных задач, требующим для математически строгого изложения непользования аппарата функционального анализа, автор предполагает посвятить отдельную книгу. По рассматриваемым в книге проблемам имеется обширная библиография, насчитывающая много тысяч названий. Спиоок литературы, который приведен в конце книги, содержит лишь некоторые работы, которые были непосредственно использованы в книге или близко примыкают к ней, дополняя ее содержание. Нумерация формул, теорем, лемм, определений, упражнений в каждом параграфе самостоятельная; ссылки на материалы, расположенные в пределах данного параграфа, нумеруются одним числом, вне данного параграфа, но в пределах данной главы — двумя числами, вне данной главы — тремя числами. Так, например, теорема 3 из з 2 главы 4 в пределах этого параграфа именуется просто теоремой 3, в других параграфах 4-й главы— теоремой 2.3, в других главах — теоремой 4.2.3.
Аналогично параграфы при ссылках на них в пределах данной главы нумеруются одним числом, а вне этой главы — двумя числами: первое число означает номер главы, второе — номер параграфа. Автор выражает глубокую благодарность академикам А. Н. Тихонову и А. А. Самарскому за внимание и поддержку при написании книги, С. М. Циднлпну п Ю. Н. Черемных, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд ценных замечаний, Н. Л.
Григоренко, взявшему на себя труд по научному редактированию книги п устрапнвшему многочисленные погрешности изложения, а также Н. С. Бахвалову, И. С. Березину, В. И. Благодатских, В. Г. Карманову, М. Ковач, В. Л. Кулагину, М. С. Никольскому, М.
М. Потапову, Н. А. Прохорову, В. Г. Сушко, В. В. Федорову, Б. М. Щедрину, М. Ячимовичу за многочисленные полезные дискусспи и советы, способствовавшие улучшению содержания книги. В столь бурно развивающейся области, как теория и методы решения экстремальных задач, очень трудно создать учебное пособие, которое обладало бы определенной завершенностью и было бы свободным от недостатков, и поэтому автор будет признателен читателям за критические замечания по содержанию книги.
Ф. П. Васильев Глава 1 МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ С задачами мпнпмпзадпи функцпй одной переменной мы впервые сталкиваемся при изучении начальных глав математического анализа л решаем пх методами днфференпнального исчисления. Может показаться, что атв задачи относятся к достаточпо простым в методы ях решения хорошо разработаны н изучены. Однако это не совсем так. Методы дифференциального нсчпсленпя паходят огранпчепное првмепенпе и далеко не всегда удобны для реализация па современных ЭВМ. Хотя в последнпе десятилетия лоявплвсь другие методы, более удобные для использования на ЭВМ, требующяе меньшего объема вычислительного труда, но тем не мелее эту область экстремальных задач никак нельзл считать завершенной. Работы, посвященные новым методам мннпмнзацви функций одной переменной, продолжают появлятьсл па страницах математических книг и журналов (см., например, (Ы, 90, 95, 106, 128, 241, 246, 206, 279, 282, 288, 291, 314, 328, 332]).
Мы здесь остаповпмся на некоторых наиболее известных методах, достаточно хорошо проявивших себя ва практике. $ 1. Постановка задачи Пусть К = (и: — < и < = ) — числовая ось, (7 — некоторое множество нз К, з(и) — функция, определенная на множестве (7 и принимающая во всех точках иш (7 конечные значения. Примерами множеств из К являются: отрезок (и, Ь]=(и~и К: а< < и <Ъ), интервал (а, Ь) = (и ш К: а < и < Ы, полуинтервалы (а, Ь)=(ишК: а < и< Ы, (а, Ь]=(иш К: а <и < Ы, где а, Ь— заданные числа.
Будем рассматривать задачу минимизации функции з(и) на множестве (7. Начнем с того, что уточним постановку этой задачи. Для этого сначала напомним некоторые определения из классического математического анализа. Определение 4. Точку из ~Ь7 называют точкой лгинимума функции з(и) на множестве Ь7, если з (иэ)<У(и) для всех иш(7; величину э'(и„) называют наименьшим или жииимальным значениезг з (и) на Ь7 и обозначают ш(п з (и) = У (ив). о=и Множество всех точек минимума з(и) на с7 будем обозначать через Г„ В аавпсимостп от свойств множества 07 и функции з(и) множество Уэ может содержать одну, несколько или даже бесконечно много точек, а также возможны случаи, когда (7е пусто. ! О методы 4!НнимизАции ФункциЙ ОднОЙ пегеыеннои !Рл, ! Пример 1.
Пусть /(и)=з(п'(я/и) при иФО и /(0)=0. На множестве »/= (и: 1 < и < 2) минимальное значение 1(и) равно нулю, множество !/4 состоит из единственной точки и„= 1. Если !/=(ьи 1/3<и<1), то У,» содержит три точки: 1/3, 1/2, 1„'если У=(ьц 0<и < 1), то »/ =(ьи и = 1/и, п= =1,2, ...) — счетное множество. В случае »/=(ьп 2<и< ) функция 1(и) не имеет наименьшего значения на !/. В самом деле, какую бы точку и»н 1/ ни взять, найдется точка о»н У (например, о = й при достаточно большом /з) такая, что Х(и)>э(о).
Это значит, что Уэ пусто. Пример 2. Функция Х(и) = (и(+!и — 1( — 1 на У =(ьи ~и~ <1) принимает свое наименьшее значение, равное нулю, во всех точках отрезка »/4 = (и: О~~и~(1). Если »/ = =(и: 1<и<2), то К„ведер»кит одну точку и = 1! если 1/ = =(и: 1<и(2), то т/ = Я. Пример 3. Пусть 1(и)=и при иФО и /(0) 1. На множествах 4/=(и: 0<и<1) нли У=(ьп 0< и<1) эта функция не имеет наименьшего значения, т. е.
О'„= Я. Пример 4. Пусть /(и) 1пи, »/=(ьп 0<и<1). Здесь (/„= 8, так как во всех точках из П функция принимает конечные зпачения, а для последовательности и» 1//з (й = 1, 2, ...) имеем 1пп Х(и4) = — оо. 4 м О и р е де л е н и е 2. Функция 1(и) называется ограниченной снизу на множестве !/, если существует такое число М, что з'(и)>ЛХ для всех и»н»/. Функция /(и) не ограничена снизу на т/, если существует последовательность (и») ~ »/, для которой 1пп Х(и4) = — со. 4 со В примерах 1 — 3 функции ограничены снизу на рассматриваемых множествах, а в примере 4 функция не ограничена. В тех случаях, когда У„= 8, естественным обобщением понятна наименьшего значения функции является понятие нижней грани функции. О и р е д е л е н и е 3.
Пусть функция У(и) ограничена снизу на множестве »/. Тогда число Уэ называют нижней гранью з(и) на П, если: 1) Ха<У(и) при всех и»н»/; 2) для любого сколь угодно малого числа е > 0 найдется точка и,»п 4/, для которой Х(и») <Хэ+ е. Если функция з'(и) не ограничена снизу на 4/, то в качестве нижней грани з(и) на 4/ принимается Х вЂ” сс. Нижнюю грань 1(и) на »/ обозначают через 1п1./(и) = з„,. чан В примерах 1 — 3 Х, = О, а в примере 4Х = — оо. Если Уэ чь !с», то, очевидно, нижняя грань /(и) на с/ совпадает с наименьшим значением этой функции на У, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
