Решения (1125183)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Решение двух задач, связанных с теорией чиселА.В. Щепетилов & Co16 декабря 20101. При каких n число n! является полным квадратом при n > 1?Ответ: ни при каких n > 1. Действительно, рассмотрим наибольшеепростое p, не превосходящее числа n > 1. Если n < 2p, то p входит вn! лишь в первой степени и n! не является полным квадратом. Еслиже 2p 6 n, то в соответствии с постулатом Бертрана существуетпростое число q такое, что p < q < 2p 6 n, что противоречит выборуp. На самом деле, мы доказали, что n! при n > 1 не является никакойнатуральной степенью, большей единицы, никакого натуральногочисла.2.

Определить, при каких α > 0 выполнено равенство lim nα sin n =n→+∞∞.Докажем сначала следующее предложение.Предложение 1 (об одном пределе, связанном¯ с рациональными¯¯¯ C(α)pаппроксимациями числа π). Если неравенство ¯¯π − ¯¯ < α+1 приqqнекоторых α > 0, C(α) > 0 имеет не более чем конечное число решений (бесконечное число решений) относительно пар натуральных чисел (p, q), то при n ∈ N ∀ε > 0 lim nα+ε sin n =n→+∞µ¶∞lim nα sin n 6= ∞ .n→+∞¯¯¯¯ C(α)pДоказательство. Пусть неравенство ¯¯π − ¯¯ < α+1 имеет относиqqтельно пар натуральных чисел (p, q) не более чем конечное числорешений.

Тогда¯ ∃N¯ ∈ N такое, что ∀n > N и ∀q ∈ N выполнено¯n ¯ C(α)неравенство ¯¯π − ¯¯ > α+1 .qq12¯n¯1¯¯С другой стороны, для ∀n > N ∃mn ∈ N такое, что ¯ − mn ¯ < .π2ТогдаC(α)π6|πm−n|<nmαn2иn→ π при n → ∞.mnh πiОтсюда ввиду выпуклости вверх графика функции sin t, t ∈ 0,2получаем ∀ε > 02nα+ε | sin n| = nα+ε | sin(n − πmn )| > |n − πmn |nα+ε >πµ ¶α2 C(α) α+ε 2n>n= C(α)nε → +∞ при n → +∞.απ mnπmn¯¯¯¯C(α)pНаоборот, пусть неравенство ¯¯π − ¯¯ < α+1 имеет относительqqно пар натуральных чисел (p, q) бесконечное число решений.

Тогда ∃¯ последовательностинатуральных чисел pk , qk → +∞ такие,¯¯¯C(α)pkC(α)и |pαk sin pk | =что ¯¯π − ¯¯ < α+1 . Отсюда |πqk − pk | <αqkqkqkC(α)pαk | sin(pk − πqk )| < pαk |pk − πqk | < pαk α → π α C(α) при k → +∞qkи, значит, nα sin n 6→ ∞ при n → +∞.Точнаягрань µ(x) множества чисел β таких, что неравен¯ нижняя¯¯¯p1ство ¯¯x − ¯¯ < β имеет относительно пар натуральных чисел (p, q)qqне более чем конечное число решений, называется мерой иррациональности вещественного числа x.

Наилучшая оценка сверху дляµ(π) получена в статье Салихова В. Х. "О мере иррациональностичисла π" УМН Т. 63, вып. 3, с. 163-164, 2008 и составляет 7.6304 . . ..Поэтому при α > 6.6304 . . .lim nα sin n = ∞.n→+∞С другой стороны,¯ в силу аппроксимационной теоремы Дирихле,¯¯1p¯неравенство ¯¯π − ¯¯ < 2 имеет бесконечное число решений отноqqсительно пар натуральных чисел (p, q). Поэтому lim nα sin n 6= ∞n→+∞при 0 < α 6 1.Ответ на вопрос задачи при 1 < α < 6.6304 . . .

в настоящее времянеизвестен..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы