Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Уравнения эллиптипееиого типа Отек)да находим ип(г) = 4я / рп(() гК., или э и ", лг ~ соя пгр, Фп ггпп. п ( ээ) '~п ] го] а ) (я1п иго, 2 рп и еп,п а э ]]гр„]] = ]]ф и]] = — я„а [.7„'(1л~'О)], где ][2 при и, = О, '(1 при и ф- О. Подставляя эти выражения в формулу для С, получим решение зада- чи в форме (1). Аналогичным методом может быть найдено решение задачи о точечном заряде внутри цилиндра. 4. Задачи, требуюпдие применения сферических и цилинд- рических функций.
123. Решение первой внутренней краевой задачи для сферы Ьи = О при г ( а, и] = ~(0; 'ээ) может быть представлено в виде ряда и(г, О, гр) = ~~ ( — ) У„(0, оэ), где )гп = ~(Л„ь соя/егр -~- В„ь яш Ьр)Р~~~(соя О), я=о (2) ип(г) = 4я / ('р(М', г,")е '" '= С~ пп( ) г1ам гй;. Подставляя это выражение в формулу (3) и формально меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем и(М г) = 4я I 1р(М' г,') ~~г и( ) "( е "л" ] с' йаяг г1г,'. 2л/Л ]]эр ]]г Отсюда следует, что функция точечного источника равна гз(М М л) ~ Ф:(М)Ф (М') е —,л.~.— С л ]]й ]р Потенциал заряда е, очевидно, равен а = 4яеС. Если цилиндр круглый (Я круг), то 416 Ответы, указания и решения Ао о 4 ~~1(0, э') вшде10ейр, в о А и = ~ ~ ЯВ, 1р)Р„(соя 0) сов й1р в1п В 110 ейр, о о п>О, е Вия =, ~ ~ )(В, р)Р„(совВ) гйпй1рвшВВВейр. (2П+1)(11 — й)! Г Г ОО 2я(п+ й)! и о (3) 124.
Решение первой внешней краевой задачи для сферы Ьи = О при и > а, и ~(, = 1(0, 1р) представляется рядом и(г, В, ~р) = ~ (-) 1'„(О, 1р) = и=-о Н (А„г. сов й1р + Вне в1п й1р) Р~~~ (сов 0), =о й=о коэффипиенты, определяемые формулами (3) зада где А„я и Виь чи 123. 125. а) Решение второй внутренней краевой задачи для сферы Ьи = О при и ( а, — = У(0 р)' ди дп т — — а у(0, ув) . функция, удовлетворяющая условию 11((0, ув) 1пде10ейр= О, о о имеет Вид и и(г 0 1р) = ~~1 ти(0, ув) + сопво = и=1 "" ж и (А „соя й1р+ В„й вш й1р)Р~~~(сов В) + сопв$, и=1 й=О где А„й и В„й коэффициенты, определяемые формулами (3) зада- чи 123. б) Решение второй внешней краевой задачи для сферы ди ди, Ьи = О при 1' > а, — = у"(О, 1р) или — — ' = Д(0, ув) дп,— и дг — — а (и — внешняя нормаль) имеет вид и -~- в и(Г, В, 1р) = ~ и~, У„(0, 1р) + СОПВи и=в 417 Гл.
Л~. Уравнения эллиптического типа Для частного случая Х(0 оэ) = Асозд получим (0 Оэ)=0 при п>1, 1'з(0, 1э) = АсозВ, и(т, В) = Ат соз 0 (т < а)., и(т, О) =,, сов В (т > а). 4а3 равный и 1з + ~~ — Р„1(0)Рп(сов В), т < а, (а) и -~-1 п=1 радиус сферы. Р„ полинам Лежандра и-го порядка, где а ( ( — 1) 1 3 5...(2и — 1) при и=2р, 0 при и = 2и+ 1. У к а з а н и е. При вычислении интеграла 1 ~Рп(х) с1х воспользоваться: 1) рекуррентной формулой 2п+ 1 и+з 2) формулами Рп з(0) — Рп, з(0) = Рп 1(0) Р (О) ( 1)и 1 ~ ~'..(2~ 1) и!2 Р (О) = О. 127.
Заряд находится в точке т = то, 0 = О, где т, 0 сферические координаты, начало координат в точке т = О. а) Если то < а, где а радиус сферы, то потенциал е ~ п=о е ) при т< то, и(т, 0) = ( ' — ' ) Рп(сов В) при т>то, п=о 27 Б.М, Будок и др. 126. Напряженность электростатического поля, как обычно, вы- ражается через потенциал и, Е = — пигас1и, 418 Отоеиты, укаваиия и уетиеиия а плотность поверхностных зарядов на сфере о = — — ' ~ ~(2тл+ 1) о,, Ри1совд).
и=-О б) Если го > а, то потенциал / в ел г„"' г" ы то'е и(г, д) = 2 ет а плотность поверхностных зарядов на сфере равна е а" тт = — — ~(2п+ 1) „, Ри(сов д). п=о У к а з а н и е. Следует воспользоваться разложением — ( — ) Р„(совд) при т < то,.
го го и=о Й 1 и — ( — ') Р„(говд) при г > го., о=о где Л расстояние точки наблюдения (г, д) от заряда (го, О). Потенциал точечного заряда ищется в виде суммы тл(г, В) = — '+ ~~ А„( — 1 Р„тсовд) при г < а, и=о е таз игал и1т, В) = — + ~В„(-) Р„1совд) при т > а. и=о Коэффициенты А„и Втт определяются из граничного условия и ~ =0: (2) то А = — е— о а л а В = — е— и ~.тт 'о Плотность поверхностных зарядов находится по формуле 4 (д) При этом в случае а) надо пользоваться формулой (2), в случае б)— формулой (1).
128. Пусть сфера радиуса а., на которой распределен заряд ет, помещена в поле точечного заряда е, находящегося в точке (го, О). Потенциал поля равен Е ОЪО Ово~' и = — -~- — о — е ~ „Рит,говд), В т и=о 419 Рл. 1вв. Уравнения эллиптического типа р С. '° е а и = — — ~~в (2п+ 1) —,, Р„(соя О) + —, 4н вэз а 4на' п=.о о ез е уо = — + —. а в'о Указание. Решение по-прежнему ищется в виде и(г, В) = — + ~ В„( — ) Р„(соя В). а=а Граничное условие и ~ , = Ъо дает Н,,ВВ=З (.
'.;, ВЗ.) г.[е ВВ =В.=.. -Г Отсюда находим а В„ = — е 1 Во = 'в'о — е —, го Пользуясь разложением — — ( — ) Р„(соя О), н=о найдем Лля определения 1ввв служит условие нормировки / па ойп В 00 вЬр = е з . о о 129. Пусть (г, О, вр) сферические координаты, г = 0 центр шара, а его радиус, и = и(г, В, вр) потенциал скорости: з о аз а) и = и(г, 0) = о, Р,(соеВ) = о, соеВ; аз з, б) и = и(г, 0) = — ио г+ — ) Р,(созВ).
,) Указание. Решение ищется в виде лз и=-О где 1'а(0, вр) -- сферическая функция. Из граничного условия при г = а находим в О при п~1в 1;(Вв вр) = — Р (сояВ). 2 Ср. решение задач 74 и 75 этой главы. а поверхностная плотность индуцированных на сфере зарядов дается вы ажением 420 Ответы, указания и решения где при т <а, иг1т, В) = елгя, Рп(созВ) при т > а. 2п+ 1 то пел -'- ллп -~- 1)ег л'"л л О=О У к аз а н и е. См, задачу 131, а) .
132. Плотность тока 12 = — О.23гаг)ил пРи г < а, 12 = — лтг бгал1ив пРи т > а. 1 30. Потенциал искаженного поля равен ЗЕ2 ил = — Ео т соя В внутри шара (т < а), 2ег+ ел и= ,з ел — ел Ра1 иг = — Ео 1+ ~ — ) тсозВ вне шара, 2ег -~- ел т где а радиус шара, и = ио = — Еоя = — Еотсояд — потенциал внешнего поля в отсутствие шара.
Поле Е = (О, О, Ее), где ЗЕ2 ЕО внутри ша12а,. ди 2ег+ ел дг " ег — ел 2аг~ г 1 Ео вне шара 2ег + ел 2.2 ) Указание. См. 17, дополнение, часть П, 2 3). 131. а) Если заряд находится вне сферы в точке (то, 0), то > а, то потенциал электрического поля равен ( ллл(т, В) при 2 < а, и(т, В) = иг(т, В) при т > а, иллт, В) = е ~ "' „, Р„(соя д), пел -'; (п ~- Цег т"+' н=о о Е2 ЕЛ и а е 1 ллг(т, В) — е Р„,(совВ) + — —.
е2 пел + (ел+ 1)е2 тп т +л ег лл е=о о Указание. Решение ищется в виде ил1т, В) = ~ Ап ( — ) Р„(соя В) (т < а), н=е и 1 иг1т, В) = — — + ~~л В„( — ) Рн(совВ) (т > о), =о где А„и „— коэффициенты, определяемые из условия сопряжения дил диг ил — — иг, ел — — ег при т = а.
дт дт б) Если то < а, то пел -'е (и -т 1)ег аг"ел ЕлД н=о Гл. !1с. Уравнения эллиптлоческвгв типа 421 Источник тока находится в точке (го, О). а) Если то < а, то 1 сс! — Ог чг и+ 1 тот Р и! =— Р„(созО) + (т < а), 4п а! ~-~ пщ 4- (и -Ь 1)ссг аг"т! 4пасй л,=о ес -!- 1 иг = — ~ ~~, Р„(сов О) (т > а). 4э пв! -Ь (п-!-1)вг аг"т! ,=о б) Если то > а, то 4эс пст! + (и -'т 1)аг то ! аг — а! у~ и г -!- 1 ! иг(г, О) =— Р„(соя О) + 4гс стг л-' псе! + (и+ 1)стг т т +! 4эсстгЛ п=о (т > а).
133. Если шар идеально проводящий (а! = оо), и источник тока мощностью 1 находится в точке (го, О), го > а, среды, обладающей проводимостью аг, то ,1! = О, 6 = †бгас)иг, где „г -и 1 иг(т! О) = — Е „, „Рп( . О)+ (т > а). п=о 134. Температура и(т! О) вне шара равна (источник .--- в точ- ке (го, О)) г -!- ! п=о ."( ! ~ э,л= 'гссн — 2 В, а - радиус шара.
135. Температура внутри шара г < а равна (2о С~ох ~ (п+ Ц вЂ” ай тс,т' 4яМРс 4Ы ~-' и 4- а1! аг"т! п=о где 6 коэффициент теплообмена,источник в точке (то, О). Указание. При г = а имеет место условие Й вЂ” + Ьи = О. ди дт Решение следует, как обычно, искать в виде и(г! О) = + ~ Ап (-) Рп(сов О), в=о 1 воспользоваться разложением — и определить А„из граничного условия.
422 Ответы, указания и решения л и1(т, д) = ~~~ Ал (-) Рл(созд) при т < а, а и Ь г11 пг(т,д) = ~ ~Вл( — ) +Сл ( — ) ~ 1гл(созд) при а<т < 6, п=в 6 из(т, д) = ~Вп (-) Рп(созд) + — при т > Ь, т езй п=е где Л = ния (т, д) и зарядом, а расстояние между точкой наблюде- еалбгз (пеа + (и и'- 1)) Вл— т"ь (1+ lазгпь' п(п+ 1)) ( — ) (ег — ег)(ез — ег)бггбгз Ь е6" Ег)б1гпВл Рп = ( ) Вп+ Сп — „за, а еагв~ (г = 1, 2). пе, -1- (и -1- 1)е,ег б,, пз 136.
Потенциал точечного заряда е между концентрическими сферами (а < т < 6) равен и(т, д) = ~тг" за — аг" пг тл Ьг"ь' — тг"пг а "ьг и ' г 1г ез аг -;-1 ег Ьгпю аг,пг т -~-1т .~.1) — а тв т При а — з 0 отсюда получаем решение задачи 127, а), при Ь -+ со решение задачи 127, б). Плотность индуцированных зарядов е и — з (2п -и Ц(6~"п~ — тг" ~~) ап л=е 61~а-1 аг -аг 4 1 п=е Ьг за — аг "1 твьз Указание. Решение следует искать в виде и(т., д) = — + ~ (Апти + ",) Р„(сов д), л=е Ал и Вл определяются из условий и = О при т = а и т = Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
