Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от плоскости равновесного движения. 4. Задачи, приводящие к уравнениям с разрывными коэффициентами, и родственные им (кусочно однородные среды, сосредоточенные факторы). Если плотность распределения массы колебля>щегося упругого тела или плотность распределения приложенных к нему сил резко меняется в окрестности некоторых точек пространства, то часто оказывается целесообразным считать, что в этих точках происходит разрыв этих плотностей, и, в частности, переходить к сосредоточенным ыассам или силам, если в окрестности упомянутых точек плотность массы или плотность силы велика. Тогда при постановке краевых задач получаются дифференциальные уравнения с разрывными коэффициентами и разрывным вынуждающим членом.
Если между точками разрыва коэффициенты уравнения остаются постоянными, то задача может быть сведена к уравнениям с постоянными коэффициентами и условиям сопряжения в точках разрыва. При этом мы имеем в виду внутренние точки среды; если же сосредоточенные массы или силы рассматриваются в граничных точках колеблющейся среды, то это должно быть отражено граничными условиями ).
26. Лва полуограниченных однородных упругих стержня с одинаковыми поперечными сечениями соединены торцами и составляют один неограниченный стержень т1. Пусть рт, Е, плотность 21 массы и модуль упругости одного из них и рз, Ез другого. Поставить краевую задачу для определения продольных отклонений поперечных сечений неограниченного стержня от их положений равновесия, если в начальный момент времени поперечным сечениям стержня сообщены некоторые продольные смещения и скорости. 27.
1тассмотреть задачу 26 для случая поперечных колебаний составного неограниченного стержня. ') Задачи с сосредоточенной силой на конце стержня и сосредоточенной электродвижущей силой на конце провода уже рассматривались в предыдущем пункте (см. задачи 13, 19). а) Если один нз концов стержня столь удален от рассматриваемой области, что можно в рассматриваемой области н в течение рассматриваемого промежутка времени пренебрегать возмущениями, распространяющимися от этого конца, тогда стержень можно считать полуаграниченным 1хе < х < -1-сс нли — оо < х < хе); осли же оба конца стержня находятся в таком полОжении, то стЕржень можно Считать нееграничанным ( — ею < х < -Ьэо).
Это можно сказать о струне, о трубке, наполненной газом, и т.л. з Б,м. дулаи и лр. 18 Условия задач 28. Рассмотреть задачу, аналогичную задаче 26, для продольных колебаний газа в неограниченной цилиндрической трубке, если по одну сторону некоторого поперечного сечения находится газ с одними физическими характеристиками, а по другую — с другими.
29. Поставить краевую задачу о волновом движении жидкости в канале ) с прямоугольным поперечным сечением, если размеры поперечного сечения в некотором месте канала резко изменяются, т.е. канал «составлен» из двух полуограниченных каналов с различными поперечными сечениями. 30. Рассмотреть задачу 26, предполагая, что торцы составляющих стержней соединены не непосредственно, а между ними находится жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины массы М.
31. Два полуограничонных однородных стержня с одинаковым прямоугольным поперечным сечением соединены торцами так, что составляют один неограниченный стержень постоянного поперечного сечения, причем торцы полуограниченных стержней соединены не непосредственно, а между ними находится жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины с массой М. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях такого стержня.
32. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях однородного упругого вертикального стержня, пренебрегая действием поля силы тяжести на частицы стержня, если верхний конец стержня закреплен жестко, а к нижнему прикреплен груз Ц, причем за положение равновесия принимается ненапряженное состояние стержня (например, в начальный момент времени из-под груза убирается подставка и груз начинает растягивать стержень). 33. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях в вертикальной плоскости упругого прямоугольного однородного стержня, расположенного в ненапряженном состоянии горизонтально, если один конец стержня жестко закреплен, а к другому прикреплен груз Щ момент инерции которого относительно средней горизонтальной линии примыкающего торца пренебрежимо мал, причем за положение равновесия принимается ненапряженное состояние стержня. 34. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упругого горизонтального стержня с грузом Я на конце, если другой конец стержня жестко прикреплен к вертикальной оси, которая вращается с угловой скоростью, меняющейся с течением времени по заданному закону.
Изгибные колебания считать исключенными с помощью специальных направляющих, между которыми скользит стержень во время продольных колебаний. 36. Рассмотреть задачу 34, предполагая, что ось вращения расположена горизонтально. ') См. задачу 7. Гл. Йй ,Уравиеиия еиперболииееиоео типа 19 36. Поставить краевую задачу Шкивы о крутильных колебаниях цилиндра длиной 21, составленного из двух цилиндров длиной 1, если на концах составленного цилиндра и между торцами соединяемых цилиндров находятся жесткие шкивы (рис. 5) с заданными осевыми моментами инерции.
Рис. 5 37. Пусть неограниченная струна совершает малые поперечные колебания под действием поперечной силы, приложенной, начиная с момента 1 = О, в некоторой заданной точке струны. Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от их положения равновесия. Рассмотреть также случай, когда точка приложения силы перемещается с течением времени вдоль струны по заданному закону.
38. Рассмотреть задачу 37 для поперечных колебаний стержня. 39. Конец полуограниченной цилиндрической трубки, заполненной идеальным газом, закрыт поршнем массы ЛХ, скользящим в трубке, причем сопротивление трения пропорционально скорости поршня с коэффициентом пропорциональности, равным Й". Пусть поршень насажен на пружинку с коэффициентом упругости Й** и осью, направленной по оси трубки. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях газа в трубке. 40. В некоторой точке неограниченной струны прикреплен шарик массы М, а к нему прикреплена пружинка с коэффициентом упругости Й и осью, перпендикулярной к равновесному положению струны (см. рис. 11).
Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны. Рассмотреть также случай, когда шарик испытывает сопротивление пропорциональное скорости с коэффициентом пропорциональности Й*. 41. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе с пренебрежимо малыми сопротивлением и утечкой, если концы провода заземлены: один -- через сосредоточенное сопротивление Ло, а другой через сосредоточенную емкость Со. 42. Рассмотреть задачу 41,предполагая.,что один конец провода (Ц заземлен через сосредоточенную самоиндукцию Ьа ~, к другому приложена электродвижущал сила Е(е) через сосредоточенную самоин- (г~ дукцию Ьо 43. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, если концы провода заземлены через сосредоточенные сопротивления.
44. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, если каждый из его концов заземлен через последовательно включенные сосредоточенное сопротивление и сосрццоточенную само- индукцию. 20 Услееин задач Найти соотношения, которым должны удовлетворять величины сосредоточенных самоиндукций и сопротивлений для того, чтобы для п(х, е) имели место однородные граничные условия третьего рода.
45. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в неограниченном проводе, полученном соединением двух полуограниченных проводов через сосредоточенную емкость Се. Рассмотреть краевую задачу для определения силы тока в случае, когда утечки нет. 46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
