Список вопросов и задач (1124669), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

9. На дороге, соединяющей города А и D, находятся поселки В и С. (Порядок следования: А, В, С, D.) Были измерены расстояния между А и С, между В и С, между В и D), а. также между А и D), которые дали результаты x, у, z и w соответственно. Будем считать результаты измерений независимыми случайными величинами. отличающимися от истинных расстояний за счет случайных слагаемых (ошибок измерения) вида Укажите наилучшие оценки для расстояний между В и С и между A и D. Найдите их дисперсии, а также оценку для неизвестной величины .

VIII. Доверительные интервалы.

1. Даны результаты n= 6 независимых измерений некоторой неизвестной величины a:

2.30; 1.96; 2.05; 2.15; 1.98; 1.93.

Примем статистическую модель, согласно которой каждое измерение представляет собой сумму , где - случайная величина (ошибка), распределенная нормально, причем . Дисперсия ошибки - неизвестна. Укажите для а доверительные интервалы, выбрав доверительные вероятности 0.90, 0.95 и 0.99.

2. Пусть наблюдения образуют простую линейную регрессию по переменной х, т.е. , где а и b - неизвестные параметры, заданы, суть независимые , причем неизвестна.

а) Указать правило для интервального оценивания b (коэффициента наклона).

b) Для данного значения х рассмотрим прогноз для у: , где - оценки,

полученные по указанным выше наблюдениям. Указать доверительные интервалы

для а + bх, основываясь на свойствах .

3. По выборке объема n из равномерного распределения на отрезке , где - неизвестный параметр, построить для доверительные интервалы, основанные на статистике

4. По выборке из показательного распределения с параметром  > 0 построить для неизвестного  нижнюю доверительную границу (заданной доверительной вероятности).

IX. Проверка статистических гипотез.

1. О распределении случайной величины Х есть две гипотезы: и .

Гипотеза : Х распределено по нормальному закону .

Гипотеза : Х распределено равномерно на отрезке [-3,3].

Каков вид допустимых решающих правил, если решение (выбрать или ) надо принять по одному наблюдению?

2. Дана выборка из распределения Пуассона с параметром ,  > 0. Укажите вид наиболее мощного критерия для проверки гипотезы ( - задано) против .

3. В схеме простой линейной регрессии с гауссовскими ошибками предложите критерии для проверки гипотез , где a, b - коэффициенты пересечения и наклона соответственно.

4. Из однофакторной модели наблюдений следуют модели , где - неизвестные параметры, - независимые величины. Укажите вид критерия для проверки и распределение критериальной статистики (при гипотезе и при альтернативе : среди чисел есть различные).

5. Пусть - статистика ранговых сумм Уилкоксона, где - объем первой выборки,

- объем второй выборки.

а) Вычислить распределение для m = 3, n = 2 в случае, когда выборки однородны.

b) Доказать, что для однородных выборок распределение симметрично.

c) Вычислить и .

d) Каково предельное распределение статистики (если нужно, нормированное)

при :

d1) для однородных выборок? d2) для выборок, отличающихся сдвигом?

6. Пусть - две независимые выборки из непрерывных распределений. Как известно, для проверки их однородности в гауссовском случае применяют статистику Стьюдента . Рассмотрите аналог статистики t, который возникает при замене наблюдений их рангами (в объединенной совокупности). Покажите, что эта статистика эквивалентна статистике ранговых сумм Уилкоксона.

7. Пусть - две независимые выборки из и соответственно. Укажите статистический критерий для проверки гипотезы против альтернативы

а) считая известным;

b) считая неизвестным.

X. Оценки наибольшего правдоподобия.

1. Испытания Бернулли.

а) По результатам n испытаний Бернулли найти для вероятности успеха оценку наибольшего правдоподобия.

b) Рассмотрим испытания Бернулли с m > 2 исходами, которые обозначим через а их (неизвестные) вероятности - через . Пусть обозначают (случайные) количества зарегистрированных в п испытаниях исходов соответственно. Найти для оценки наибольшего правдоподобия.

с) Таблицы сопряженности. Каждый объект некоторой (бесконечной) совокупности может быть классифицирован по признакам A и В. Признак A принимает r значений - , признак В - s значений - . Каждый объект обладает некоторой комбинацией признаков A и B. Пусть обозначает вероятность того, что случайно выбранный объект обладает комбинацией признаков : . Пусть - зарегистрированные частоты (числа появлений) комбинаций , при случайном выборе n объектов. Таблицу частот называют таблицей сопряженности признаков. Важная статистическая гипотеза - о независимости признаков А и В. В этом случае где 3адача: отправляясь от таблицы сопряженности, найти для оценки наибольшего правдоподобия в предположении, что признаки независимы.

2. Испытания на надежность. Случайное время службы прибора до его отказа распределено по показательному закону с неизвестным параметром ( для ). Для определения на испытания поставили n приборов. Рассмотрите три плана испытаний, и в каждом найдите для оценку наибольшего правдоподобия:

а) испытание проводят до отказа всех приборов;

b) испытание проводят в течение заранее установленного времени Т;

с) испытание останавливают в момент регистрации r-го отказа.

3. Пусть - выборка из равномерного распределения на отрезке [а,b]. Найти оценки наибольшего правдоподобия

а) для а,b;

b) для b, считая а = 0;

с) для а, считая b = 1 + а.

4. Дана выборка из двустороннего показательного распределения с плотностью где - неизвестные параметры, . Найти для а и оценки наибольшего правдоподобия.

5. Мы наблюдаем величины , которые следуют статистической модели , где - известные константы, параметр неизвестен; независимые одинаково распределенные случайные величины. Дать для оценку наибольшего правдоподобия в каждом из следующих случаев:

a) - неизвестно;

b) распределено по двустороннему показательному закону - с плотностью

где  > 0 - неизвестный параметр;

с) распределены равномерно на отрезке [-1,1].

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий