П.В. Парамонов - Билеты по курсу комплексного анализа (1124347)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Экзаменационная программа по курсу комплексного анализа

Осенний семестр 2003 г.

Лектор: д.ф.-м.н., профессор П.В. Парамонов

1. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма. Возведение в степень и извлечение корней.

2. Стереографическая проекция и ее свойства.

3. Топология в C и . Предел последовательности и функции. Не­прерывность. Определение и свойства функции e^z. Показательная форма комплексного числа.

4. Пути и кривые в C. Теорема Жордана (б/д). Приращение (поляр­ного) аргумента вдоль пути. Односвязные области в C.

5. Индекс пути относительно точки и его свойства. Индекс замкну­того жорданова пути.

6. R- и C-дифференцируемость. Условия Коши-Римана.

7. Производная сложной и обратной функции. Производная по на­правлению.

8. Конформные отображения. Геометрический смысл комплексной производной. Голоморфные функции.

9. Группа дробно-линейных отображений (ДЛО). Конформность ДЛО.

10. Геометрические свойства ДЛО: круговое свойство, сохранение сим­метрии, свойство трех точек.

11. Дробно-линейные автоморфизмы круга, полуплоскости, C и .

12. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского. Метрика Лобачевского ρ₊ и ее свойства: инвариантность относительно движений и выпол­нение аксиом метрического пространства.

13. Степенная и показательная функция. Функция Жуковского. Их основные (максимальные) области конформности.

14. Многозначные функции, их непрерывные и голоморфные ветви. Корень степени n и логарифм. Их основные ветви и области кон­формности. Общая степенная и показательная функция.

15. Тригонометрические и гиперболические функции. Образ полосы {|Re(z)| < π/2} под действием функций sin(z) и tg(z). Обратные тригонометрические функции. Функции arcsin(z), arctg(z).

16. Интеграл по комплексному переменному вдоль пути (интеграл II рода). Теорема существования интеграла II рода от непрерывной функции вдоль спрямляемого пути.

17. Вычисление интеграла II рода вдоль непрерывно-дифференцируе­мого пути.

18. Интеграл по длине пути (интеграл I рода). Теорема существова­ния интеграла I рода от непрерывной функции вдоль спрямляе­мого пути (б/д). Вычисление интеграла I рода вдоль непрерывно-дифференцируемого пути.

19. Кривые. Интеграл II рода вдоль спрямляемой кривой. Коррект­ность его определения и основные свойства: линейность, аддитив­ность, замена ориентации, оценка интеграла, предельный переход под знаком интеграла.

20. Лемма Гурса (теорема Коши для треугольников).

21. Теорема Коши для односвязных областей.

22. Комплексная первообразная. Теорема о существовании первообраз­ной в односвязной области. Формула Ньютона-Лейбница.

23. Интегральная теорема Коши для допустимых областей (б/д). До­казательство для простых областей. Обсуждение примеров.

24. Интегральная формула Коши для допустимых областей. Обсужде­ние случаев круга и кольца.

25. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля. Основная тео­рема алгебры.

26. 26. Формула Коши для производных. Бесконечная дифференцируе-мость голоморфных функций.

27. Теорема Мореры. Равномерная сходимость внутри области. Тео­рема Вейерштрасса.

28. Теорема о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора.

29. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. Табличные разложения в ряд Маклорена. Пространства A(D) и A^P(D).

30. Степенные ряды. Теорема Абеля. Формула Коши-Адамара.

31. Почленная дифференцируемость и интегрируемость степенных ря­дов. Единственность разложения в степенной ряд. Эквивалент­ность голоморфности и аналитичности.

32. Теорема о нулях голоморфных.функций. Теорема единственности. Особые точки на границе круга сходимости степенного ряда.

33. Обобщенные степенные ряды. Кольцо сходимости. Единствен­ность разложения в обобщенный степенной ряд.

34. Теорема Лорана.

35. Изолированные особые точки и их классификация в терминах ря­дов Лорана.

36. Теорема Сохоцкого.

37. Лемма Шварца. Дробно-линейность конформных автоморфизмов круговых областей, C и .

38. Вычеты и их вычисление.

39. Доказательство интегральной теоремы Коши для простых обла­стей с выброшенными замкнутыми кругами.

40. Теоремы Коши о вычетах и о полной сумме вычетов.

41. Примеры вычисления интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана и преобразование Фурье.

42. Принцип аргумента и теорема Руше.

[Mexmat.Net][http://www.mexmat.net/]

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов вопросов/заданий