Главная » Просмотр файлов » Лекции о сложности алгоритмов. С. А. Абрамов

Лекции о сложности алгоритмов. С. А. Абрамов (1121249), страница 2

Файл №1121249 Лекции о сложности алгоритмов. С. А. Абрамов (Лекции о сложности алгоритмов. С. А. Абрамов) 2 страницаЛекции о сложности алгоритмов. С. А. Абрамов (1121249) страница 22019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В обоих случаях сложность алгоритма — это функцияразмера входа или, соответственно, нескольких параметров размеравхода. Для этого понятия иногда используется термин вычислительная сложность, чтобы избежать путаницы с описательной сложностью, которая тем или иным способом определяется исходя из самойзаписи (текста) алгоритма; одним из видов описательной сложностиявляется длина записи алгоритма, и именно так понятие сложноститрактуется в некоторых теориях  . Мы будем рассматривать тольковычислительную сложность, называя ее просто сложностью.Понятие сложности является математическим уточнением довольно расплывчатого термина «трудоемкость», с помощью которого, наряду с не более ясными «быстродействием» и «эффективностью», иногда пытаются характеризовать алгоритмы.

Принятие в качестве сложности именно затрат в среднем или затрат, соответствующих худшему (а не, скажем, лучшему) случаю, помогает оценить достаточностьимеющихся вычислительных ресурсов для выполнения алгоритма.Итак, сложность является функцией числового, чаще всего целого,аргумента, иногда — нескольких таких аргументов. Теория сложностиизучает эти функции, сопоставленные как отдельным алгоритмам,так и классам алгоритмов решения некоторой задачи.

В последнемслучае возникает семейство функций, для которого могут обсуждаться вопросы о нахождении нижней границы, о существовании минимальной функции этого семейства (если такая функция существует,то соответствующий ей алгоритм — оптимальный в рассматриваемомклассе) и т. д. Важным является также вопрос о существовании в данном классе алгоритмов, нацеленных на решение конкретной задачи,См., например, статью «Алгоритма сложность» в [].Введениеалгоритма такого, сложность которого растет с увеличением размеравхода не слишком быстро, например, остается ограниченной некоторым полиномом, вид которого не оговаривается (такой алгоритмпринято называть полиномиальным).При исследовании существования алгоритма решения задачи,имеющего «не очень высокую» сложность, важную роль играет сводимость какой-то задачи к другой — из возможности быстро решитьнекоторую задачу может следовать такая же возможность для рядадругих, и наоборот, невозможность быстрого решения какой-то одной задачи может автоматически повлечь такую же невозможностьдля ряда других задач.Сложности многих алгоритмов трудно или вообще нельзя представить в простом «замкнутом» виде; помимо этого, точное значение сложности алгоритма для каждого конкретного значения размера входа часто не представляет особого интереса, актуальным же является исследование роста сложности при возрастании размера входа (особый интерес к исходным данным большого размера оправдантем, что на них «захлебываются» тривиальные алгоритмы).

Поэтомув теории сложности широко используется асимптотическое оценивание. Однако сравнение сложностей различных алгоритмов на основеасимптотических оценок этих сложностей возможно не для всех типов таких оценок.Этот круг вопросов, наряду с рассмотрением общих достаточноэлементарных подходов и методов, которые могут оказаться полезными при сложностном анализе алгоритмов, составляет содержаниепредлагаемого курса теории сложности алгоритмов.Наиболее часто используемые обозначенияC AT (x), C AS (x) — временны́е и пространственные затраты алгоритма Aдля входа (входных данных) x;k x k — размер входа x;TA (s), S A (s) — значения временно́й и пространственной сложности алгоритма A для значения s размера входа;λ(n) — количество цифр в двоичной записи неотрицательного целого n (битовая длина n);∗λ (n) — количество единиц в двоичной записи неотрицательного целого n;⌊a⌋ — наибольшее целое, меньшее или равное вещественному a;⌈a⌉ — наименьшее целое, большее или равное вещественному a;N, N+ — множества неотрицательных и положительных целых чисел;Z — множество (кольцо) целых чисел;Zk — кольцо вычетов по модулю k;Q, R, C — множества (поля) рациональных, вещественных и комплексных чисел;Πn — множество всех перестановок чисел 1, 2, ..., n;ƒ — конец доказательства.Глава Сложности алгоритмовкак функции числовых аргументов.Сложность в худшем случае§ .

Затраты алгоритма для данного входа,алгебраическая сложностьПусть по входным данным (входу) x алгоритм A вычисляет результат(выход) y. Такое вычисление связано с затратами времени и памяти. Допустим, что достигнуто соглашение о том, как измеряются этизатраты, тогда можно рассмотреть функции затратC AT (x), C AS (x),где верхний индекс T указывает на временные затраты  , S — напространственные затраты (затраты памяти и пространственные затраты — это синонимы), соответствующие вычислениям, связаннымс применением A к входу x; буквы T и S возникают из английскихслов time — время и space — пространство. Вид этих функций можетбыть очень непростым; их трудно исследовать методами математического анализа, потому что аргумент x не является, вообще говоря,числом и не принадлежит какому-либо метрическому пространству.Можно ввести некоторую неотрицательную числовую характеристикуk x k возможных входов алгоритма и оценивать функции затрат с помощью функций, зависящих не от x, а от k x k:C AT (x) ¶ ϕ (k x k),C AS (x) ¶ ψ(k x k).(.)Если ϕ и ψ не слишком быстро растут при возрастании (числового)аргумента, то эти оценки могут обнадеживать автора или потребителя алгоритма A.Здесь и далее имеется в виду временны́е (связанные с расходованием времени),а не вре́менные (непостоянные, краткосрочные) затраты.

Аналогично — временна́ясложность и т. д. Глава . Сложности алгоритмов как функции числовых аргументовИзбираемую нами величину k · k принято называть размером входа. В соответствии с нашим замыслом размер входа должен характеризовать «громоздкость» исходных данных; то, что k x k являетсячислом, позволяет говорить о росте ϕ , ψ и исследовать этот рост.Выбор размера входа — существенный этап оценивания функций затрат; нужна, во всяком случае, уверенность, что оценки вида (.)будут нести полезную информацию.В дальнейшем, однако, предметом нашего изучения будут не функции затрат, а некоторые другие функции, о которых мы скажем после ряда примеров. Предварительно условимся о некоторых обычныхдля литературы по сложности алгоритмов обозначениях.

Пусть a ∈ R,т. е. a — вещественное число. Значение ⌊a⌋ есть результат округления a до целого в меньшую сторону: ⌊3,14⌋ = 3, ⌊−3,14⌋ = −4 (этувеличину — целую часть a — записывают и как [a]). Соответственно, ⌈a⌉ есть результат округления a до целого в большую сторону:⌈3,14⌉ = 4, ⌈−3,14⌉ = −3. Если a — целое, то ⌊a⌋ = ⌈a⌉ = a.Рассмотрим три простых примера.Пример ..

Исходя из определения произведения матриц, мы получаем алгоритм умножения двух квадратных матриц порядка n, требующий n3 операций умножения. Этот алгоритм далее будет обозначаться буквами MM, от английских слов matrix multiplication — матричное умножение.Пример .. Один из очевидных алгоритмов распознавания простоты данного n ∈ N+ , который мы будем называть алгоритмом пробных делений,состоит в выяснении того, имеется ли среди чиселp2, 3, ..., ⌊ n⌋ хотя бы одно, делящее n.

Количество проверок делимости n на те или иные целые числа (для краткостиможно говоpрить о «числе делений») колеблется от 1 до ⌊ n⌋ − 1. Этот алгоритм далее будет обозначаться буквами TD, от английских слов trialdivisions — пробные деления.Пример .. При сортировке простыми вставками число сравнеn(n − 1), в зависимости от входного масний  колеблется от n − 1 до2сива x1 , x2 , ..., xn . Если интересоваться числом перемещений элеменОсновные алгоритмы сортировки и поиска приводятся в приложении A.

Обсуждаяконкретные алгоритмы сортировки, мы для краткости иногда будем опускать само слово «алгоритм», говоря, например, не об алгоритме сортировки простыми вставками,а просто о сортировке простыми вставками и т. д. Все сортировки, которые мы рассматриваем, являются сортировками с помощью сравнений, т. е.

никаких других операций,кроме сравнений и перемещений (присваиваний или обменов), над элементами массива производиться не может, — исключение составляет пример .. Элементы сор-§ . Затраты алгоритма для данного входаn(n − 1)тов (операций обмена ↔), то оно колеблется от 0 до.

Эта2сортировка далее будет обозначаться буквой I, от английского словаinsert — вставка.В этих примерах уже фактически сказано, что считается размером входа и затратами. В примере . размер входа — целое неотрицательное n — это порядок матриц. В примере . размер входа — само входное число (сам вход) n.

В примерах ., . количество исследуемых операций однозначно определяется по n. Столь жесткаязависимость затрат от размера входа может и не иметь места, какэто следует из примера ., где размер входа — это длина n массива.В связи с этим примером остановимся пока на операциях сравнения.n(n − 1), требуемое в худшем случае, характеКоличество сравнений2ризует рассматриваемый алгоритм среди всех алгоритмов сортировкикак «имеющий квадратичную сложность».

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6480
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее