Е.А. Головко - Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка (1120412), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определим коэффициенты A( x, y ), B( x, y ), C ( x, y ) :А=1, В= 0, С=4.22. Вычислим выражение B  AC :B 2  AC  0  4  4 .3. B 2  AC  4  0  уравнение эллиптического типа во всей плоскостиXOY.4. Запишем уравнение характеристик:dy 2  4dx 2  0 .(15)5. Решим уравнение (15).

Для этого:а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy:dy  2idx ;(16)б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений . Ониимеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)y  2 xi  C ,(17)y  2 xi  C.6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую частиодного из общих интегралов (17):  Re( y  2 xi)  y ,  Im( y  2 xi)  2 x.7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.9Найдем сначала x  0,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0, x  2,  y  0,  xx  0,  xy  0,  yy  0.Используя формулы (7), получим:1 U x  2U  , 3 U y  U ,1 U xx  4U  ,4 U yy  U Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующихпроизводных.8.

Собирая подобные слагаемые, получим:U  {4}  U  {4}  U  {3}  U  {2}  U   .Или после деления на 4 (коэффициент при U  и U ):U   U  0,75U   0,5U  0,25U   .Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всейплоскости XOY. Канонический видU   U  0,75U   0,5U  0,25U   .где   y,   2 x.101.5. Задачи для самостоятельного решения.Задача 1.Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.1.1.1.2.U xx  8U xy  9U yy  21U x  3U y  U  0 .2U xx  4U xy  6U yy  U x  7U y  3U  0 .1.3.3U xx  4U xy  U x  3U y  U  0 .1.4.  7U xy  21U yy  2U x  U y  4U  0 .1.5 U xx  2U xy  8U yy  3U y  U  0 .1.6 U xx  U xy  6U yy  2U x  U  x .1.7 4U xx  2U xy  6U yy  8U x  U y  U  y .1.8 U xx  16U yy  U x  3U y  6U  0 .1.9 U xx  8U xy  2U x  U y  5U  x  y .1.10 6U xx  U xy  U yy  U x  U y  U  0 .Задача 2.Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.2.1.

U xx  4U xy  4U yy  2U x  U y  U  x2.2. 2U xx  4U xy  2U yy  U x  3U y  U  y 22.3. U xx  2U xy  U yy  U x  3U y  5U  02.4. 3U xx  6U xy  3U yy  5U x  3U y  2U  y  x2.5. 4U xx  4U xy  U yy  U x  2U y  U  02.6. U xx  4U xy  4U yy  U y  U  x  y2.7. 9U xx  6U xy  U yy  7U x  2U y  U  02.8. 2U xx  8U xy  8U yy  U x  U y  U  02.9. U xx  6U xy  9U yy  5U x  U y  3U  y2.10. 9U xx  12U xy  4U yy  3U x  2U y  U  011Задача 3.Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.3.1.3.2.3.3.3.4.3.5. U xx  2U xy  5U yy  2U x  3U y  5U  0U xx  2U xy  10U yy  U x  3U y  5U  02U xx  4U xy  10U yy  8U x  3U y  U  sin xU xx  4U xy  13U yy  7U x  6U y  02U xx  6U xy  8U yy  U x  5U y  2U  y 3.6.3U xx  8U xy  7U yy  3U x  U y  2U  03.7.2x3U xx  6U xy  13U yy  3U x  U y  4U  013U xx  4U xy  U yy  3U x  6U y  U  03.8.3U xx  8U xy  6U yy  3U x  U y  2 3.9.3.10.

10U xx  2U xy  U yy  U x  3U y  0123x2§2. Упрощение группы младших производныхдля уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами2. 1. Необходимый теоретический материалВ самом общем виде линейное уравнение с частными производными второгопорядка с двумя независимыми переменными имеет видA( x, y )U xx  2 B ( x, y )U xy  C ( x, y )U yy (1) a ( x, y )U x  b( x, y )U y  c ( x, y )U  f ( x, y )Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов в случае уравнения гиперболического типа:U   a1U   b1U   c1U  f1 ( , ) ;(11) в случае уравнения параболического типа:U  a2U   b2U  c 2U  f 2 ( , ) ;(12) в случае уравнения эллиптического типа:U   U  a3U   b3U   c3U  f 3 ( , ) .(13)Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшегоупрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функцииU ( , )  e   V ( , ) ,(14)где V ( , ) - новая неизвестная функция,  ,  - параметры, подлежащие определению.

Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры  ,  так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид~U   ~c1U  f1 ( , ) ;~U   a~2U   f 2 ( , ) ;~U   U   c~3U  f 3 ( , ) .Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам13U ( , )  e   V ( , ),U   e    (V  V ),U   e    ( V  V ),U   e    (2V  2V  V ),(15)U   e    (V  V  V  V ),U   e    (  2V  2 V  V ).Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболическоготипа, т.е.

уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение,используя формулы (15).с1 U ( , )  e   V ( , ),a1 U   e    (V  V ),b1 U   e    ( V  V ),1 U   e    (V  V  V  V )Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получимe  {V  V (a1   )  V (b1   )  V (a1  b1    c1 )}  f1 ( , ) .(16)В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при V и Va1    0,b1    0.Откуда   a1 ,   b1 . Подставив эти значения параметров в уравнение (16) иразделив его на e    , придем к уравнению~U   ~c1U  f1 ( , ) ,~где ~c  2a b  a b  c , f ( , )  f e b1 a1 .11 11 1111.2.2.

Пример выполнения задачи 4Привести уравнениеU xx  4U xy  5U yy  3U x  U y  U  0к каноническому виду и упростить группу младших производных.Решение:9. Определим коэффициенты A( x, y ), B( x, y ), C ( x, y ) :А=1, В= -2, С=5.14(17)10. Вычислим выражение B 2  AC :B 2  AC  4  5  1 .11. B 2  AC  1  0  уравнение эллиптического типа во всей плоскостиXOY.12.

Запишем уравнение характеристик:dy 2  4dxdy  5dx 2  0 .(18)5. Решим уравнение (18). Для этого:а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: 2  1dy dx ;1dy   2  i dx ;(19)б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения(17)):y  (2  i) x  C ,y  2 x  xi  C ,6. Введём характеристические переменные:  y  2 x,  x.13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.Найдем сначала x  2,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0, x  1,  y  0,  xx  0,  xy  0,  yy  0.Используя формулы (7), получим: 3 U x  2U   U  ,1 U y  U ,1 U xx  4U   4U   U  , 4 U xy  2U   U  ,5 U yy  U  .Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующихпроизводных.14.

Собирая подобные слагаемые, получим:U  {4  8  5}  U  {4  4}  U  {1}  U  {6  1}  U  {3}  U  0.ИлиU   U  5U   3U  U  0.15(20)Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)U ( , )  e   V ( , )упростим группу младших производных.Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).1U ( , )  e   V ( , ), 5 U   e    (V  V ), 3 U   e    ( V  V ),11U   e    (2V  2V  V ),U   e    (  2V  2 V  V ).Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20).

Собирая подобные слагаемые, получимe    {V  V  V (5  2 )  V (3  2 )  V (5  3  2   2  1)}  0 .(21)В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при V и V 5  2  0, 3  2   0.35Откуда   ,   . Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разде22  лив его на e, придем к уравнению15V  V  V  0 .2Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический видV  V где   y  2 x,   x,U ( , )  e5 3215V  0,2V ( , ) .162.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младшихпроизводных.4.1.3U xx  8U xy  6U yy  3U x  U y  2U  0 .4.2.3U xx  8U xy  7U yy  3U x  U y  2U  0 .4.3.2U xx  6U xy  8U yy  U x  5U y  2U  0 .4.4.U xx  4U xy  4U yy  4U x  9U y  3U  0 .4.5.U xx  6U xy  9U yy  4U x  3U y  7U  0 .4.6.2U xx  8U xy  8U yy  U x  2U y  5U  0 .4.7.U xx  2U xy  U yy  3U x  2U y  5U  0 .4.8.8U xx  6U xy  U yy  U x  3U y  U  0 .4.9.4U xx  8U xy  U yy  2U x  2U y  3U  0 .4.10.

U xx  2U xy  3U yy  2U x  7U y  3U  0 .17.

Характеристики

Список файлов книги