Учебник (2) (1120408), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Уравнение принимает вид вл = Ь, и решения иа плоскости х, р изображаются параллельными прямыми. б) в) е) Рис. 6 Чтобы начертить траектории (кривые, изображающие решения на плоскости х, у) в случае узла, седла и вырожденного уз- з 16. Особые точки (6) г.=2з, у =:"'+ у Составляем и решаем характеристическое уравнение = О, (2 — Л)(1 — Л) = О, Л1 = 1, Лз = 2. ! 2 — Л О 1 1 — Л Корни вещественные, различные и одного знака. Следовательно, особан точка узел (того же типа, что на рис. 6,а). Для Лг = 1 находим собственный вектор (О, 1), а для Лз = 2 вектор (1, 1).
На плоскости к, у строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые, касающиеся в начале координат первой из этих прнмых, так как (Лг! < )Лз(, см. рис. 7. Другой способ построения интегральных кривых. Разделив одно ич уравнений (6) на другое, получим уравнение вида (4) Рис. 7 ла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку. Эти прямые всегда /а Ь\ направлены вдоль собственных векторов матрицы ! !,составленной из коэффициентов данной системы (3).
В случае узла кривые касаются той прямой, которая направлена вдаль собственного вектора, соответствующего м е н ь ш е м у по абсолютной величине значению Л. В случае особой точки типа фокус надо определить направление закручивания траекторий. Для этого надо, во-первых, исследовать устойчивость этой точки по знаку НеЛ и, во-вторых.
определить, в каком направлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям. Для этого достаточно построить в какой-нибУдь точке (з, У) вектоР скоРости ( л*,, лл), онРеделЯемый по формулам (3). Аналогично исследуется направление движения в случае вырожденного узла. Н р и м е р 1. Исследовать особую точку з = О, у = О системы 100 З 16. Особые точки Прямые, проходящие через особую точку, ищем в виде у = йх (а также х = 0). Подставляя в написанные уравнения, находим й = 1. Значит, у = х и х = 0 — искомые прямые. Остальные интегральные кривые строятся с помощью изоклин (рис.
7). П ри мер 2. Исследовать особую точку уравнении Оу 4х — Зу дх х — 2у (7) Находим корни характеристического уравнении 4 — 3 — Л = 0; Л ф 2Л -~- 5 = 0; Л = — 1 х 2г. Особая точка —. фокус. Переходим от уравнения (7) к системе дх г(у — = х — 2у, — = 4х — Зу.
(8) гМ ' г(г Строим в точке (1, 0) вектор скорости ( лг г Зхг) . В силу (8) он равен (х — 2у, 4х — Зу). В точке т. = 1, у = 0 получаем вектор (1, 4) (рис. 8га). Следовательно, возрастанию 1 соответствует движение па траекториям против часовой стрелки. Так как вещественная часть корней Л равна — 1 ( О, то особая точка всимптотически устойчива, следовательно, при возрастании 1 решения неограниченно приближаются к особой точке. Итак, при движении против часовой стрелки интегральные кривые приближаются к началу координат (рис.
8,б). Рис. 8 3. Для исследования особой точки более общей системы (1) или уравнения (2) надо перенести начало координат в исследуемую особую точку и разложить функции Р и Я в окрестности этой точки по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (1) примет вид г1хг дуг — = ахг+ Ьуг+ 1о(хг, уг), — = схг+ буг+ ф(хг, уг), (9) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
