Лекция по основам теории возможностей (М.Л. Сердобольская) (1119982), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поскольку абсолютные значения возможности не играют никакой роли в теории, мы не будем определять невозможность путём каких-либо арифметических действий с возможностью. Пустьγ̄ : [0, 1] 7→ [0, 1] – произвольная строго монотонно убывающая функция такая,что γ̄(0) = 1, γ̄(1) = 0. Тогда γ̄(Ps(A)) естественно назвать невозможностью события A. В результате получаем определение необходимости события A:(4.9)Ns(A) = γ̄(Ps(Ā)).В этом определении конкретный вид функции γ̄ не является существенным в силуусловия эквивалентности необходимости, полностью аналогичной эквивалентностивозможности.Введём обозначение ω̄k = Ω \ {ωk } для дополнения к одноэлементному множествуи зададим элементарные необходимости Ns(ω̄k ) таких дополнений для k = 1, .
. . , n.Преобразуем (4.9) с учётом убывания функции γ̄:Ns(A) = γ̄( max Ps(ωk ) = min γ̄(Ps(ωk )) = min Ns(ω̄k ).ωk ∈A/ωk ∈A/ωk ∈A/Положим по определению Ns(Ω) = 1 и Ns(∅) = 0, тогдаNs(ω̄1 ) = min Ns(ω̄k ) = Ns(∅) = 0.ωk ∈Ω4.4. Максимальное согласование вероятности и возможности. Напомним, что для согласованных вероятности и возможности неравенства1 > P (ω1 ) > P (ω2 ) > · · · > P (ωn ) > 0,(4.10)1 = Ps(ω1 ) > Ps(ω2 ) > · · · > Ps(ωn ) > 0(4.11)влекут неравенства(равенство Ps(ω1 ) = 1 есть следствие из аксиоматических свойств возможности),причём из P (ωk ) = P (ωk+1 ) следует, что Ps(ωk ) = Ps(ωk+1 ).Теперь поставим вопрос, можем ли мы так согласовать вероятность и возможность, чтобы были выполнены более сильные, чем следствие (4.10) ⇒ (4.11), условияP (A) > P (B) ⇐⇒ Ps(A) > Ps(B),P (A) = P (B) ⇐⇒ Ps(A) = Ps(B).
(4.12)Другими словами, можно ли так согласовать вероятность и возможность, чтобыстрогие неравенства в цепочке (4.10) отвечали в цепочке (4.11) строгим неравенствами только им? Ответ на поставленный нами вопрос в общем случае отрицательный:из Ps(ωk ) = Ps(ωk+1 ), вообще говоря, не следует, что P (ωk ) = P (ωk+1 ) (обратноеследствие, как мы отмечали, справедливо).Далее мы сформулируем точные условия, при которых допустима эквивалентностьP (ωk ) > P (B) ⇐⇒ Ps(ωk ) > Ps(ωk ),(4.13)P (ωk ) = P (B) ⇐⇒ Ps(ωk ) = Ps(ωk ),5и условия, при которых такая эквивалентность недостижима. Назовём возможностьи вероятность максимально согласованными, если в (4.10) и (4.11) согласованомаксимально допустимое число строгих неравенств (и, следовательно, равенств).Разобьём множество всех подмножеств множества Ω = {ω1 , .
. . , ωn } на непересекающиеся классыA1 = {A ⊂ Ω : ω1 ∈ A},A2 = {A ⊂ Ω : ω2 ∈ A, ω1 ∈/ A},.../ A},Ak = {A ⊂ Ω : ωk ∈ A, ω1 , . . . , ωk−1 ∈...An = {A ⊂ Ω : ωn ∈ A, ω1 , . . . , ωn−1 ∈/ A},An+1 = {A ⊂ Ω : ω1 , . . . , ωn ∈/ A} = ∅.(нетрудно видеть, что класс An , как и An+1 , содержит только одно подмножество: {ωn } и ∅ соответственно). ПосколькуdefPs(A) =MPs(ωk ) = max Ps(ωk ) = Ps(ωk∗ (A) ),ωk ∈Ak∗ (A) = min k,ωk ∈Aωk ∈Aкласс Ak – это множество всех тех подмножеств Ak ⊂ Ω, возможность которыходинакова: Ps(Ak ) = Ps(ωk ) (здесь k = 1, .
. . , n).Теперь посмотрим на вероятности событий из класса Ak . Поскольку вероятностьсобытия тем больше, чем больше элементарных исходов его влечёт, получаем тривиальную оценку для любого Ak ∈ Ak :P (ωk ) 6 P (Ak ) 6 P ({ωk , ωk+1 , .
. . , ωn }),k = 1, . . . , n,(4.14)(при k = 1 имеем P (ω1 ) 6 P (A1 ) 6 P (Ω) = 1). В результате для всех событийAk ∈ Ak мы можем заключить значения их вероятностей в определённый интервална отрезке [0, 1]:P (Ak ) ∈ ∆k ,nX∆k = P (ωk ),P (ωj ) ,k = 1, . . .
, nj=k(для k = 1 сумма в определении интервала ∆1 равна единице, а для k = n интервал ∆n вырождается в точку P (ωn )). При этом для каждого k = 1, . . . , n обязательнонайдутся множества Ak ∈ Ak , вероятности которых лежат и налевой, и на правойграницах интервала ∆k .Рассмотрим два соседних интервала. Заметим, что в силу (4.10) и неотрицательности вероятностиP (ωk ) > P (ωk+1 ),nXj=k6P (ωj ) >nXj=k+1P (ωj ),поэтому интервалы в определённом смысле упорядочены, с увеличением своего номера интервал сдвигается на (быть может, равное нулю) расстояние влево по числовой прямой, причём этот сдвиг присущ и левому, и правому концу интервала поотдельности. Тем не менее возможны два случая: ∆k ∩ ∆k+1 6= ∅ и ∆k ∩ ∆k+1 = ∅.Пусть ∆k ∩ ∆k+1 6= ∅, тогда правый конец интервала ∆k+1 «заходит» за левыйконец интервала ∆k :nXP (ωj ) > P (ωk ).(4.15)j=k+1Поэтому при выполнении (4.15) существуют множества Ak+1 ∈ Ak+1 и Ak ∈ Akтакие, что P (Ak+1 ) > P (Ak ).
По условию согласования возможности и вероятноститогда мы должны потребовать Ps(Ak+1 ) > Ps(Ak ). Но мы имеем условия (4.11),в результате получаем набор неравенствP (Ak+1 ) > P (Ak ),Ps(Ak+1 ) > Ps(Ak ),Ps(Ak+1 ) = Ps(ωk+1 ) 6 Ps(ωk ) = Ps(Ak ),выполнить которые можно, только если Ps(Ak+1 ) = Ps(ωk+1 ) = Ps(ωk ) = Ps(Ak ).Поскольку, вообще говоря, P (Ak+1 ) 6= P (Ak ), мы получаем, что если имеет место неравенство (4.15), то согласовать возможность и вероятность в смысле условия (4.12) невозможно: существуют события с неравными вероятностями, но с обязательно равными возможностями.Напротив, еслиnXP (ωj ) < P (ωk ),(4.16)j=k+1то для любых Ak+1 ∈ Ak+1 и Ak ∈ Ak мы имеем P (Ak+1 ) < P (Ak ) (и, в частности,P (ωk+1 ) < P (ωk )).
В этом случае мы можем положить Ps(ωk+1 ) < Ps(ωk ). Неравенство (4.16) может быть также записано в любой из двух эквивалентных форм1−kXP (ωj ) < P (ωk ),2P (ωk ) + P (ωk−1 ) + · · · + P (ω1 ) > 1(4.17)j=1(для k = 1 мы имеем 1 − P (ω1 ) < P (ω1 ), что эквивалентно P (ω1 ) > 1/2).Подведём итог. Если для всех k = 1, . . . , n выполнено условие (4.16) и, следовательно, P (ωk+1 ) < P (ωk ), то неравенства1 > P (ω1 ) > P (ω2 ) > · · · > P (ωn ) > 0,влекут неравенства1 = Ps(ω1 ) > Ps(ω2 ) > · · · > Ps(ωn ) > 0и для любых событий A и BP (A) > P (B) ⇐⇒ Ps(A) > Ps(B),P (A) = P (B) ⇐⇒ Ps(A) = Ps(B).7Если найдётся номер k такой, что имеет место неравенство (4.15), то для этого kобязательно Ps(ωk+1 ) = Ps(ωk ), а при попытке полного (для всех событий) согласования возможности и вероятности мы можем добиться только выполнения условийP (A) > P (B) =⇒ Ps(A) > Ps(B),P (A) = P (B) =⇒ Ps(A) = Ps(B),но, вообще говоря, существуют события с неравными вероятностями, но равнымивозможностями.В заключение для примера рассмотрим, к чему приводят условия (4.16), есликоличество элементарных исходов равно n = 2, 3.
Положим pk = P (ωk ) > 0 дляk = 1, . . . , n. Тогда1 > p1 > p2 > · · · > pn > 0,nXpk = 1.k=1Для n = 2 условия (4.16) приводят к неравенствам 0 < p2 < p1 < 1, или, чтоэквивалентно, 1/2 < p1 < 1 и 0 < p2 < 1/2. При выполнении этих неравенствсогласованные с вероятностями возможности элементарных исходов подчиняютсянеравенствам 1 = Ps(ω1 ) > Ps(ω2 ) > 0.Для n = 3 имеем p1 > p2 + p3 = 1 − p1 , откуда p1 > 1/2, и p2 > p3 . При этомp2 + p3 = 1 − p1 < 1/2. Если эти неравенства выполнены, то при согласованиивозможности и вероятности 1 = Ps(ω1 ) > Ps(ω2 ) > Ps(ω3 ) > 0.Видно, что возможность имеет весьма низкую «разрешающую способность»: еслиэлементарные исходы ωk и ωk+1 имеют близкие по значению вероятности (например,в случае n = 3 мы имеем pk ≈ 1/3 с сохранением, конечно, условия нормировкиp1 + p2 + p3 = 1), то Ps(ωk ) = Ps(ωk+1 ).Пример 1.
Положим pk = P (ωk ) > 0 для k = 1, . . . , n. Пусть для некоторогочисла q > 0P ({ωk }) = pk =q,(1 + q)kk = 1, 2, . . . , n,nXpk = 1.(4.18)k=1Для любого l = 1, 2, . . . , n, как нетрудно проверить,q= 1 − p1 − · · · − pl = pl+1 + · · · + pn 6 pl ,(1 + q)l(4.19)если и только если q > 1. В этом случае все интервалы ∆1 = [p1 , 1], . . . , ∆j =[pj , 1 − p1 − . . . − pj−1 ], j = 2, 3, . . . , n, попарно не пересекаются, их суммарная длина1/q < 1, и в формуле (4.11) все неравенства являются строгими:1 = Ps(ω1 ) > Ps(ω2 ) > · · · > Ps(ωn ) > 0.В этом случае нашей теоретико-вероятностной модели соответствует «максимальнодетальная» теоретико-возможностная модель.С другой стороны, если q 6 1, то все интервалы ∆j и ∆j+1 , j = 1, 2, .
. . , n − 1,пересекаются и в (4.11) все неравенства (кроме последнего в цепочке) превращаютсяв равенства:1 = Ps(ω1 ) = Ps(ω2 ) = · · · = Ps(ωn ) > 0.В этом случае теоретико-возможностная модель, согласованная с вероятностной,является «наименее детальной».84.5. Условная возможность и независимость. Напомним, чтоPs(A ∪ b) = max{Ps(A), Ps(B)},Ps(A ∩ B) 6 min{Ps(A), Ps(B)}.Напомним также формулу P (A ∩ B) = P (B | A)P (A), определяющую условную вероятность. Перенесём последнее равенство в теорию возможностей:Ps(A ∩ B) = Ps(B | A) ⊗ Ps(A) = min{Ps(B | A), Ps(A)}.(4.20)Если рассматривать это равенство как уравнение для нахождения Ps(B | A), егорешение очевидно:если Ps(A ∩ B) < Ps(A), то Ps(B | A) = Ps(A ∩ B);если же Ps(A ∩ B) = Ps(A), то Ps(B | A) может быть равна любому числу, неменьшему Ps(A ∩ B).События A1 , . .
. , An называются Ps-независимыми (в совокупности), если для любого k = 1, . . . , n и для любого набора индексов i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n}Ps(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = min{Ps(Ai1 ), . . . Ps(Aik )}.4.6. Нечёткий элемент. Фундаментальным понятием теории вероятностей является случайная величина – это функция ξ(·), заданная на Ω и принимающая числовые значения (удовлетворяющая условию измеримости, которое в теории возможностей налагать не требуется).Аналогом случайной величины в теории возможностей является нечёткая величина (нечёткий элемент), которая определяется как произвольная функция измножества Ω в R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
