Н.И. Чернова - Математическая статистика (1119916), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Докажем вспомогательное утверждение.Л е м м а 12. E(θ∗ − θ∗S )(θ∗S − θ) = 0 для любого θ ∈ Θ.§ 3. Полные и достаточные статистики137Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 12. Вичисляя по формуле последовательного усреднения (свойство 18) сначала УМО относительно S и вынося по свойству 16 величину (θ∗S − θ) из-под знака УМО как борелевскуюфункцию от S, получаемE(θ∗ − θ∗S )(θ∗S − θ) = E E (θ∗ − θ∗S )(θ∗S − θ) | S = E (θ∗S − θ)E θ∗ − θ∗S | S .Заметим, что E θ∗ | S = θ∗S п. н.

Действительно, это УМО есть функция от S, математическоеожидание которой по свойству 18 равно E θ∗ .Следовательно, E θ∗ | S — оценка из класса Kb . Но из-за полноты Sв классе Kb может быть только одна оценка,функциейот S. являющаяся∗∗∗∗∗Такая уже есть — это θS . Поэтому E θ | S = θS , E θ − θS | S = 0 п. н.Утверждение леммы вытекает из равенствE(θ∗ − θ∗S )(θ∗S − θ) = E (θ∗S − θ)E θ∗ − θ∗S | S = E (θ∗S − θ) · 0 = 0.Вернёмся к доказательству теоремы. Используя равенство нулю смешанного момента E(θ∗ − θ∗S )(θ∗S − θ) = 0 по лемме 12, сравнимE(θ∗ − θ)2 = E(θ∗ − θ∗S + θ∗S − θ)2 = E(θ∗ − θ∗S )2 + E(θ∗S − θ)2 > E(θ∗S − θ)2 .Среднеквадратичное отклонение произвольной оценки θ∗ ∈ Kb оказалосьне меньше, чем у θ∗S .

Поэтому θ∗S эффективна в Kb .А бывают ли полными достаточные статистики?= U0, θ , θ > 0, S = X(n) . Проверим её полП р и м е р 49. Пусть Xi ⊂ноту. Предположим, что для любого θ > 0ZθEg(S) = g(y)ny n−1θndy = 0.0Покажем, что тогда g(S) = 0 п. н. Постоянные под интегралом в нуль необращаются, поэтому достаточно доказать требуемый факт для функцииh(y) = g(y) · y n−1 . Положим для удобства h(y) = 0 при y < 0.Вычитая друг из друга два нулевых интеграла, получаемZbh(y) dy = 0 для любых a < b.aПокажем, что тогда интеграл от функции h по любому борелевскомумножеству B равен нулю. Пусть множество A состоит из всех B таких,138ГЛАВА XI. ПОСТРОЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ ОЦЕНОКчто интеграл по B от функции h равен нулю:n ZoA= Bh(y) dy = 0 .BМножество A является σ -алгеброй (проверьте) и содержит все интервалы на прямой. Следовательно, B(R) ⊆ A.Рассмотрим теперь два борелевских (почему?) множестваB1 = {x | h(x) > 0},B2 = {x | h(x) < 0}.Интеграл от h по каждому из них должен быть равен нулю.

Это возможно, только если мера Лебега каждого из этих множеств нулевая. Иначепервый интеграл строго положителен, второй строго отрицателен.Окончательно имеем λ{x | h(x) 6= 0} = 0, т. е. g(S) = 0 п. н.Итак, достаточная статистика S = X(n) полна. Воспользуемся теоремой 35 и получим: оценка θ∗ = X(n) эффективна в классе K−θ/(n+1) ,несмещённая оценка θ∗∗ = (n + 1)X(n) /n эффективна в K0 и т. д.= Eα , α > 0, S = X.

Доказать, что статиП р и м е р 50. Пусть Xi ⊂стика S является полной, можно как в [5, задача 11.2].1n−1·из примера 25 (с. 54) явТогда несмещённая оценка α∗ =nXляется функцией от полной и достаточной статистики и, следовательно,эффективна в классе K0 .§ 4. Вопросы и упражнения1. Вычислить по определению E(X1 | nX) по выборке из распределенияБернулли.2. Исследовать свойства байесовской оценки p∗ из примера 47. Найтибайесовский риск E(p∗ − p)2 .3.

Доказать, что статистика S = (X(1) , X(n) ) является достаточной,но не полной статистикой для параметра θ ∈ R распределения Uθ, θ+1 .4. Предполагая полноту достаточной статистики S = (nX 2 , nX) длядвумерного параметра (a, σ2 ) нормального распределения, найти эффективную оценку для параметра (a, σ2 ).ПРИЛОЖЕНИЕТаблица 1Основные дискретные распределенияНазвание,обозначение,параметрыВозможныезначения kP(ξ = k)EξDξВырожденноеIc , c ∈ RcP(ξ = c) = 1c0Бернулли Bpp ∈ (0, 1)k = 0, 1P(ξ = 0) = 1−p,P(ξ = 1) = ppp(1 − p)Cnk pk (1 − p)n−knpnp(1 − p)λk −λeλλp(1 − p)k−11p1−pp2БиномиальноеBn, pp ∈ (0, 1)n = 1, 2, . . .k = 0, .

. . , nПуассона Πλλ>0k = 0, 1, 2, . . .ГеометрическоеGpp ∈ (0, 1)k = 1, 2, . . .Гипергеометрическоеn, K, N ∈ N0 6 n, K 6 Nk!целые отmax(0, n+K−N )до min(n, K)k C n−kCKNKnCNKnNKnNK1−NN −nN −1140ПРИЛОЖЕНИЕТаблица 2Основные абсолютно непрерывные распределенияНазвание,обозначение,параметрыПлотностьраспределенияРавномерноена отрезке[a, b]Ua, b , a < b 1 , x ∈ [a, b],b−a 0,x∈6 [a, b]0,x > 0,x60122√ e−(x−a) /2σ ,σ 2πσ1a+b2(b − a)2120−1,211αα226aσ200————λλ6αα22√µ2,π σ2 + (x − a)2Гамма Γα, λ ,α > 0, λ > 0 λ α xλ−1 e−αx , x > 0,Γ(λ)0,x60−∞ < x < ∞(α > 1)6(α3 +α2 −6α−2),α>4α(α−3)(α−4)α−1,α>3α3α−3( α, x > 1,xα+10,x<1λ0α−∞ < x < ∞α2α−2 2(α+1)2,α>2α −α|x−µ|e,λrПарето, α > 0Эксцесс−∞ < x < ∞Коши Ca, σ ,a ∈ R, σ > 0Лапласа Lα, µ ,α > 0, µ ∈ RАсимметрия(α−1)2 (α−2)Нормальное(гауссовское)Na, σ2 ,a ∈ R, σ > 0α e−αx ,(DξαПоказательное(экспоненциальное)E α = Γ α, 1 ,α>0Eξ141ПРИЛОЖЕНИЕТаблица 3Критические точки распределения χ2Приведены значения x, при которых P(χ2k > x) = ααk3456789101112131415161718192021222324252627282949994999990,0050,010,0250,050,950,9750,990,99512, 84 11,349,357,810,350,220,1214, 86 13,28 11,149,490,710,480,3016, 75 15,09 12,83 11,071,150,830,5518, 55 16,81 14,45 12,591,641,240,8720, 28 18,48 16,01 14,072,171,691,2421, 95 20,09 17,53 15,512,732,181,6523, 59 21,67 19,02 16,923,332,702,0925, 19 23,21 20,48 18,313,943,252,5626, 76 24,73 21,92 19,684,573,823,0528, 30 26,22 23,34 21,035,234,403,5729, 82 27,69 24,74 22,365,895,014,1131, 32 29,14 26,12 23,686,575,634,6632, 80 30,58 27,49 25,007,266,265,2334, 27 32,00 28,85 26,307,966,915,8135, 72 33,41 30,19 27,598,677,566,4137, 16 34,81 31,53 28,879,398,237,0138, 58 36,19 32,85 30,14 10,128,917,6340, 00 37,57 34,17 31,41 10,859,598,2641, 40 38,93 35,48 32,67 11,59 10,288,9042, 80 40,29 36,78 33,92 12,34 10,989,5444, 18 41,64 38,08 35,17 13,09 11,69 10,2045, 56 42,98 39,36 36,42 13,85 12,40 10,8646, 93 44,31 40,65 37,65 14,61 13,12 11,5248, 29 45,64 41,92 38,89 15,38 13,84 12,2049, 65 46,96 43,19 40,11 16,15 14,57 12,8850, 99 48,28 44,46 41,34 16,93 15,31 13,5652, 34 49,59 45,72 42,56 17,71 16,05 14,2678, 23 74, 92 70, 22 66, 34 33, 93 31, 55 28, 94139, 0 134,6 128,4 123,2 77,05 73,36 69,23584, 1 575,4 562,8 552,1 448,2 439,0 428,51117, 9 1105,9 1088,5 1073,6 926,6 913,3 898, 00, 070, 210, 410, 680, 991, 341, 732, 162, 603, 073, 574, 074, 605, 145, 706, 266, 847, 438, 038, 649, 269, 8910, 5211, 1611, 8112, 4613, 1227, 2566, 51421, 4887, 6142ПРИЛОЖЕНИЕТаблица 4Критические точки распределения СтьюдентаПриведены значения x, при которых P(|tk | > x) = αk345678910111213141516171819202122232425262728294999∞α 0,001 0,002 0,005 0,01 0,02 0,0512,92 10,218,61 7,176,87 5,895,96 5,215,41 4,795,04 4,504,78 4,304,59 4,144,44 4,024,32 3,934,22 3,854,14 3,794,07 3,734,01 3,693,97 3,653,92 3,613,88 3,583,85 3,553,82 3,533,79 3,503,77 3,483,75 3,473,73 3,453,71 3,433,69 3,423,67 3,413,66 3,403,50 3,273,39 3,173,29 3,097,455,604,774,324,033,833,693,583,503,433,373,333,293,253,223,203,173,153,143,123,103,093,083,073,063,053,042,942,872,815,844,604,033,713,503,363,253,173,113,053,012,982,952,922,902,882,862,852,832,822,812,802,792,782,772,762,762,682,632,584,543,753,363,143,002,902,822,762,722,682,652,622,602,582,572,552,542,532,522,512,502,492,492,482,472,472,462,402,362,333,182,782,572,452,362,312,262,232,202,182,162,142,132,122,112,102,092,092,082,072,072,062,062,062,052,052,052,011,981,960,10,22,352,132,021,941,891,861,831,811,801,781,771,761,751,751,741,731,731,721,721,721,711,711,711,711,701,701,701,681,661,641,641,531,481,441,411,401,381,371,361,361,351,351,341,341,331,331,331,331,321,321,321,321,321,311,311,311,311,301,291,28143ПРИЛОЖЕНИЕТаблица 5Критические точки распределения ФишераПриведены значения x, при которых P(fk1 , k2 > x) = 0,05k2123456789101112131415161718192021222324252627282930k11234567891016118,510,17,716,615,995,595,325,124,964,844,754,674,604,544,494,454,414,384,354,324,304,284,264,244,234,214,204,184,1719919,09,556,945,795,144,744,464,264,103,983,893,813,743,683,633,593,553,523,493,473,443,423,403,393,373,353,343,333,3221619,29,286,595,414,764,354,073,863,713,593,493,413,343,293,243,203,163,133,103,073,053,033,012,992,982,962,952,932,9222519,29,126,395,194,534,123,843,633,483,363,263,183,113,063,012,962,932,902,872,842,822,802,782,762,742,732,712,702,6923019,39,016,265,054,393,973,693,483,333,203,113,032,962,902,852,812,772,742,712,682,662,642,622,602,592,572,562,552,5323419,38,946,164,954,283,873,583,373,223,093,002,922,852,792,742,702,662,632,602,572,552,532,512,492,472,462,452,432,4223719,48,896,094,884,213,793,503,293,143,012,912,832,762,712,662,612,582,542,512,492,462,442,422,402,392,372,362,352,3323919,48,856,044,824,153,733,443,233,072,952,852,772,702,642,592,552,512,482,452,422,402,372,362,342,322,312,292,282,2724119,48,816,004,774,103,683,393,183,022,902,802,712,652,592,542,492,462,422,392,372,342,322,302,282,272,252,242,222,2124219,48,795,964,744,063,643,353,142,982,852,752,672,602,542,492,452,412,382,352,322,302,272,252,242,222,202,192,182,16ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАльтернатива односторонняя, 80Аппроксимация Фишера, 68Асимптотическаянесмещённость оценки, 22нормальностьвыборочного момента, 17выборочного среднего, 17выборочной дисперсии, 17оценки, 37эмпирической функции распределения, 15Асимптотический подход к сравнениюоценок, 42Байесовская оценка, 134Байесовский критерий, 84, 87Бартлеттакритерий, 106Бета-распределение, 135Бета-функция, 135Борелевская функция, 22Вариационный ряд, 10Вероятность ошибки i -го рода, 80Внутригрупповая дисперсия, 105Выборка, 8Выборочнаядисперсия, 9, 13асимптотическая нормальность, 17несмещённая, 13несмещённость, 17состоятельность, 17медиана, 114Выборочноераспределение, 9среднее, 9, 13асимптотическая нормальность, 17несмещённость, 17состоятельность, 17Выборочныйкоэффициент корреляции, 115момент, 9, 13асимптотическая нормальность, 17несмещённость, 17состоятельность, 17Гамма-распределение, 65Гипотеза, 79альтернативная, 79независимости, 80, 107однородности, 80, 99основная, 79простая, 79сложная, 79Гистограмма, 11Гливенко — Кантелли теорема, 15, 94Группировка наблюдений, 12, 95Дисперсионный анализ, 104Дисперсиявнутригрупповая, 105межгрупповая, 105Доверительный интервал, 57асимптотически точный, 58построение, 60асимптотический, 57для параметров нормального распределения, 59, 77точный, 58построение, 60Достаточная статистика, 135Индикатор события, 10Информация Фишера, 46ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬКвантиль, 59Класс оценокнесмещённых, 34с заданным смещением, 34Ковариационная матрица, 118, 121Колмогоровакритерий, 94распределение, 15, 94теорема, 15, 94Колмогорова — Смирнова критерий, 99Корреляции коэффициент, 115Коши распределение, 70Критерий, 80Бартлетта, 106байесовский, 84, 87Колмогорова, 94Колмогорова — Смирнова, 99минимаксный, 83, 87наиболее мощный, 84, 87отношения правдоподобия, 86Стьюдента, 104согласия, 91Фишера, 101χ2 для проверки независимости, 107χ2 Пирсона, 95, 97Критическая область, 82ЛеммаНеймана — Пирсона, 87Фишера, 74Линейная регрессия, 115, 116Линия регрессии, 111Логарифмическая функция правдоподобия, 27Матрицаковариаций, 118, 121ортогональная, 72плана, 116положительно определённая, 116Межгрупповая дисперсия, 105Методмаксимального правдоподобия, 26, 113моментов, 23наименьших квадратов, 113Минимаксный критерий, 83, 87145МНК-оценка, 113Многомерная ЦПТ, 124Многомерное нормальное распределение,121Мощность критерия, 82Наиболее мощный критерий, 84, 87Наименьших квадратов метод, 113Неймана — Пирсона лемма, 87Неравенство Рао — Крамерадля несмещённых оценок, 48для смещённых оценок, 48Несмещённостьвыборочного момента, 17выборочного среднего, 17выборочной дисперсии, 17оценки, 22эмпирической функции распределения, 15Норма вектора, 116Нормальное уравнение, 118Носитель семейства распределений, 45Отношение правдоподобия, 86Оценка, 22асимптотически несмещённая, 22асимптотически нормальная, 37байесовская, 134максимального правдоподобия, 27метода моментов, 23асимптотическая нормальность, 40метода наименьших квадратов, 113несмещённая, 22состоятельная, 22эффективная, 34, 136R -эффективная, 51Оценка параметровнормального распределения, 28равномерного распределения, 24, 29распределения Пуассона, 28Ошибка i -го рода, 80Ошибки регрессии, 112Параметр, 21Параметрическое семейство распределений, 21Пирсона теорема, 96146ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬПолная статистика, 136Порядковая статистика, 10Размер критерия, 82Ранг матрицы, 116Рао — Крамера неравенство, 48Распределениебета, 135выборочное, 9гамма, 65Колмогорова, 15, 94Коши, 70многомерное нормальное, 121Стьюдента Tk , 69Фишера Fk, n , 71, 101Фишера — Снедекора, 71χ2 Пирсона, Hk , 66эмпирическое, 9Реально достигнутый уровень значимости, 93Регрессии уравнение, 111Регрессия линейная, 115, 116Регулярность распределения, 46Смещение оценки, 34Состоятельностьвыборочного момента, 17выборочного среднего, 17выборочной дисперсии, 17выборочных характеристик, 14критерия, 92оценки, 22эмпирической функции распределения, 14Сравнение критериевбайесовский подход, 84минимаксный подход, 83Сравнение оценокасимптотический подход, 42среднеквадратический подход, 33Статистика, 21достаточная, 135полная, 136порядковая, 10Стьюдентакритерий, 104распределение, 69ТеоремаБлэквэлла — Рао — Колмогорова, 136Гливенко — Кантелли, 15, 94Колмогорова, 15, 94Неймана — Фишера, 135Пирсона, 96факторизационная, 135ЦПТ для векторов, 124Тождество ортопроекции, 130Уравнение регрессии, 111Уровеньдоверия, 57асимптотический, 57значимости критерия, 82реально достигнутый, 93Условие регулярности, 46Условная плотность, 132Условноематематическое ожидание, 130распределение, 132Факторизационная теорема, 135Факторы регрессии, 111Фишеракритерий, 101лемма, 74распределение, 71, 101Фишера — Снедекора распределение, 71Формулаполной вероятности для УМО, 131последовательного усреднения, 131Функция борелевская, 22Функция правдоподобия, 27логарифмическая, 27χ2 критерий, 95для проверки независимости, 107для проверки сложной гипотезы, 97χ2 распределение, 66Эмпирическая функция распределения, 9асимптотическая нормальность, 15несмещённость, 15состоятельность, 14Эмпирическое распределение, 9Эффективная оценка, 34, 136СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.

Характеристики

Список файлов книги