В.А. Магницкий - Общая геофизика (скан) (1119281), страница 38
Текст из файла (страница 38)
сй Р дл Р дх2 ду2 дл Как показывает количественная оценка порядка величин различных членов в выражениях (5.9), третье уравнение движения в большинстве случаев сводится к основному уравнению статики РК~ ~ф (5.10) выражающему равновесие двух сил — градиента давления и силы тяжести. В первых двух уравнениях системы (5.9) члены, содержа- щие вертикальную проекцию скорости, малы по сравнению с другими членами. С учетом отмеченного система (5.9) примет вид ди 1 др — = — — — +2со ю+мЛи, сй Р дх й~ 1 др — = — — — + 2ж и+ и.'Ы, сй Р ду (5.11) (5.12) где и — нормаль к поверхности а, о — составляющие скорости.
206 Свойство жидкости двигаться без образования пустот, непрерывно заполняя определенную часть пространства, описывается уравнением неразрывности. Выделим в жидкости некоторый элементарный объем $; ограниченный поверхностью Оо. Поскольку жидкость движется без образования пустот, то при Р = сопв( поток вектора скорости через поверхность, ограничивающую выделенный элементарный объем, будет равен нулю, т.е. Представим теперь давление в виде суммы р = р + р', где р опреде- ляется уравнением статики ~7р = — РОя, а р' — отклонение давления от этого значения.
Тогда правую часть уравнения (5.18) можно пере- писать в виде (5.19) — + (чЧ) ч = — — Чр' + матч+ уфТЪ. дч 1 д1 РО (5.20) Такая форма записи уравнений динамики носит название приближения Буссинеска и используется при описании конвективных процессов. Для областей атмосферы и океана, лежащих вне пограничных слоев, достаточно хорошо выполняется так называемое геострофическое приближение:- — — — + 2аю з1пу = О, 1 др Р дх (5.21) 1 др — — — — 2сои з1пр = О. Р ду В этом случае движение формируется под действием двух сил— силы градиента давления и силы Кориолиса. Определенные по (5.21) скорости и„и о'„носят название составляющих геостроФического течения.
Разность между действительным течением и геострофическим называется агеострофическим отклонением. На изменении геострофического ветра с высотой сказывается наличие горизонтальных неоднородностей в поле температуры. Приращение геострофического течения в атмосфере, обусловленное горизонтальным градиентом температуры, называется термическим ветром. Направление термического ветра перпендикулярно горизонтальному температурному градиенту. В мощных вихревых системах, где траектории движения частиц существенно криволинейны (например, в циклонах и антициклонах), помимо двух сил, указанных в уравнении (5.21), важную роль играет и центробежная сила.
Уравнение'движения в этом случае, записанное в цилиндрических координатах, примет вид 9 1 др — +2вч з1пр — — — =О, г Р дг (5.22) 208 — Чр'+ ЧЬч+Р 4т'д. В левой же части уравнения (5.18) можно пренебречь членом, содержащим фТ', что возможно, если вертикальное ускорение с~в/сй мало по сравнению с ускорением силы тяжести. Это условие выполняется при свободноконвективном движении.
Поделив уравнение (5.18) на ро, можно записать здесь г — радиус вихревой системы. Движение, описываемое этим уравнением, называется градиентным течением в океане или градиентным ветром в атмосфере. Если размер вихревой системы таков, что ускорением Кориолиса по сравнению с центробежным ускорением можно пренебречь (например, центральная часть тропического циклона), то движение жидкости будет находиться в циклострофическом балансе.
Циклостро4ическое приближение можно записать так: и 1др — — — — = О. г рдг (5.23) Жидкость называется баротропной, если се плотность р есть функция только от давления р, и бароклинной в случае, когда плотность зависит также от температуры и солености. Реальная атмосфера бароклинна, для нес р зависит нс только от р, но и от температуры Т. Баротропной воздушной массой (атмосферой) называют такую, в которой температура — однозначная функция давления, изотермические поверхности параллельны изобаричсским и изотермы на синоптических картах параллельны изобарам. Поскольку тогда термический ветер параллелен гсострофичсскому при ~ = О, вся баротропная воздушная масса движется в одном направлении, хотя и с линейно меняющейся по высоте скоростью.
Бароклинной называют жидкость, у которой изотермические поверхности не параллельны изобаричсским, вдоль последних имеются градиенты температур и плотность жидкости определяется самостоятельными полями давления и температуры. Баротропныс и бароклинные приближения позволяют решить ряд конкретных задач в метеорологии и в гидрофизикс. ТУРБ УЛЕНТН ОСТЬ И УРАВНЕНИЯ РЕИНОЛЬДСА, УРАВНЕНИЯ ТЕПЛО- И МАССОЛЕРЕНОСА Все существующие в природе водные и воздушныс потоки можно разбить на два качественно отличных типа — ламинарный и турбулентный.
Первый из них характеризуется плавным изменением всех характеристик от точки к точке. Особенность жс второго проявляется в неупорядоченности движения как во времени, так и в пространстве, существовании случайных пульсаций скорости больших и малых масштабов, между которыми происходит непрерывный обмен энергисй. Турбулентное движение переносит импульс, тепло, влагу, соль и т,д. В наиболее мелких турбулентных образова- ниях -кинетическая -энергия- превращается в- тепло,-- т.с; — происходит ее диссипация. В ламинарном потоке траектории частиц также содержат случайные пульсации.
Это броуновское движение. Однако оно не имеет отношения к основному потоку и существует даже тогда, когда жидкость находится в состоянии покоя. Турбулентное движение включает спектр случайных колебаний скорости. Центральной теоретической проблемой турбулентности является исследование источников этих колебаний и их влияния на среднее движение. Теория турбулентности по самому своему существу нс может нс быть статистической: индивидуальное описание полей скорости, температуры, давления, примесей и др. в турбулентном потоке принципиально невозможно и было бы даже бесполезно, так как запутанный, хаотический характер этих полей не позволяет использовать точныс данные о них в практических задачах.
При изучении турбулентных потоков используются методы статистической механики. Свойством, присущим только турбулентным потокам, является взаимная обусловленность всех гидродинамических полей. Активно участвуя во всех физических процессах, протекающих в атмосфере и гидросфсре Земли, турбулентный обмен организует эти процессы в целостную систему и вместе с тем в каждый данный момент отражает элементы системы в тех исключительных комбинациях, составлять которые умеет только Природа. Вот почему изучснис закономерностей турбулентного движения природных водных и воздушных потоков позволит понять физическую сущность разнородных геофизических процессов в их взаимосвязи. Большое осложнение в исследование турбулентного движения вносит стратификация плотности, характерная для атмосферы и гидросферы.
Математическая теория в случае переменного градиента плотности гораздо сложнее, нежели для однородной жидкости. Исследованием процесса перехода ламинарного течения в турбулентное занимался Рейнольдс, установивший общий критерий динамического подобия течений вязкой несжимаемой жидкости. Ламинарное движение переходит в турбулентное при достижении критерием Рейнольдса Ке = иЬ/м (и и Ь вЂ” масштабы скорости и длины) некоторого критического значсния йе = йс . При этом поток теряет К~ устойчивость по отношению к малым возмущениям, скорость начинает беспорядочно пульсировать во времени и пространстве. Значение Кс зависит от степени возмущснности ламинарного потока.
К$) С динамической точки зрения число Рсйнольдса есть отношение сил инерции и сил вязкости, действующих внутри жидкости. 210 д и д д — — — ри'и' дх ди ди дие див 1 др + 16+в 1 Р + + + д1 дх ду д~ Р дх д'й д д — — — ри'О' ду2 ду [Й ! ! — — Ри'и~' д~ д'Г~ д — — рю'и' дх2 дх (5.24) д ю д 2/ — Рю 'У ду~ ду д о д 31 — — ~Ю'И ' дг ди д~~и диО ди д ю д — — ри'и' д„2 дх 1др 1 Рдг Р ди~ д 2/ — Рю О д2 ду ди~ д — — — РИ 'и~' дг 211 Рейнольдс разделял все движения на молекулярные, или тепловые, и на механические, которые в применении к жидкости он называл молярными. Причем периоды молярного движения несоизмеримо больше периодов теплового движения.
Различают среднее молярное и относительное молярное движение. Основная идея Рейнольдса состоит в следующем: при установившемся движении передача энергии от осредненного движения к пульсационному равновелика передаче энергии от пульсационного движения к молекулярному. Рейнольдс использовал для описания турбулентного движения осредненные уравнения динамики (уравнения Навье — Стокса) и уравнение неразрывности. Он представил скорость как сумму среднего значения О и пульсационного отклонения и': О.
= е. + и.'. Здесь и., й. и е.'— компоненты мгновенной, осредненной и пульсационной скорости в потоке соответственно. Значение е. находят с помощью осреднения l скорости по времени 1 или по пространству в определенный момент времени. Осреднив уравнения Навье — Стокса и уравнение неразрывности для установившегося потока, Рейнольдс получил уравнения для переноса количества движения, справедливые для турбулентного потока несжимаемой жидкости: В дальнейшем, говоря о средних значениях различных величин, будем иметь в виду осреднение по времени, Для природных потоков понятие среднего значения любой гидродинамической величины зависит от масштаба осреднения.
При различных масштабах осреднения одни и те же колебания скорости могут рассматриваться как пульсации или как плавное изменение ее среднего значения. Следовательно, от выбора периода или области осреднения существенно зависят результаты расчетов. В уравнениях Рейнольдса (5.24) появляются члены вида ( — ри,'и.'), где ~, у = 1, 2, 3, характеризующие перенос количества движения пульсациями скорости, Эти члены называют напряжениями Рейнольдса или турбулентными напряжениями. Система уравнений Рейнольдса не замкнута, так как в ней число неизвестных превышает число уравнений: на 4'уравнения приходится 10 неизвестных— три компонеты скорости, шесть турбулентных напряжений и давление.
Проблема замыкания системы уравнений Рейнольдса решается с помощью так называемых полуэмпирических теорий турбулентности. Различные модификации такого подхода стремятся выразить турбулентные потоки какой-либо субстанции через осредненные характеристики среды. На основе аналогии между хаотическим тепловым движением молекул и случайными перемещениями конечных объемов жидкости в турбулентном потоке в полуэмпирических теориях турбулентности вводятся такие понятия, как.путь перемешивания (аналог среднего пути свободного пробега молекул), интенсивность турбулентности (аналог средней скорости движения молекул), коэффициенты турбулентной вязкости, температуропроводности и диффузии — коэффициенты турбулентного обмена (аналоги молекулярной вязкости, температуропроводности и диффузии), обратно пропорциональные градиентам соответствующих средних величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
