В.А. Магницкий - Общая геофизика (1119278), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

При этом кинетическая энергия обус­ловлена движением частиц жидкости, участвующих в волновом про­цессе, а потенциальная энергия определяется отклонением этих час­тиц от положения равновесия, т.е. от уровня невозмущенной воднойповерхности. Можно показать, что кинетическая и потенциальнаяэнергии волны равны друг другу и определяются только параметра­ми волн:где а — амплитуда волны.Следовательно, полная энергия имеет вид(2.22)(h = 2а — высота волны), т.е.пропорциональна квадрату высотыволны и ее длине.КАПИ ЛЛЯРН Ы Е ВОЛНЫВ образовании поверхностных волн помимо силы тяжести опре­деленную роль играет и сила поверхностного натяжения. При этомроль поверхностного натяжения тем больше, чем меньше длина вол­ны, и для волн с Я < 0,2 см силы поверхностного натяжения явля­ются доминирующими. Такие волны называются капиллярными.

Ес­ли длина волны больше 0,2 см, но не превышает 20 см, то гравита­ционные и поверхностные силы для них имеют один и тот же поря­док и волны этого диапазона длин называются гравитационно-капиллярными. Волны с А > 20 см относятся к гравитационным, силыповерхностного натяжения для них несущественны. Хорошо всемизвестная рябь, образующаяся на поверхности водоемов при слабомветре, является примером капиллярных и гравитационно-капилярных волн.Для гравитационно-капилярных волн дисперсионное соотноше­ние имеет вид0)2 = {gfc +th кН ,(2.23)и фазовая скорость их может быть выражена следующим образом:0*5соc = j =/j2'шS ,+, 4—E \ t h k H ,(2.24)где о — коэффициент поверхностного натяжения.Сравнив выражения (2.24) и (2.19), видим, что первое слагае­мое в (2.24) чисто гравитационное.

Следовательно, второе слагаемоев этом выражении относится к чисто капиллярным волнам. Из со­отношения (2.24) видно, что зависимость фазовой скорости гравита­ционных и капиллярных волн от длины волны противоположна:если для гравитационных волн фазовая скорость растет с ростом А,то для капиллярных — уменьшается. Таким образом, функция с (А)для гравитационно-капиллярных волн имеет минимум, который на­ходится из условия dc ! d X - 0. Из выражения (2.24) следует также,что характеристики линейных гравитационно-капиллярных волн яв­ляются аддитивными функциями силы тяжести и силы поверхност­ного натяжения.

Следовательно, и энергия гравитационно-капилляр­ных волн может быть записана в виде суммы: ЕГ* = Е? + Е?, гдеЕ г определяется силой тяжести, а Е К — силами поверхностного на­тяжения.Полная энергия гравитационно-капиллярных волн имеет вид=у(gp + о к 2) .(2.25)Для чисто капиллярных волн, т.е. для волн с А < 0,2 см, действиемсилы тяжести по сравнению с силами поверхностного натяженияможно пренебречь, и для параметров капиллярных волн будут спра­ведливы следующие соотношения:Как правило, на поверхности водоемов одновременно присутству­ют волны разных периодов, характеризующиеся разными фазовымискоростями. Рассмотрим наиболее простой случай, коща на поверх­ности воды присутствуют две системы синусоидальных волн:= a cos (к{х - co{ij и | 2 = а cos {^2Х ”(2.27)(£ — возмущение водной поверхности), распространяющиеся в од­ном и том же направлении и имеющие одинаковые амплитуды а,но разные фазовые скорости с х = g!cox и с2 = g/aj2.

Предположим,что частоты со^ н со2 мало отличаются друг от друга. Из теорииколебаний известно, что сложение колебаний с близкими часто­тами приводит к биениям. В случае волн на поверхности разделавода—воздух эти биения идентифицируются как группы волн, иливолновые пакеты (рис. 2.7). Отдельные группы волн состоят из волнпеременной амплитуды, в промежутках между группами волн сво­бодная поверхность жидкости почти не возмущена.Рис. 2.7. Схематическое изображение групп волн, или волновых пакетовГрупповая скорость, т.е.

скорость распространения групп волн,отлична от фазовой скорости отдельных волн и может быть запи­сана в видеСО |СО 2d ( jj<2-28>Поскольку со = ск (см. (2.16)), выражение для групповой скоростиможно получить в следующем виде:Следовательно, групповая скорость может быть как больше, так именьше фазовой скорости волн, что зависит от знака deldA. Еслиdc/dX> О, то групповая скорость меньше фазовой. Такие ситуацииреализуются для гравитационных волн на глубокой воде. В этомслучае справедливо соотношение со2 = gk и групповая скорость волнравна=dk~ 2к_ 1 £ _ с2 <о 2 'т.е. в два раза меньше фазовой скорости.

Если в таких условияхсмотреть на водоем сверху, например с моста, то группы волн воспри­нимаются как катящиеся пологие холмы, по поверхности которыхбегут более короткие волны.Если d e l dX = 0, то фазовая и групповая скорости равны, что имеетместо для длинных волн на мелкой воде.Если же d e l dX< 0, то групповая скорость превышает фазовую.Это соотношение хорошо выполняется для капиллярных волн.В проблеме взаимодействия ветровых волн с воздушным потокомволновые пакеты, или группы волн, играют особую роль.

Экспери­менты и натурные наблюдения показывают, что на частоте группволн осуществляется основная передача энергии от ветрового потокак волнам. Следует также отметить, что группы волн непосредствен­но связаны с переносом энергии волн, который осуществляется соскоростью групп волн. Однако значение групп волн в процессе вет­роволнового взаимодействия все еще мало исследовано. Эта проблемаявляется одной из наиболее интересных и перспективных в насто­ящее время.ПОТЕНЦ И АЛЬНЫ Е ВОЛНЫКОНЕЧНОЙ АМ П ЛИ ТУ ДЫРеальные волны на поверхности водоемов, как правило, имеютконечную амплитуду.

Основы теории таких волн были разработаныСтоксом в середине XIX в.Из гидродинамики известно, что если в начальный моментвремени движение однородной идеальной жидкости, возникшеепод действием потенциальных сил, является потенциальным, тооно останется таким далее. Именно из этого положения и исхо­дил Стокс в своей теории.

Он показал, что потенциальные волныконечной амплитуды имеют профиль, отличающийся от синусои­ды. Форма таких волн симметрична относительно вертикалей, про­веденных через гребень или подошву волны, но асимметрична от­носительно уровня невозмущенной поверхности. Если длина волныне меняется, а высота ее растет, то гребень потенциальной волныконечной амплитуды будет становиться все более острым и фор­ма волны достигнет предельного профиля с крутизной, т.е.

отно­шением высоты волны к ее длине, равной 0,142, что близко к зна­чению предельной крутизны волн, наблюдаемому в природе. Про­филь волн Стокса близок к трохоидальнму профилю (рис. 2.8), по­лученному Герстнером для волн конечной амплитуды еще в са­мом начале XIX в. и хорошо оправдывающемуся для волн зыби, т.е.волн, оставшихся после прекращения действия ветра.Рис. 2.8.

Волна трохоидального профиля: сплошная прямая линия — положениеневозмущенного уровня воды, пунктир — геометрическое место центров круговыхорбит поверхностных частиц водыТраектории движения частиц в потенциальной волне конечнойамплитуды незамкнуты. Стокс показал, что причиной этого являетсяналичие волнового течения, скорость которого невелика и быстроуменьшается с глубиной. Перенос жидкости, возникающий благодарятакому течению, получил название стоксова переноса.Полная энергия потенциальных волн конечной амплитуды име­ет видЕ = Б К + ЕП = ^ pga2X(2.30)Из выражения (2.30) видно, что кинетическая энергия таких волнбольше потенциальной.Как уже отмечалось, рассмотренные выше теории неплохо описы­вают волны зыби. Однако на поверхности моря обычно одновремен­но реализуются волны различной формы и размеров, распространя­ющиеся к тому же в различных направлениях. Регулярные волнытипа зыби являются исключением.

В основном же морскому волне­нию присуща хаотичность. Это обстоятельство позволило подойти кописанию волн на поверхности водоемов как к описанию случайногопроцесса, используя методы теории вероятности и математическойстатистики.ВЛИ ЯН И Е В Я ЗК О С ТИ НАволныВсе рассмотренные выше волновые движения осуществляютсяв идеальной жидкости. При рассмотрении же волнения на по­верхности реальных водоемов нельзя пренебрегать ролью вяз­кости.Вязкость, или внутреннее трение, в жидкости необратимо перево­дит часть механической энергии волн в тепло. Если диссипацияэнергии волн за счет вязкости компенсируется притоком энергииот внешних источников, то волны на поверхности водоема могутсуществовать не затухая.

Если же потери энергии на внутреннеетрение не будут компенсироваться извне, то волнение будет затухатьвс времени. Вязкая диссипация энергии волк прямо пропорциональ­на величине вязкости и квадрату крутизны волн. Следовательно,короткие волны затухают быстрее длинных. Так, энергия капилляр­ной волны длиной в 1 см уменьшается в е раз за время четырехпериодов.

Характеристики

Список файлов книги