В.И. Трухин, К.В. Показеев, В.Е. Куницын - Общая и экологическая геофизика (1119248), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Тогда соотношение (10.20) может быть переписано в виде + — " + + + дг+ — = О. (10.22) В этом уравнении содержится две неизвесгные величины Фг и Р. Следовательно, необходимо еще одно уравнение. Используем теперь уравнение неразрывности, которое в случае р = сопв1, имеет вид Й~1' = О. С учетом того, что г' = йгай Фг, получим дгФ дгФ дгФ вЂ” +, +, =О, длг дуг дгг или (10.23) Ь Фг = О. уравнение Эйлера в векторной форме можно записать в виде 1л.
20. Волны в океане 229 ОФ2 а. (10. 24) Что касается свободной поверхности, то здесь давление воздуха равно атмосферному, т.е. Р = Рв. С учетом сказанного преобразуем несколько функцию Ф2, введя вместо нес функцию Ф=Ф2+ Ро Р второе слагаемое в правой части здесь есть функция только времени. Тогда уравнение (10.22) примет вид + — + — —, + + —, +дг=О. (10.25) На свободной поверхности Р = Рв, в уже не будет равно нулю, а будет описываться величиной ~, т. е.
з = ~, где г, возвышение свободной поверхности над ее невозмущепным уровнем. Следовательно, граничное условие при в = г будет иметь вид — + — — + — + —, +д~ =О. (10.26) Поскольку в этом уравнении появилась еще одна неизвестная величина (, необходимо дополнить систему уравнений еще одним. Таким уравнением будет так называемое кинематическое граничное условие, которое определяет связь между отклонением свободной поверхности ~(х, д, в) от невозмущенного уровдс ня и вертикальной составляющей скорости частицы и = — на Ж свободной поверхности, т.е.
при г = ~. Кипематическое условие Это уравнение Лапласа, из которого можно определить функцию Ф2, а затем, зная Ф2, из уравнения (10.22) найти и величину добавочного давления Р, необходимую для расчета вектора скорости движения жидкости. Но уравнение Лапласа имеет множество решений. Чтобы выбрать из них то, которое соответствует рассматриваемой задаче, необходимо учесть граничные н начальные условия. Поскольку мы рассматриваем водоемы, то граничные условия должны быть заданы на дне водоема и на его свободной поверхности. Вблизи дна жидкость течет параллельно твердой поверхности, и нормальная составляющая скорости на дпе равна нулю, т.е. !оы 10.
Волны о онеине 200 = Ях,д) (10.28) и потенциал скорости (10.29) Ф = 1"2(х,д) 1=0 Зная потенциал скорости Ф, можно найти и составляющие скорости по осям Х, У, х в начальный момент времени. Таким образом, система уравнений, позволяющая описать волновое движение в идеальной несжимаемой однородной жидкости, вместе с граничными и начальными условиями будет иметь следующий вид: динамическое уравнение — + — + — + +дх+ =0; (10. 30) уравнение Лапласа д'Фо д'Фв д'Ф дх-' дд" дев (10.
31) граничные условия на свободной поверхности (х = ~) — +- — + — + — +д8= 0, (10.32) /д( дс де ,и =~ + — и+ ю~ д1 дх дд граничное условие на дне (х = — Н) дФ2 =0; = — н (10.33) отражает тот факт, что частицы воды, находящиеся на свободной поверхности, остаются на ней во все время движения, и имеет вид — =ю = ( —,'+ — и+ — е/ Ис /дс дс дс (10.27) <~ „, г (,д1 дх дд,/, г' Теперь осталось задать начальные условия. В момент времени 1 = 0 задаются отклонения свободной поверхности от положения равновесия 1л. 10. Волны в океане 231 начальные условия (1 = 0) = Ял,д), (10.34) Ф = Ь(",д). Динамическое уравнение и граничное условие на свободной поверхности являются нелинейными, и решение этой системы даже при упрощающих предположениях (однородная несжимаемая жидкость без вязких сил) весьма затруднительно.
Существует два основных приближения в теории волн; — теория волн бесконечно малой амплитуды; - теория длинных волн. Теория волн бесконечно малой амплитуды Теория волн бесконечно малой амплитуды предполагает, что амплитуда волны а существенно меньше ее длины Л (а (( Л). Тогда и скорости движения частиц жидкости в волне., определяемые через потенциал скорости, будут также бесконечно малыми величинами, а их квадраты тем более малы и ими можно пренебречь в динамическом уравнении и в граничном условии при в = с.
При этом уравнения становятся линейными. Система уравнений (10.30) (10.32) трансформируется следующим образом; дФ Р вЂ” Ро — +дв+ =О, д1 Р д'Ф д'Ф двФ дяв д 2 д~2 дФ 1 д~Ф дв д д12 Ввиду малости отклонений от нсвозмущенного уровня граничные условия можно рассматривать при г = О, а не при г = ~. Данная система уравнений допускает решение в виде плоских или двумерных волн, когда движение каждой частицы жидкости происходит параллельно плоскости шОв. Потенциал скорости в случае бесконечно глубокой жидкости будет иметь следующий вид; Ф = С е~~' вш(1сл — п1). !'л.
10. Волны о океине 282 Соответствующее возвьппение поверхности имеет вид ~ = С вЂ” е+ ' сов(ехг — а1). д Постоянная С определяется начальными условиями. Теория волн бесконечно малой амплитуды на бесконечно глубокой воде позволила получить очень важное в теории морских волн дисперсионное соотношение: 2 й д (10. 35) (го - - частота волны; к = 2гг/Л -- волновое число: д .— ускорение силы тяжести).
Дисперсионное соотношение позволяет опреде- лять длину волны Л и фазовую скорость с волн, если известны частота волн го или их период Т = 2я/ья дТв 2ггд 2гг ог (10.36) дТ д ог 2гг го А. Н Если глубина жидкости Н ограничена и — « 1 (как, напри- Л мер, при распространении приливных волн в морях и океанах), то фазовая скорость волн будет иметь вид с = л/дН, (10.37) д о д 2ы о —,',/дНН д/го 2д/го 4 8 12 Л/Н Рис.10.8. Зависимость фазовой скорости с от длины волны при постоянной глубине (а) и от глубины жидкости для волн постоянной частоты (б) т, е, зависит только от глубины. Таким образом, дисперсия волн на мелкой воде отсутствует.
Зависимости с(Л) при постоянной глубине Н и с(,Н) для волн постоянной частоты ео показаны на рис. 10.8. 1л. !О. Волн!! в океа5!е с = — + — 1Ысо, (10.38) где г5 -- коэффициент поверхностного натяжения. Первое сла- гаемое -- чисто гравитационное, оно возрастает при увеличении длины волны. Второе глага- емое чисто капиллярное уменьшается с ростом длины волны. Поэтому с(Л) имеет минимум, который легко найти из условия — = О.
дЛ 30 Зависимость фазовой скорости гравитационно-капил- 0 2 4 6 8 лярных волн от длины волны представлена на рис. 10.9. Для линейных гравитационно-капиллярных воли их рис 10 9. Зависимость фазовой и характеристики являются групповой скоростей гравитационаддитивными функциями но-капиллярных волн ог длины волгравитационных сил и сил ны поверхностного натяжения. Как уже упоминалось ранее, при любой степени волнения на поверхности воды присутствуют волны разных периодов, имеющие различные скорости распространения. При наложении волн друг на друга образуются группы волн, которые распространяются со скоростью, отли*шой от скорости отдельных волн. Рассмотрим упрощенный случай, когда на поверхности жидкости присутствуют две системы гравитационных сипусоидальных волн с одинаковыми амплитудами а, которые распространяются При уменьшении длины поверхностных волн силы поверхностного натяжения начинают оказывать на них все большее влияние.
Для волн длиной несколько миллиметров силы поверхностного натяжения доминирук5т над гравитационными силами. Интервал длин волн от 0,2 до 20 см, в котором гравитационные и поверхностные силы имеют величины одного порядка, называется гравитационно-капиллярным. Волны с длиной более 20 см относятся к гравитационным; меньше 0,2 см к капиллярным. Короткие гравитационно-капиллярные и капиллярные волны иногда называют рябью. Фазовая скорость гравитационноканилл5!рных ВОлн имеет Вид !'л. 20.
Волны о онеине й2 — дв о22 — о22 !и+ 92 ы2+м ~=2асов~ х — !) сов~ х— 2 2 ) 1, 2 2 (10.39) Первый сомножитель можно рассматривать как амплитуду результирующих волн, медленно изменяющуюся от 0 до 2а, т. е. до удвоенного значения амплитуд складываемых волн. Совокупность волн (с периодом лр и длиной Л), амплитуды которых последовательно возрастают от 0 до 2а, а затем убывают от 2а до О, образуют группу. Максимум группы перемещается со скоростью, называемой групповой. Групповая скорость равна — Ио2 с, = л1 е'2 (10.40) Используя соотношение ы = ей, получим д(е/е) ~~с й: ей сй ИЛ (10.41) Групповая скорость со может быть больше, меньше или равна 2е 2!е фазовой скорости с. Нормальная дисперсия ( — > 0 и с < с ),ал д имеет место для гравитационных волн на глубокой воде.
В случае бесконечно глубокой жидкости, когда справедливо соотно- шЕниЕ щз = дй, имЕЕм дв ~/дй с со — — — —— сй Нй 2' (10.42) т. е. фазоввя скорость в два раза превьппает групповую. Если глубина жидкости конечна, то 2 еЬ 2/еО (10.43) В случае очень малой глубины, когда ИН « 1, групповая ско2е с~с рость становится равной фазовой ~ — = 0 и со — — с . Равенство 2,!Л в одном и том же направлении Х, но с разными фазовыми скоРостЯми с2 = д/о2! и со = д/юз. ПУсть зти системы волн имеют близкие частоты и длины. Результирующее колебание свободной водной поверхности в этом случае будет выражаться произведением двух гармонических функций координат и времени: 235 фазовой и групповой скоростей имеет место для длинных волн на мелкой воде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
