В.И. Трухин, К.В. Показеев, В.Е. Куницын - Общая и экологическая геофизика (1119248), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4.5) в точке с„!(т, р, з) равен где Г7 " скалярная функция, называемая! ма!'нитным потенциалом. Итак, чтобы найти Н, надо знать выражение для магнитного потенциала. Магнитный потенциал диполя Г1ь 4. Геомагнетигм 71 Подставим (4.5) в (4.4) и учтем, что д (г1'~ соя(у,г) дВ 1,г,7 д (!') соя(е,г) де ~хг! г Так как магнитный момент М = т1„окончательно получаем М ЛХ (У(Я) = — —., сов ~р = —. сов 7. (4.6) Предположим, что в центре Земли под углом к оси вращения расположен магнитный диполь (рис. 4.6). Точка Р с координатами ~рв, Ле - геомагнитный полюс, Ю - географический полюс, Я(~р, Л) точка, в которой мы ищем выражение для с/ и, соответственно, для элементов геомагнитного поля.
Для того чтобы рассматривать модель Земли в сферической системе г-зг % Рис.4.6. Схема земного магнитного диполя (по [162)) 1гь 1. ! еомаинепшвм 72 7Г координат, введем угол О = — — у, который является дополнс- 2 нисм до географической широты. Тогда длина дуги ЛЦ = О, длина МР = Оо, длина дуги 1'Я = у. Согласно теороме косинусов сферической тригонометрии, сои у = сов О сов Оо + яп О яп Оо сои(Л вЂ” Ло) .
М М 11 = —. сои у = —, (сои О сои Оо+ т т +япО япОо соиЛ соиЛо+япО япОо япЛ ивЛо). (4.7) Учтем, что М 1р 4 ~и1 3 где 1 — однородная намагниченность земного шара, Й его радиус. Введем обозначения: о дг — — — я1 сои Оо, 3 4 д1 — — — я1 иш Оо сои Ло, 3 (4.8) 6г = гя1яп Оо яп Ло. 4 3 Очевидно, что ды ды Ьг являются постоянными величинами для о данного расположения диполя. Окончательно выражение для гу сферической Земли будет таким: 11 = — и [д~гсоиО+ (дг сои Л+ 6', яп Л) и|в О].
(4.9) Далее в соответствии с (4.3) получим значения элементов геомагнитного поля на поверхности Земли (т = 12). Дифференцирование производится в сферической системе координат: Х = — — = [д, ив Π— (д, сои Л+ 6, яп Л) сои О~, д17 го. г тдО д17 У = —, =д1в|пЛ вЂ” 6,соиЛ, то!п ОдЛ (4. 10) тб = — —, = 2 [дг сои О+ (д, сои Л+ 6, яп Л) япО~. д17 г о,, г, дт С учетом этого запишем выражение для магнитного потенциала земного диполя; Система (4.10) основные уравнения теории Симонова, которые представляют аналитические зависимости геомагнитного поля от координат поверхностных точек.
Естественно, что расположение реального земного диполя нам неизвестно, поэтому неизвестны и значения коэффициентов дом д~~, 6~. Однако эти коэффициенты могут быть рассчитаны из уравнений (4.10), если известны из измерений Х, У, Я и координаты точек, в которых производились измерения. А зная значения д~~, д~ы Ьм можно рассчитать поле в любой точке земной поверхности.
Более простая модель геомагнитного поля получается в случае, еоли ось диполя совпадает с осью вращения Земли. При этом геомагнитный полюс совпадает с географическим, поэтому уо = — —, а Оо — О. Согласно уравнениям (4.8) и (4.10), получаем следующие значения элементов поля для осесимметричного диполя: о . Х = д, ейпО = —., сов ~р, йо (4.11) У=(), У = 2д~ соо О = — ош р. о Ло Магнитное склонение Р в этом случае равно нулю, а магнитное наклонение э имеет простую связь с географической широтой; (4.12) Теория геомагиетизма Гаусса В 1838 г.
К. Гауссом была создана общая теория аналитического представления геомаг нитного поля как функции координат точек земной поверхности. Теория Гаусса не ограничивалась какой-либо конкретной моделью поля, как это имело место в теории Симонова. В основе теории Гаусса было только предположение о том, что источники геомагнитного поля находятся внутри земного шара и имеют потенциальный характер, т. е. Н = — йгад Р.
Рассмотрим уравнения (4.2). Подставив во второе уравнение выражение для В с учетом того, что Н = — йгад 14, получим 8' В= — Ро 1'гйга814+дойт1=0 (4.18) Ул. 4. Геииаеяетизм Положим, что йг Х равна некоторой плотности фиктивных магнитных зарядов р. Тогда, из (4.13) получаем уравнение Пуассона Tз(1 = р(х, у, в). (4.14) При р = О (отсутствие магнитных зарядов) оно переходит в уравнение Лапласа ~~(У = О. (4. 15) Считая, что земной шар обладает намагниченностью 1 с произвольным распределением ее величины и направления, и используя решения уравнений (4.14) и (4.15) в сферической системе координат р, О, Л, Гаусс получил следующее выражение для магнитного потенциала; ~0 П ~.,„.~ ~ 1У = ~ ~ „, (д„совтЛ+6™,в1птиЛ)Р™(совО), (4.16) и=1 ш=в где Л -- радиус Земли, д~, 6™ — постоянные коэффициенты: и — т! д,"," =,' „" и' Ри (совО') сов тЛ' Ьи, (4.17) (и+ т)! д~"' (и — т)! 6„",' =, „" ., и' Р„",'(сов О') айп тиЛ' йи.
(4.18) и ( + )! дп-~-в В этих уравнениях и', О~, Л вЂ” сферические координаты для магнитных масс, находящихся внутри земного шара, дт дифференциал этих масс. Так как распределение магнитных масс нам неизвестно, но оно, естественно, постоянно, то д'„", 6"„" суть постоянные коэффициенты, которые определяются, как это будет показано ниже, на основе измерений элементов геомагнитного поля. Далее в (4.17) и (4.18) с„= 1 при т = О и с„= 2 при т > > О, Р„(совО) и Р;,'(сов О') в (4.16) — (4.18) — присоединенные функции Лежандра: Р"'(.ов О) = (в)п~ 0) "( ), (4 18) д(сов 0)"' где, в свою очередь, Р„(сов О) - полиномы Лежандра: Р„,(соьО) = — „, „(сов~Π— 1) . (4.20) Дифференцируя (4.16) по соответствующим сферическим координатам, получим выражения для элементов геомагнитного Ро.
4. Ггомагигтигм 75 поля, которыми и исчерпывается теория Гаусса. После дифференцирования положим и = Л и найдем значения элементов на поверхности Земли: Х = — = — ~ ~~~ (ди сов гпЛ+ йт О|и тЛ) Ви 11Р (сов О) =О Ви и Ойп 0 дЛ Р„(сов О) (шдт сбп впЛ вЂ” тй~ сов тЛ) " ' ', (4.21) ейп В и=1 т=О оо и А = — — = ~ ~~ ~(и+1)(д,",исовтЛ+ 6™сйпвчЛ)Р,",'(соОО).
и=1 то=О Это разложение магнитного потенциала в бесконечный ряд по сферическим функциям, каковыми являются функции Лежандра, получило название сферического гармонического анализа. Уравнения (4.21) позволяют вычислить значения Х, 1', У для любой точки земной поверхности, если известны ди' и Ь'„", которые могут быть рассчитаны на основе измерений Х, У, У в ограниченном числе точек. Для практического пользования (4.21) необходимо ограничиться конечным чиш1ом п членов.
При этом число 111 постоянных коэффициентов д и 6 будет равно Ю = = п(п + 2). Для расчета гг' коэффициентов необходимо иметь Д1 уравнений, т. е. иметь измеренные значения трех компонент поля Ж в — точках или значения одной компоненты в дг точках. 3 Случайные влияния местных аномалий или погрешности измерений могут исказить результат, поэтому для большей достоверности необходимо брать число уравнений (и число измерений), превышающее число неизвестных.
Гаусс, ограничиваясь членами четвертого порядка (и = 4), определил 24 коэффициента по наблюдениям трех компонент в 12 точках, т.е, решил 36 уравнений с 24 неизвестными способом наименьших квадратов. Практическое значение теория Гаусса может иметь только в том случае, если ряды (4.21) будут достаточно быстро сходиться. Многочисленные сферические гармонические анализы, проводившиеся со времен Гаусса до наших дней, показали, что 76 значения д и и с ростом п уменьшаются и начиная с п > 8 они находятся в пределах погрепшостей измерений и расчетов. Сферические гармонические анализы производятся в разных странах, и строятся соответствующие магнитные карты.
Однако при проведении анализов и построении карт в различных странах используются несколько отличающиеся методы. Для сравнения и согласования научных и прикладных исследований, полученных учеными разных стран, возникла потребность унификации сферических гармонических рядов, выбора единой международной аналитической модели главного геомагпитпого поля (Тпе 1п1егпа11опа1 Оеоп1айпе11с Ве1егепсе г'1е18). Впервые такая модель была утверждена Международной ассоциацией по геомагнетизму и аэрономии в 1970 г. С тех пор модели 1ОЕГ регулярно строятся и согласуются учеными разных стран. Структура и основные характеристики главного поля Как показал анализ рядов (4.21), члены ряда с п = 1 соответствуют полю геомагнитного диполя.
Вид выражений для Х, У, 7 при п = 1 аналогичен виду уравнений (4.10) теории Симонова с одной только разницей: в теории Симонова предполагалась однородная намагниченность Земли, в теории Гаусса неоднородная. Член ряда Гаусса с п = 2 соответствует полю квадруполя (два диполя) и так далее: член с любым п описывает поле мультиполя соответствующего порядка. Сферические гармонические анализы показали, что главное геомагнитное поле состоит из дипольной части (более 80%) и недипольной (рис. 4.7).
Чтобы получить недипольную часть, нужно из главного поля вычесть дипольное поле, рассчитанное по формулам (4.10). Недипольное поле называют также полем мировых аномалий или остаточным полем (рис. 4.8). Описание главного поля с помощью сферического анализа будет тем точнее, чем больше мультиполей все более высокого порядка (но не более чем п = 10), расположенных в центре Земли, будет учтено при построении соответствующих рядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
