В.Д. Мятлев, Л.А. Панченко, А.Т. Терехин - Основы математической статистики (1118816)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАБИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТВ.Д. Мятлев, Л.А. Панченко, А. Т. ТерехинОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИПособие по курсу"Математические методы в биологии"МОСКВАМАКС Пресс20021СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ1. СЛУЧАЙНАЯ ВЫБОРКА И ЕЕ ОПИСАНИЕ1.1. Понятие случайной выборки1.2. Характеристики случайной выборки2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ2.1. Логика статистического оценивания2.2. Доверительные интервалы2.2.1. Доверительный интервал для математического ожиданиянормально распределенной случайной величины с известнойдисперсией2.2.2.
Доверительный интервал для математического ожиданиянормально распределенной случайной величины с неизвестнойдисперсией2.2.3. Доверительный интервал для неизвестной дисперсиинормально распределенной случайной величины (при неизвестномматематическом ожидании)2.2.4. Доверительный интервал для неизвестного параметра pбиномиального распределения2.2.5. Доверительный интервал для неизвестного параметра lпуассоновского распределения2.2.6. Приближенный доверительный интервал для неизвестногокоэффициента корреляции двумерного нормального распределения3.
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ3.1. Логика проверки статистических гипотез3.2. Проверка гипотезы о равенстве заданному числуматематического ожидания нормально распределенной случайнойвеличины с известной дисперсией3.3. Проверка гипотезы о равенстве заданному числуматематического ожидания нормально распределенной случайнойвеличины с неизвестной дисперсией (одновыборочный t-критерий)3.4. Проверка гипотезы о равенстве заданному числу дисперсиинормально распределенной случайной величины (одновыборочный-критерий)23.5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданийдвух независимых нормально распределенных случайных величин(двухвыборочный t-критерий)3.6.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух независимыхнормально распределенных случайных величин (двухвыборочный Fкритерий)3.7. Приближенный критерий для проверки гипотезы о равенствепараметров двух независимых биномиальных случайных величин(критерий для сравнения двух вероятностей)3.8. Приближенный критерий для проверки гипотезы о равенствепараметров двух независимых пуассоновских случайных величин3.9.
Приближенный критерий для проверки гипотезы о равенственулю коэффициента корреляции между компонентами двумернойнормально распределенной случайной величины3.10.. Критерии согласия3.11. Непараметрические критерии3.11.1. Одновыборочные критерии3.11.2. Проверка гипотезы об отсутствии сдвига3.11.3. Критерии однородности3.11.4. Проверка гипотезы о независимостиЛИТЕРАТУРА3ВВЕДЕНИЕЗадача математической статистики, в строгом понимании этоготермина, состоит в разработке и применении методов описания реальныхявлений вероятностными моделями, исходя из данных, полученных врезультате наблюдений за этими явлениями.В более широком смысле математическая статистика понимается каксовокупность методов планирования экспериментов и обработки данных,полученных в результате экспериментов, причем эти методы могут неосновываться на вероятностных моделях.
При таком широком пониманиивместо термина «математическая статистика» часто используют термин«анализ данных».Исторически вначале сформировались методы обработки данных, несвязанные тесно с теорией вероятности, так называемая дескриптивная,описательная статистика. С начала этого века начали интенсивноразвиваться методы анализа данных, основанные на вероятностныхмоделях, - это, прежде всего, методы статистического оценивания истатистической проверки гипотез, о которых будет идти речь в даннойкниге.Бурное развитие вычислительной техники вызвало к жизни ряд новыхметодов анализа. Некоторые из этих методов разработаны на основеподходов, отличных от теоретико-вероятностного (геометрические,оптимизационные и др.).
Вероятностное их обоснование либо отсутствует,либо недостаточно, что затрудняет количественную оценку степенидостоверности выводов и исследование аналитическими средствамиклассической математической статистики. Однако в последние годы, такжев связи с быстрым ростом производительности вычислительных машин,начали получать распространение процедуры так называемого случайногомоделирования (пермутационные методы, бут-стрэп), позволяющиеоценить статистические свойства получаемых решений без аналитическихметодов.Начнем рассмотрение методов математической статистики с ееисходного понятия - понятия случайной выборки.41. СЛУЧАЙНАЯ ВЫБОРКА И ЕЕ ОПИСАНИЕ1.1.
Понятие случайной выборкиПонятие случайной выборки тесно связано с понятием случайногоиспытания и случайной величины, о которых шла речь в предыдущейглаве. Случайная выборка представляет собой совокупность наблюденийх1,х2,...,xn случайной величины , полученных в п независимых случайныхиспытаниях. Число полученных наблюдений п называется объемомвыборки. Образно можно представить процесс получения случайнойвыборки как извлечение наудачу значений из гипотетической бесконечнойгенеральной совокупности, где разные значения содержатся впропорциях, соответствующих распределению случайной величины, итщательно перемешаны между собой.
Случайная величина может быть нетолько одномерной, но и многомерной - , тогда каждая из компонентвыборкибудет вектором.Конкретная случайная выборка - это просто набор значенийслучайной величины (скалярных или векторных). Однако при оценкеинформации, которую несет эта выборка, мы должны рассматривать ее какодну из бесконечного числа потенциально возможных выборок объема п, т.е. как векторную п-мерную случайную величину(очевидно, что в случае векторной случайной величиныкомпонентысами будут векторными случайными величинами, однаково избежание чрезмерного усложнения обозначений мы пока ограничимсяодномерным случаем). Из условий получения выборки следует, чтослучайные величиныимеют одинаковые функции распределенияF(x), совпадающие с функцией распределения исходной случайнойвеличины .
Кроме того, случайные величиныпо определениюслучайной выборки независимы, поэтому их совместная функцияраспределения равна произведению одномерных функций распределенияКак правило, информация, содержащаяся в выборке, интересует насне столько сама по себе, сколько как информация обо всей генеральнойсовокупности. Однако чтобы отвечать этой цели, выборка должна бытьправильно организованной и представительной.
Существует специальныйраздел математической статистики - планирование выборочныхобследований. Мы будем рассматривать только один способ получениявыборки - простой случайный выбор. В принципе схема его проста: изтщательно перемешанной генеральной совокупности извлекается наудачу пзначений. На практике, однако, дело обстоит сложнее. Предположим, что5мы отловили п взрослых животных определенного вида и измерили ихмассу. Какую генеральную совокупность представляет эта выборка? Всехживотных данного вида, т.
е. живущих в разных местах, прошлых ибудущих? Или популяцию, обитающую в данной местности? Илипопуляцию, обитающую в данной местности в данный год? Конечно, чемуже мы будем понимать генеральную совокупность, описываемую даннойвыборкой, тем ближе мы будем к истине, но, возможно, тем меньшийинтерес для нас она будет представлять.1.2. Характеристики случайной выборкиИтак, мы имеем случайную выборку х1,...,xn значений случайнойс неизвестным распределением F(x).
Как нам разумновеличиныраспорядиться этими значениями, чтобы получить представление ораспределении F(x), т.е. о генеральной совокупности, из которой извлеченаэта выборка?Можно использовать следующий эвристический принцип - будемсчитать, что исследуемая нами генеральная совокупность близка кгипотетической генеральной совокупности, состоящей только из значенийх1,...,xn, содержащихся в ней в равной пропорции, т.е. случайная величинаблизка к случайной величине , принимающей п значений х1,...,xn свероятностями 1/n (это, действительно, максимум информации о значенияхслучайной величины и их вероятностях, которую можно извлечь извыборки). Распределение случайной величиныназывается эмпирическимраспределением случайной величины , а ее функция распределенияэмпирической функцией распределения.
Очевидно, что каждой выборкесоответствует своя эмпирическая функция распределения, т.е. можносказать, что- случайная функция.представляет собойступенчатую функцию, возрастающую от 0 до 1 со скачками высотой 1/n вточках х1,...,xn (очевидно, если некоторое значение повторяется k раз, то емубудет соответствовать один скачок величиной k/n). Можно определитьэмпирическую функцию формулойвыборки, не превосходящих х., где nx - число значенийПример. Пусть случайная величина - это длина лепестка случайновыбранного цветка ириса разноцветного (Iris versicolor). Следующий рядчисел содержит значения длин (в см) пятидесяти случайно выбранныхлепестков:6Таблица 14.64.54.84.65.13.94.54.74.74.543.84.544.44.44.54.14.53.54.23.34.24.24.63.94.53.53.73.94.34.244.74.44.14.94.74.334.14.73.64.9444.44.853.3Упорядочим эти значения по величине, т.е.
представим их в виде такназываемого вариационного ряда:Таблица 233.33.33.53.53.63.73.83.93.93.9444444.14.14.14.24.24.24.24.34.34.44.44.44.44.54.54.54.54.54.54.54.64.64.64.74.74.74.74.74.84.84.94.955.1На рис. 1 представлено эмпирическое распределение случайнойвеличины , для этой выборки, т.е. распределение случайной величинына рис.
2 - соответствующая эмпирическая функция распределенияРис.1. Пример эмпирического распределения.7,а.Рис.2. Пример эмпирической функции распределения.являетсяПоскольку эмпирическая функция распределениявероятность того, чтооценкой для F(x) (можно доказать, что примаксимальное расхождение междуи F(x) не превзойдет заданногомалого числа , стремится к единице), можно взять характеристикикачестве оценок характеристик генерального распределения.вНиже мы приводим полученные таким образом формулы длянекоторых выборочных характеристик.Название характеристикиФормулаВыборочный момент порядка kВыборочный центральный моментПорядка kВыборочное среднеенецентральный момент-первыйВыборочная дисперсия - (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
