Теоретический минимум (1118078), страница 2
Текст из файла (страница 2)
.∩( ()) −→ (, 1 (), . . . , ()) ∈ D+19.10)Что такое фундаментальная матрица? Как с ее помощью построитьобщее решение однородной системы? Приведите пример.Определение Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называют матрицу, составленную из столбцов ФСР данной системы.Рассмотрим выражение (8), полученное в Вопросе 7−→→− () = ()0 + ()∫︁→− −1 () ()0Оно было получено при рассмотрении метода вариации постоянныхдля решения неоднородной линейной нормальной системы. Так как ввопросе требуется построить общее решение однородной системы, для→−компонент неоднородности системы () = {1 (), .
. . , ()} выполняются тождества ∀ = 1, ∀ ∈ [0 , ] −→ () ≡ 0. Следовательно,общее решение однородной системы−→→− () = ()0Замечание Проделанные в данном пункте рассуждения были лишними. Из теоремы о представимости любого решения однородной нормальной системы в виде линейной комбинации столбцов ФСР и определения фундаментальной матрицы сразу же следует полученное выражение.
С другой стороны, выкладки (1)-(8) Вопроса 7 при условииоднородности системы и являются доказательством теоремы об общемрешении однородной системы.Пример{︃1′ = 1 − 22−−⇔ → ′ = →′2 = −2(︂ )︂(︂)︂1−2−Здесь → = 1 ,=,0 −12Найдем ФСР данной системыdet( − ) = 0 ⇔ (1 − )(−1 − ) = 0 ⇒ 1,2 = ±1(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1−1−210111 = 1 ⇒=⇒=0−1 − 1202010(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1+1−210112 = −1 ⇒⇒==0−1 + 12021Следовательно, ФСР однородной системы составляют столбцы(︂ )︂(︂ )︂11, −01(︂ () = −0 −)︂- фундаментальная матрица системы,(︂ )︂(︂ − )︂ (︂ )︂ 11−Общее решение данной системы → ==, где−20 21 , 2 ∈ R11) Сформулируйте теорему существования и единственности решениязадачи Коши для уравнения -го порядка, разрешенного относительностаршей производной.Вспомогательные сведения:Определение Уравнением, разрешенным относительно старшей производной, называется ОДУ вида () () = (, (), ′ (), ′′ (), .
. . , (−1) ())Определение Функция = (1 , . . . , ) называется аналитической вокрестности точки (01 , . . . , 0 ), если в окрестности данной точки представима в виде степенного ряда∑︁∑︁(︀)︀(︀)︀ (1 , . . . , ) =...1 ... 1 − 01 1 . . .
− 0 1 ≥0 ≥01 ... ∈ R ∀1 ≥ 0, . . . , ≥ 0Рассмотрим задачу Коши{︃ () () = (, (), ′ (), ′′ (), . . . , (−1) ())(0 ) = 0 , ′ (0 ) = 1 , . . . , (−1) (0 ) = −1 .Пусть функция (, (), ′ (), ′′ (), . . . , (−1) ()) является аналитической в окрестности точки (0 , 0 , 1 , 2 , . . . , −1 ).Тогда в некоторой окрестности точки (0 , 0 , 1 , 2 , . . . , −1 ) ∃! решение рассматриваемой задачи ().1112) Сформулируйте теорему о структуре ФСР однородного линейногоуравнения -го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения. Приведите пример.Вспомогательные сведения:Рассмотрим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, общий вид которого = () () + 1 (−1) () + .
. . + () = 0, ∀ = 1, −→ ∈ RМетод Эйлера для решения данного уравнения заключается в построении решения в виде () = , где будем считать ̸= 0(ищем нетривиальное решение)[ ] = +1 −1 +. . .+ = ( +1 −1 +. . .+ )[ ] = 0, ̸= 0, ̸= 0 ⇒ ∀ −→ + 1 −1 + . . . + = 0Определение Многочлен + 1 −1 + .
. . + называется характеристическим многочленом для рассматриваемого уравнения, а уравнение +1 −1 +. . .+ = 0 характеристическим уравнением соответственно.Теорема Пусть корни характеристического многочлена +1 −1 ++ . . . + простые. Тогда функции = , = 1, образуют ФСРоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.Пример Рассмотрим однородное линейное уравнение 2-го порядка ′′ − = 0Найдем корни характеристического многочлена данного уравнения2 − 1 = 0 ⇒ 1,2 = ±1Cледовательно, ФСР данного уравнения образуют функции1 () = , 2 () = −13) Сформулируйте определение матрицы Коши однородной системы линейных ОДУ.
Приведите пример.Определение Матрица (, ) = () −1 (), где () - фундаментальная матрица, называется матрицей Коши, "импульсной"матрицейили матрицантом. Как следует из выражения (3) Вопроса 7, данная матрица однозначно определяется как решение задачи Коши12(, 0 ) = ()(, 0 ), (0 , 0 ) = Пример{︃1′ = 1 − 22−−⇔ → ′ = →′2 = −2)︂(︂ )︂(︂1−2−,Здесь → = 1 ,=20 −1Найдем ФСР данной системыdet( − ) = 0 ⇔ (1 − )(−1 − ) = 0 ⇒ 1,2 = ±1(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1−1−210111 = 1 ⇒⇒==0−1 − 12020(︂ )︂(︂ )︂(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂1+1−21012 = −1 ⇒=⇒ 1 =0−1 + 12021Следовательно, ФСР однородной системы составляют столбцы(︂ )︂(︂ )︂11, −01(︂ () = −0 −)︂- фундаментальная матрица системы,(︂ −)︂−1− −1 () =det () 0⏟ ⏞1Матрица Коши данной системы(︂ − )︂ (︂ −)︂ (︂ − −(−))︂ −−− −−1(, ) = () () ==0 −00−(−)14) Алгоритм решения линейного неоднородного ОДУ n-го порядка спомощью функции Коши.
Приведите пример.Согласно теореме о структуре общего решения неоднородного уравнения общее решение неоднородного уравнения представляет собой суммучастного решения данного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения13() =∑︁ () + ()=1в котором частное решение может быть найдено с помощью функцииКоши∫︁() = (, ) ()0Здесь (, ) - функция Коши - решение специальной задачи Коши,зависящее от точки, в которой ставится начальное условие, как от параметра{︃ = 0() = 0, ′ () = 0, , .
. . , (−1) () = 1Пример ′′ + =2cos3 ()15) Определение и свойства фундаментальной матрицы однородной линейной системы ОДУ. Приведите пример.Определение Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называют матрицу, составленную из столбцов ФСР данной системы.Пусть () - фундаментальная матрица однородной системы ОДУ→−→−−′ = ()→ , = {1 , . . . , } : ∀ = 1, −→ ∈ R - произвольныйвектор.Свойства:1. Зная (), можно однозначно восстановить систему уравнений, поскольку () = −1 () ′ ()2.
det () ̸= 0−3. ∀ решение → () однородной системы - линейная комбинация столб→−→−цов (): () = () Пример{︃1′ = 1 − 22⇔2′ = −214→−− ′ = →(︂ )︂)︂(︂1−21−Здесь → =,,=20 −1Найдем ФСР данной системыdet( − ) = 0 ⇔ (1 − )(−1 − ) = 0 ⇒ 1,2 = ±1(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1−1−210111 = 1 ⇒⇒==0−1 − 12020(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1+1−21012 = −1 ⇒⇒ 1 ==0−1 + 12021Следовательно, ФСР однородной системы составляют столбцы(︂ )︂(︂ )︂ 1− 1,01(︂ − )︂ - фундаментальная матрица системы () =0 −16) Определение и свойства определителя Вронского, построенного изрешений однородного ОДУ -го порядка.
Приведите пример.Определение Определителем Вронского ситемы − 1 раз дифференцируемых функций 1 (), . . . , () называется определитель⃒⃒⃒ 1 () . . . () ⃒⃒⃒⃒ ′ () . . . ′ () ⃒⃒⃒ 1 () ≡ [1 , . . . , ] = ⃒⃒.........⃒⃒⃒⃒ (−1)(−1)⃒ 1() . . . ()⃒Свойства:1. Если 1 (), . .
. , () ЛЗ на отрезке [, ], () ≡ 0 ∀ ∈ [, ]2. Если 1 (), . . . , () ЛНЗ на отрезке [, ], () ̸= 0 ∀ ∈ [, ]Пример Рассмотрим однородное линейное уравнение 2-го порядка ′′ − = 0Найдем корни характеристического многочлена данного уравнения2 − 1 = 0 ⇒ 1,2 = ±1Cледовательно, ФСР данного уравнения образуют функции1 () = , 2 () = −15Построим из них определитель Вронского⃒⃒ − ⃒⃒ −⃒− − = −2 () = ⃒⃒ − ⃒ = − − () ̸= 0 ∀ ∈ R, поскольку функции 1 (), 2 () ЛНЗ.17) Теорема существования и единственности решения задачи Коши длянормальной системы ОДУ.См.
Вопрос 9).18) Алгоритм решения задачи Коши для линейного неоднородного ОДУ-го порядка с нулевыми начальными условиями с помощью функцииКоши. Приведите пример.Рассмотрим линейное неоднородное уравнение ≡ () + 1 () −1 + . . . + () = ()Вспомогательные сведения:Определение Функция (, ), являющаяся решением специальной задачи Коши{︃ −1 (, ) ≡ (, ) + 1 () −1 (, ) + . . . + ()(, ) = 0 −1(, )|= = 0, . . . , (, ) = 0, −1 (, )|= = 1при < < < , , ∈ R, называется функцией Коши для рассматриваемого уравнения.Теорема Функция () =∫︀(, ) (), где (, ) - функция Ко-0ши рассматриваемого уравнения, является решением следующей задачиКоши при , 0 ∈ [, ]{︃ ≡ () + 1 () (−1) + . .
. + () = ()(0 ) = 0, ′ (0 ) = 0, . . . , (−1) (0 ) = 0.Пример ′′ + =162cos3 ()19) Алгоритм построениея решения задачи Коши для линейной однородной системы ОДУ с помощью матрицы Коши. Приведите пример.Рассмотрим задачу Коши для линейной однородной системы ОДУ{︃→−− ′ () = ()→ ()→−− (0 ) = → 0.Общее решение однородной системы ОДУ записывается с помощьюфундаментальной матрицы () как→− →−→− () = () , = {1 , . . .
, } : ∀ = 1, −→ ∈ R ⇒→−−−−⇒ = −1 ()→ () = −1 (0 )→ (0 ) = −1 (0 )→0→−−−→− 0 = (, 0 )→0 () = () ⏟ ⏞= () −1 (0 ) →⏞⏟→−−1(0 ) 0(,0 )Здесь (, 0 ) = () −1 (0 ) - матрица Коши.Пример⎧′{︃⎪⎨1 = 1 − 22→−− ′ = →′⇔ →2 = −2−−⎪ (0) = →0⎩1 (0) = 1, 2 (0) = 0(︂ )︂(︂)︂(︂ )︂11 −2 →1→−−Здесь =,=, 0 =20 −10Найдем ФСР данной системыdet( − ) = 0 ⇔ (1 − )(−1 − ) = 0 ⇒ 1,2 = ±1(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1−1−210111 = 1 ⇒=⇒=0−1 − 12020(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1+1−21011⇒=2 = −1 ⇒=0−1 + 12021Следовательно, ФСР однородной системы составляют столбцы(︂ )︂(︂ )︂11, −01(︂ () = −0 −)︂- фундаментальная матрица системы,17(︂ −)︂−1− −1 () =det () 0⏟ ⏞1Матрица Коши данной системы(︂ − )︂ (︂)︂ (︂ −)︂1−1−(, 0) = () −1 (0) ==0 −0 10−Решение данной задачи Коши(︂ )︂(︂ −)︂ (︂ )︂ (︂ )︂1 − 1→−→− == (, 0) 0 ==20−0020) Алгоритм построения решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ с помощью матрицы Коши.
Приведите пример.Рассмотрим задачу Коши для линейной неоднородной системы ОДУ{︃→−→−− ′ () = ()→ () + ()→−− (0 ) = → 0.Рассмотрим выражение (8), полученное в Вопросе 7, - общее решениенеоднородной линейной системы ОДУ−→→− () = ()0 + ()∫︁→− −1 () ()0−−Так как → (0 ) = →0 , при = 0 получаем−→→−0 = (0 )0 + (0 )∫︁0→−−→− −1 () () ⇒ 0 = −1 (0 )→00⏟⏞=0Подставляя в общее решение, имеем→−− () = () −1 (0 ) →0 +⏟⏞(,0 )→−− () = (, 0 )→0 +∫︁0∫︁018→− () −1 () ()⏟⏞(,)→−(, ) ()Пример⎧′{︃⎪→−⎨1 = 1 − 22 + 1→−→−′=+ ()⇔ →2′ = −2−−⎪ (0) = →0⎩1 (0) = 1, 2 (0) = 0(︂ )︂(︂)︂(︂ )︂(︂ )︂→−1−211−−Здесь → = 1 ,=,→0 =, =20 −100Найдем ФСР однородной системыdet( − ) = 0 ⇔ (1 − )(−1 − ) = 0 ⇒ 1,2 = ±1(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1−1−21011⇒==1 = 1 ⇒0−1 − 12020(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1+1−210112 = −1 ⇒⇒==0−1 + 12021Следовательно, ФСР однородной системы составляют столбцы(︂ )︂(︂ )︂11, −01(︂ − )︂ () =- фундаментальная матрица системы,0 −(︂ −)︂−1− −1 () =det () 0⏟ ⏞1Матрица Коши данной системы)︂(︂ − )︂ (︂ −)︂ (︂ − −(−)−−−−(, ) = () −1 () ==0 −00−(−)Решение данной задачи Коши→−− = (, 0)→0 +∫︁→−(, ) ()0)︂ (︂ )︂(︂ )︂ (︂ −)︂ (︂ )︂ ∫︁ (︂ − −(−)1 − 1− −1=+ =−−(−)200000(︂ )︂ (︂ − )︂⃒ (︂ )︂(︂ )︂ ∫︁ (︂ − )︂⃒ −2−1⃒ ==+ =+⃒00000001921) Какому интегральному уравнению равносильна задача Коши дляОДУ первого порядка? Приведите пример.Рассмотрим задачу Коши⎧⎨ = (, )⎩( ) = .00Функция (, ) определена в замкнутой области D = [0 − , 0 + ]×× [0 − , 0 + ], где , ∈ R.Если функция (, ) непрерывна по совокупности переменных в области D, рассматриваемая задача Коши эквивалентна интегральномууравнению∫︁ (, ())() = 0 +0Пример Рассмотрим задачу Коши⎧⎨ = ⎩(0) = 1.∫︁2Ее решениe () = 1 + = 1 +2022) Что такое характеристическое уравнение линейного однородного ОДУ-го порядка? Приведите пример.Рассмотрим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, общий вид которого = () () + 1 (−1) () + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
