LECTURE4 (1117141)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 4.

Глава II. КОСМОЛОГИЯ.

Космология, по-видимому, является наиболее динамично развивающейся областью современной астрофизики. Важность космологии для физики в целом диктуется способностью косвенно проверять фундаментальные физические законы на энергиях вплоть до планковских значений (~10¹⁹ ГэВ) путем сравнения наблюдаемых данных с теоретическими предсказаниями. Прежде чем затронуть эти вопросы, рассмотрим простейшую классическую космологическую модель, основанную на хорошо обоснованных физических законах и проверенных наблюдательных фактах.

1. Классическая космология

1.1. Космологический принцип

Подобно принципу постоянства скорости света или принципу эквивалентности (которые лежат в основе общей теории относительности), в основе разумных космологических моделей лежит космологический принцип, согласно которому во Вселенной не должно быть выделенных наблюдателей. Иногда этот принцип называют "принципом Коперника", который первый в новой истории отказался от геоцентрической системы мира. Этот принцип означает, что глобальные характеристики Вселенной одинаковы для любого наблюдателя, находящегося в любой точке гиперповерхности постоянного времени. В настоящее время этот принцип с огромной точностью подтвержден астрономическими наблюдениями однородности распределения любой материи во Вселенной в больших масштабах (>100 Мпк) и изотропии(отсутствие выделенного направления). Уже одного этого оказывается достаточным, чтобы из всего мыслимого многообразия возможных математических моделей, описывающих Вселенную в целом, выбрать весьма узкий класс (т.н. модели Фридмана-Робертсона-Уокера). См. подробнее в кн. С.Вайнберга "Гравитация и космология", М.: Мир, 1975, Гл. 13 и далее).

1.2. "Краткий курс" истории космологии ХХ века

Очень схематично новейшую историю современной космологии можно проследить по датам важнейших наблюдательных и теоретических открытий:

1910-1922, Слайфер, красные смещения в спектрах галактик

,

где_em, _obs - длина волны излучения в собственной системе координат источника и наблюдателя

Рис. 1. Хаббловская диаграмма (зависимость скорости удаления (в км/с), измеренной по красному смещению, от расстояния (в Мпк)) для сверхновых типа 1а. Тангенс угла наклона прямой, аппроксимирующей эту зависимость, дает современное значение постоянной Хаббла H₀ = 64 км/с/Мпк.
1916, Эйнштейн, Общая теория относительности
1922-24, А. Фридман, нестационарные решения уравнений Эйнштейна (фридмановские космологические модели)
1929, Э. Хаббл, закон v = Hr для удаляющихся галактик. Скорость удаления галактики определяется по красному смещению, интерпретируя его эффектом Допплера. Для малых z

Первое измерение постоянной Хаббла (см. Рис. 1)
1933, Ф. Цвикки, скрытая масса в скоплениях галактик
1949, Алфер, Бете, Гамов - гипотеза "горячей Вселенной" ("Big Bang") и
предсказание существования реликтового излучения T ~ 5 K.
1965, А. Пензиас, Р. Вилсон - открытие изотропного космического микроволнового фона (реликтовое излучение) с температурой около 3 К.

Рис. 2. Спектр космического микроволнового (реликтового) излучения. Сплошная кривая - функция Планка для абсолютно черного тела с температурой Т=2.728 К.
1979-80, А. Гус, А.А. Старобинский, А.Д. Линде, Д.А. Киржниц - гипотеза "инфляционной" (раздувающейся) Вселенной
1992-1993, в космических экспериментах "Реликт" (Россия), "COBE" (США) обнаружены флюктуации реликтового излучения на уровне _T/T10
1998, измерение углового спектра флюктуаций реликтового микроволнового излучения.

1.3. Нерешенные вопросы

Несмотря на колоссальные успехи в современной космологии, оcтаются нерешенными несколько главных вопросов:

1. Глобальная топология Вселенной (>, <, = 1), т.е. какой математической моделью описыватеся пространство-время? Знак кривизны 3-мерного гиперповерхности постоянного времени однозначно связан с вопросом о том, будет ли Вселенная расширяться вечно, или наблюдаемое расширение рано или поздно сменится сжатием?

2. Проблема скрытой массы (наблюдаемое вещество во Вселенной составляет по массе не более нескольких процентов от полной массы тяготеющего вещества)

3. Проблема космологической постоянной (или почему не видна огромная энергия нулевых флюктуаций вакуума ?) и примыкающая к ней проблема "квинтэссенции" (отрицательной энергии, заполняющей Вселенную, по-видимому, до = 1)

4. Самая ранняя Вселенная (квантовое рождение, стрела времени и т.д.) Сохраняется неопределенность и в таких \старых" вопросах, как возраст Вселенной (или чему же равно значение постоянной Хаббла? Современная величина этого параметра H₀ = 55 - 80 км/с/Мпк, и если H₀ близка к верхней границе интервала неопределённостей, возраст Вселенной в моделях без космологической постоянной оказывается ниже наблюдаемого значения возраста самых старых звезд в шаровых скоплениях.

1.4. Локальный закон распределения скоростей.

Везде ниже будем рассматривать однородные и изотропные космологические модели. В силу однородности возьмем ограниченную сферическую область и проследим за ее эволюцией. Внешние области несущественны, т.к. поле тяготения, создаваемое веществом вне сферы (при строгой сферической симметрии) тождественно равно нулю (Толмен 1934, доказательство в рамках ОТО).
Замечание. В ньютоновской теории тяготение описывается уравнением
, и внутри полой сферы, а ньютонова теория локально является точной: для слабого гравитационного поля или в любой достаточно малой окрестности сколь угодно сильного гравитационного поля можно пространство-время рассматривать как плоское, с метрикой g_ik = _ik + h_ik, где _ik = diag+1, -1, -1, - 1 - метрика плоского пространства-времени Минковского, h_ik - малые возмущения метрики; для перехода к ньютоновскому гравпотенциалу можно пользоваться разложением
g₀₀ = (1 - 2/c² ) , g₁₁ = g₂₂ = g₃₃ = (1 + 2/c² ).

1.4.1. Закон Хаббла

Как следует из астрономических наблюдений спектров галактик, скорость их удаления от наблюдателя прямо пропорциональна расстоянию:

где H вообще говоря может зависеть от времени (от направления зависимости нет в силу изотропии).
Форма этого закона не изменяется при Галилеевых преобразованиях координат. Расстояние между двумя точками А и В однородно расширяющегося пространства меняется по закону dr_AB/dt = Hr_AB и r_AB(t) = r_AB(t₀ ) exp -

1.4.2. Закон изменения плотности

Рассмотрим массу, заключенную внутри выделенного шара радиуса R: M = 4/3R³.
Изменение плотности при расширении

(более формально этот же закон получается непосредственно из уравнения неразрывности d=dt + (u) = 0). Уравнение (2) означает, что если плотность в однородной среде, расширяющейся по закону Хаббла, не зависела от координат в начальный момент времени, она не будет зависеть от координат и в последующие моменты времени.

1.5. Закон эволюции. Критическая плотность

Рассмотрим точку на границе области, расширяющейся по закону (1).
Ньютоново уравнение движения

С учетом (1) и постоянства массы внутри сферы приходим к системе уравнений, описывающей эволюцию локальных свойств однородной расширяющейся Вселенной

Заметим, что ни масса, ни радиус шара в уравнения не вошли, следовательно можем распространить рассмотрение на большие области (однако лишь до тех пор, пока применима Ньютонова гравитация).
Умножая (3) на dR/dt и интегрируя, получаем закон сохранения энергии

Определим значение константы в правой части. В момент t₀ имеем R₀; ₀,и из закона сохранения энергии находим:

где

есть так называемая критическая плотность в момент t₀ (численно приведена критическая плотность в настоящее время, нормированная на значение постоянной Хаббла h₁₀₀ = H₀=100 км/с/Мпк).

Замечания.

1. Так как в настоящее время dR/dt > 0 (красное смещение - Вселенная расширяется!), первое слагаемое 1/R возрастает с уменьшением R, а значит в прошлом скорость расширения была больше (т.е. расширение должно замедляться - очевидное свойство движения с учетом тормозящего действия гравитации), и был момент такой, что dR/dt+ и R0 (сингулярность). Итак, прошлое целиком определяется поведением первого слагаемого.

2. Будущее: целиком определяется знаком второго слагаемого (константа в законе сохранения энергии), т.е. соотношением ;

А) Если ₀ > _cr ( > 1) - второе слагаемое отрицательное, расширение тормозится и сменяется сжатием (т.к. первое слагаемое ! 0 при R+ 1 ) - модель "закрытой Вселенной", полная энергия Вселенной положительна;
В) < 1, второе слагаемое положительно, и расширение продолжается
вечно с асимптотической скоростью dR/dt = H₀ R₀ при R+ 1 - модель открытой Вселенной, полная энергия Вселенной отрицательна;
C) = 1, расширение продолжается неограниченно, в пределе с асимптотически стремящейся к нулю скоростью. Полная энергия равна нулю (кинетическая энергия в любой момент времени точно компенсируется потенциальной энергией). (Ясно прослеживается аналогия с гиперболическим, финитным и параболическим движением тела в поле тяготения).

1.5.1. Продолжительность расширения и "Возраст Вселенной"

Закон Хаббла имеет простую геометрическую интерпретацию: тангенс угла наклона касательной к кривой R(t) в точке t₀ есть H₀R₀ , то есть время от момента пересечения касательной оси времени t' до момента t₀: t₀ -t'= 1/H010¹⁰лет. На самом деле, реальный возраст
меньше (зависит от конкретного вида функции R(t))

1.5.2. Важный частный случай = 1

В этом случае константа в уравнении энергии точно равна нулю,

Находим точное решение:
для масштабного фактора ,

для плотности: из (t)R³(t) = const получаем

Замечание: в уравнении (6) 2-й член ~ (- 1) исчезает при R0, т.е. в начале расширения независимо от модели Вселенной плотность падала по закону ~1/t².

1.6. Влияние давления

До сих пор мы рассматривали пыль или газ низкой плотности с давлением P = 0. Для обычного вещества <</c² (- плотность энергии), для релятивистских частиц (фотоны, нейтрино) P = /3. Для обычного вещества плотность падает как куб масштабного фактора, ~ 1/V - 1/R³. Для релятивистских частиц (излучения) при адиабатическом расширении плотность падает быстрее, т.к. уменьшается плотность фотонов в единице объема ( ~1/R³) и уменьшается энергия каждого фотона (красное смещение) ( ~ 1/R), поэтому _изл ~ 1/R⁴. Формальный вывод этого соотношения следует из 1 закона термодинамики: если есть давление, оно совершает работу над соседними элементами d(V) = -PdV , для излучения P =/3,откуда ~V^4/3= 1/R⁴. Поскольку для излучения в термодинамическом равновесии (АЧТ) = aT⁴, температура в расширяющейся Вселенной падает обратно пропорционально масштабному фактору: T ~1/R, что, впрочем, очевидно: с точностью до констант энергия = частота = температура, а значит температура эволюционирует так же, как и частота, т.е. пропорционально красному смещению.
Эти простые рассуждения показывают, что уходя в прошлое, мы должны рано или поздно начать учитывать влияние давления P. Как было показано Толменом, в рамках ОТО учет давления сводится к замене плотности на сумму плотности энергии и утроенного давления:

(давление "весит" в ОТО!)
Тогда уравнение движения модифицируется в

(тж. Паули 1958), а вот уравнение энергии (??) не изменяется. Т.о. при наличии давления ускорение зависит от+3P, а потенциальная энергия по прежнему определяется только плотностью вещества . Из (9) немедленно следует, что если P > 0 (всегда кроме инфляционной стадии, см. ниже), то в начале расширения эффективно масса Вселенной больше из-за большого давления, и давление на самом деле замедляет расширение!
Определяя как и раньше константу энергии из условия , получаем, что вся динамика расширения зависит только от соотношенияи при наличии давления.
Рассмотрим случай доминирования излучения, т.е. эпоху, когда плотность энергии целиком определяется излучением. Тогда P =/3, ~V^-4/3 = k/R⁴, где k некоторая постоянная. Уравнение энергии при этом становится:

При малых R константа в правой части не важна (независимо от ее знака, т.е. при любом), и решение этого уравнения

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций