Очень краткая теория (1115379), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Док-во: Рассм. сл. величину =_n=1I_An, равную числу тех номеров n, при которых происходит A_n (т. е. ()=k, если ровно для k номеров n A_n). По теореме о монотонной сх-ти E= _n=1EI_An= _n=1P(A_n), поэтому из (1) E>, т. е. сл. вел. с вероятностью 1 конечна, а т. к. P(A)=P{=}, то первая часть леммы доказана. Для док-ва второй части воспользуемся незав-тью A₁,A₂,… в соотношении P{A}=lim_nP{_m=nA_m}=1-lim_nP{_m=n(-A_m)}=1-lim_nlim_kP{_m=n^k(-A_m)}=1-lim_nlim_{k m=n}^k(1-P(A_m))= 1-lim_{n m=n}(1-P(A_m))=1, т. к. ряд (2) расходится.

Нер-во Колмогорова.

Пусть ₁,…,_n нез. и имеют конечные E_k и D_k. Тогда P{max_1kn|_k-E_k|x}^Dk/_x2, где k=₁+…+_k.

Док-во: Далее будем считать E_k=0. Это не ограничивает общности, т. к. всегда можно перейти от _k к _k-E_k. Введем сл. величину =min{k|_k|x}. Если max_1kn|_k|<x, то положим =n+1. Т. к. _n²_n²_k=1ⁿI_{=k}, то E_n²_k=1ⁿE_n²I_{=k}= _k=1ⁿE(₁+…+_k+_k+1+…+_n)²I_{{=k} k=1}ⁿE(₁+…+_k)²I_{=k}+2 _k=1^n-1E(₁+…+_k)I_{=k}(_k+1+…+_n).

Сл. величина I_{=k} зависит лишь от ₁,…,_k, поэтому (₁+…+_k)I_{=k} не зависит от _k+1,…,_n и E(₁+…+_k)I_{=k}(_k+1+…+_n)= E(₁+…+_k)I_{=k}E(_k+1+…+_n)=0. Т. к. для {=k} имеем _kx и P{n}= P{max_1kn|_k|x}, то E_n² _k=1ⁿE_n²I_{=k}x²P{n}= P{max_1kn|_k|x}.

Усиленный закон больших чисел Колмогорова.

Пусть ₁,₂,… нез. и одинаково распределены. Для них E_k=a_k, D_k=b_k², _n=1^bn2/_n2<. Тогда для посл-ти ₁,₂,…вып-ся усиленный ЗБЧ, т.е. ^n-En/_nn0 с вер. 1. (_n=₁+…+_n)

Док-во: _n=sup_1m2n|_m-E_m|, ¹/_k|_k-E_k|2^-n_n+1,k: 2ⁿk2ⁿ⁺¹. Дост. доказать, что ⁿ⁺¹/_2n0 при k с вер-тью 1. >0 выполняется только конечное число событий A_n=(ⁿ⁺¹/_2n>). {по лемма Б-К} P(A_n)<.

Нер-во Колм. _n=1P(ⁿ⁺¹/_2n>) _n=1(^D₂ⁿ⁺¹/_222n)= _{n=1 k=1}²ⁿ⁺¹b_k²/_222n⁴/_2k=1b_k²_n[log2k]-12^-2n

⁴/_2k=1b_k²2^{-2([log k]-1)}/_3/4⁴/_2k=1b_k²2^{-2(log k-2)}/_3/4C_k=1^bk2/_k2<.

УЗБЧ для независимых одинаково распр. сл. величин.

Пусть ₁,₂,… независимы, E_n=0, D_n=²_n и _n=1²ⁿ/_n2<. Тогда ^1+…+n/_n^п.н.0. (1)

Док-во: Обозн. _n=₁+…+_n. Сх-ть (1) равносильна условию P{_knsup|^k/_n|>}0, n, >0.

Обозн. A_n={_2n-1k<2nmax|^k/_n|>} (1) ~ P{_k=nA_k}0, n. По нер-ву Колмогорова P(An)P{_2n-1k<2nmax|_k|>2^n-1}

P{_1k2nmax|_k |>2^n-1}4^D₂ⁿ/_222n. Далее _k=1P(A_k)4^-2 _k=12^-2k _n=1^2k2_n4^-2 _n=1^2k2_{n {k:2kn}}2^-2k8^-2 _n=1²ⁿ/_n2<, т.к. _k=k02^-2k2^-2k0+1. Из сх-ти ряда _kP(A_k) (1), т.к. P{ _k=nA_k} _k=nP(A_k)0, n.

Характеристической функцией сл. величины наз. функция f(t) от действительного аргумента t, равная f(t)=Ee^it.

Свойства характеристических функций:

1. |f(t)|1 при каждом действительном t; f(0)=1.

Доказательство просто получается из неравенства |E|E||, т.к. |e^it|=1 и |f(t)|=|Ee^it|E|e^it|=1.

1. Если =a+b, где a и b – константы, то f(t)=e^itbf(at).

F(t)=Ee^it=Ee^it(a+b)=e^itbEe^ita=e^itbf(at).

1. Если ₁,₂,…,_n независимы, то f_1+…+n(t)=_k=1ⁿf_k(t).

Из нез-ти ₁,…,_n нез-ть e^it₁,…,e^it_n; применяя к ним св-во мультипливативности мат. ожидания, получаем f_1+…+n(t)=Ee^it_k=1ⁿ_k=E_k=1ⁿe^it_k=_k=1ⁿEe^it_k.

1. f(-t)=f(t).

Вытекает из e^(it)=e^-it и св-ва 2)

1. Обозначим m_n=Eⁿ. Если m_n конечно, то все производные f^(k)(t) с kn и f^(k)(0)=i^kE^k.

Док-во: Если мы k раз формально продифференцируем х. ф., то получим равенство f^(k)(t)=i^kE^ke^it=i^k_-∫x^ke^itxdF(x). Полагая t=0, приходим к f^(k)(0)=i^kE^k.

1. Если (s)=Es - производящая функция целочисленной сл. величины, то f(t)=(e^it).

Следует из определения.

Закон больших чисел в форме Хинчина. Если ₁,₂,… независимы, одинаково распределены и E_n=a конечно, то имеет место закон больших чисел: ^1+…+n/nPa.

Док-во: Хар-кая функция f(t) случайной величины _k-a представима в окрестности нуля в виде f(t)=1-o(t), поэтому, обозначая _n’=₁+…+_n-na, имеем f_n’/n(t)=[f(t/n)]ⁿ1, слабая сходимость ^n’/_n к нулю, что равносильно ^n’/_n ^P0.

Функцию нормального распределения будем обозначать Ф(x)=_-∫^xe^-u2/2du.

Центральная предельная теорема. Если сл. величины ₁,₂,… нез-мы, одинаково распределены и имеют конечные E_i=a и D_i=²>0, то lim_nP{^1+…+n-na/_n x}=Ф(x).

Док-во: Используем аппарат хар-ких функций. Обозначим _n=₁+…+_n, ^~_k=_k-a_k, ^~_n=^n-na/_n, тогда ^~_n=1/_{n k=1}^n~_k. Пусть f(t)=f^~_k(t) – хар-кая функция ^~_k. Т. к. E^~_k=0, E^~_k²=D_k=², то, f(t)=1-^t22/₂+o(t²) при t0 и, следовательно, при любом фиксированном t имеем f^~_k(t)=[f(^t/_n)]ⁿ=(1-^t2/_2n+o(^t2/_n))ⁿe^-t2/2, n.

Условное мат. ожидание. Пусть A – событие и P(A)>0. Если - интегрируемая действительная сл.в., то по определнию E(|A)=∫dP_A=¹/_P(A)A∫dP (1) есть условное мат. ожидание сл. в. относительно события A.

Начнем с простого случая, когда есть сл. в., принимающая значения x₁,x₂,… с положительными вероятностями, т. е. =_k1x_kI_Ak, где A_k={=x_k}, P(A_k)>0. Определим сл. в. E(|) соотношением E(|)()=_k1E(|A_k)I_Ak()= _k1E(|=x_k)I_{=xk}(). Сл. в. E(|) есть по определению условное мат. ожидание сл. величины относительно сл. в. .

Если A – событие вида A=_iIA_i, где I{1,2,…}, то используя формулу (1), получим _A∫E(|)dP=EI_AE(|)= E_k1E(|A_k)I_AAk=E_iIE(|A_i)I_Ai=_iIE(|A_i)EI_Ai=_iIAi∫dP=_A∫dP, т. е. _A∫E(|)dP=_A∫dP (2) для любого события A вида _iIA_i. Положим =^-1(B¹). Т. к. -алгебра совпадает с классом событий вида _iIA_i, то равенство (2) выполняется для всех A. Это обстоятельство может быть положено в основу определения E(|).

Цепи Маркова. Пусть ₀,₁,…,_T – посл-ть случайных испытаний. (1)

В этой посл-ти зафиксируем какой-нибудь момент времени t. Алгебру событий _t назовем настоящим, алгебру ₀^t-1, порожденную алгебрами ₀,₁,…,_t-1, назовем прошлым, алгебру событий _t+1^T, порожденную алгебрами _t+1,…,_T, - будущим. Любое событие из ₀^t-1 также назовем прошлым, из _t+1^T – будущим, из _t – настоящим. Например, событие {:найдется такое k, что t<k<T и _k=_k+1} принадлежит будущему, а событие {:для всех k, 0k<t, _kr} – прошлому.

Опр: Посл-ть испытаний (1) мы будем называть цепью Маркова, если при любом фиксированном настоящем t=k прошлое ₀^t-1 и будущее _t+1^T независимы, т. е. для любых 1kr, t=1,2,…,T-1, A₀^t-1, B_t+1^T P{AB|_t=k}=P{A|_t=k}P{B|_t=k}.

Блуждание с поглощением. Пусть по точкам 0,1,…,N прямой блуждает частица. Время t дискретно. Если в момент t частица была в точке i, то в след. момент t+1 она независимо от ее положений в более ранние моменты времени с вероятностью p_ij попадает в точку j. Если ||p_ij|| задается равенствами p₀₀=p_NN=1, p_i,i+1=p, p_i,i-1=1-p, если 1iN-1 и p_ij=1 при |i-j|>1, то мы получаем цепь Маркова, чоторая описывает блуждание частицы по целым точкам отрезка [0,N] с поглощением на концах.

Блуждание с отражением. Пусть вероятности p_i,i+1, p_i,i-1, p_ij остаются теми же. Если определить еще p₀₀=1-p, p₀₁=p, p_NN=p, p_N,N-1=1-p, то полученная цепь Маркова моделирует блуждание частицы по целым точкам отрезка (-1/2, N+1/2) с отражением на концах.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)