Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров - Анализ данных на компьютере (1115311), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Если мы полностьювыявим закономерную составляющую в поведении временного ряда, тооставшаяся часть выглядит хаотично и непредсказуемо. Ее обычноименуют иррегулярной, или случайной компонентой временного ряда.Обозначим эту случайную компоненту через ε1 , . . . , εt , . . . , εn .Для описания и анализа случайной компоненты временных рядовобычно используют понятия и методы теории вероятностей и матема"тической статистики.Аддитивная и мультипликативная модели. Формы разложения(декомпозиции) временного ряда на детерминированную и случайнуюкомпоненты могут различаться.
Укажем наиболее простых из них.Определение. Аддитивной моделью временного ряда называется представление ряда в виде суммы детерминированной и случайной компонент, а именно:xt = dt + εtпри t = 1, . . . , nилиX = D + E.(11.1)Определение. Мультипликативной моделью временного ряданазывается представление ряда в виде произведения детерминированной и случайных компонент, а именно:xt = dt × εtпри t = 1, . . . , nилиX =D×EМультипликативные модели часто бывают удобны при анализе эко"номических временных рядов.335Способы описания детерминированных компонент временного рядасильно зависят от области приложений. При выборе модели детермини"рованной компоненты должны прежде всего учитываться содержатель"ные соображения, то есть те объективные факторы и закономерности,которые приводят к ее формированию.В экономических (и многих других) приложениях в детерминирован"ной компоненте временного ряда dt обычно выделяют три составляющихчасти: тренд trt , сезонную компоненту st и циклическую компонентуct .
Для простоты изложения мы рассмотрим только аддитивную модельвременного ряда. Мы можем записать:dt = trt + st + ct ,при t = 1, . . . , n.Замечание. В последнее время к указанным трем компонентам все чащедобавляют еще одну компоненту, именуемую интервенцией. Под интервенци"ей понимают существенное кратковременное воздействие на временной ряд.Примером интервенции могут служить события «черного вторника», когда курсдоллара за день вырос почти на тысячу рублей. С анализом интервенций можнопознакомиться в [11].Термины «тренд», «сезонная компонента» и «циклическая компонен"та» не имеют однозначных общепринятых определений.
Чаще всего рас"хождения относятся к определению тренда и циклической компонентыи связаны с различными традициями в разных науках. Мы определим ихв виде, наиболее часто используемом в экономических приложениях.Тренд. Анализ временного ряда обычно начинается с выделенияименно этой компоненты. Ее присутствие или отсутствие наглядно по"казывает график временного ряда. Выделение тренда позволяет перейтик дальнейшей идентификации других компонент ряда.Определение. Трендом временного ряда trt при t = 1, . .
. , n называют плавно изменяющуюся, не циклическую компоненту, описыва336ющую чистое влияние долговременных факторов, эффект которыхсказывается постепенно.В экономике к таким факторам можно отнести:•••изменение демографических характеристик популяции, включаярост населения, изменение структуры возрастного состава, из"менение географического расселения и т.д.;технологическое и экономическое развитие;рост потребления и изменение его структуры.Действие этих и им подобных факторов происходит постепенно,поэтому их вклад исследователи предпочитают описывать с помощьюгладких кривых, просто задающихся в аналитическом виде. Мы опишемнекоторые модели тренда в следующем параграфе.Сезонная компонента. Сезонная компонента отражает присущуюмиру и человеческой деятельности повторяемость процессов во време"ни.
Она часто присутствует в экономических, метеорологических идругих временных рядах. Сезонная компонента чаще всего служит глав"ным источником краткосрочных колебаний временного ряда, так что еевыделение заметно снижает вариацию остаточных компонент.Определение. Сезонная компонента st временного ряда при t =1, . . . , n описывает поведение, изменяющееся регулярно в течениезаданного периода (года, месяца, недели, дня и т.п.). Она состоитиз последовательности почти повторяющихся циклов.Типичным примером сезонного эффекта является объем продаж вдекабре каждого года в преддверии Рождества и нового года.
В то жевремя пик объема продаж товаров для школьников приходится на нача"ло нового учебного года. Объем перевозок пассажиров городским транс"портом имеет два характерных пика утром и вечером, причем периодвечернего пика продолжительней, а сам пик менее высокий. Сезонныеэффекты присущи многим сферам человеческой активности: многие ви"ды продукции имеют сезонный характер производства, потребление то"варов также имеет ярко выраженную сезонность.
На графике месячныхобъемов продаж шампанского в течение 7 лет (рис. 11.1в) видно, что пикреализации приходится на декабрь, а спад на жаркие летние месяцы.В некоторых временных рядах сезонная компонента может иметьплавающий или изменяющийся характер. Классическим примером по"добного эффекта является праздник Пасхи, сроки которого изменяютсяиз года в год. Поэтому локальный пик объемов междугородных пе"ревозок во время пасхальных каникул является плавающим сезоннымэффектом.337Главная идея подхода к анализу сезонных компонент заключаетсяв переходе от сравнения всех значений временного ряда между собойк сравнению значений через определенный период времени.
Это позво"ляет заметно снизить оценку вариации временного ряда около своегосреднего значения. Так, при изучении динамики месячных объемов про"даж за несколько лет данные декабря одного года обычно сравнивают сданными декабря предыдущего года, а не с данными других месяцев рас"сматриваемого года. Методы анализа сезонных эффектов и выделениясезонных компонент рассмотрены в пункте 12.3.2.Циклическая компонента занимает как бы промежуточное положе"ние между закономерной и случайной составляющими временного ряда.Если тренд — это плавные изменения, проявляющиеся на больших вре"менных промежутках, если сезонная компонента — это периодическаяфункция времени, ясно видимая, когда ее период много меньше общеговремени наблюдений, то под циклической компонентой обычно подра"зумевают изменения временного ряда, достаточно плавные и заметныедля того, чтобы не включать их в случайную составляющую, но такие,которые нельзя отнести ни к тренду, ни к периодической компоненте.Определение.
Циклическая компонента ct временного ряда описывает длительные периоды относительного подъема и спада. Онасостоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности.Изучение циклической компоненты полезно для прогнозирования(особенно краткосрочного).Замечание. Выделение в экономических временных рядах циклическихкомпонент связано с тем, что экономическая активность не растет (или спада"ет) постоянными темпами.
Она состоит из периодов относительных подъемови спадов. Считается, что причиной циклических изменений в экономическихпоказателях является взаимодействие спроса и предложения. Играют роль идругие факторы: рост и истощение ресурсов, увеличение размеров капитала,используемого в бизнесе, продолжительно действующие неблагоприятные (ли"бо благоприятные) для тех или иных отраслей сельского хозяйства погодныеусловия, изменения в правительственной финансовой и налоговой политике ит.п. Влияние всех этих факторов приводит к тому, что циклическую компо"ненту крайне трудно идентифицировать формальными методами, исходя толькоиз данных изучаемого ряда.
Поэтому для ее анализа обычно приходится при"влекать дополнительную информацию в виде других временных рядов, которыеоказывают влияние на изучаемый ряд, например, учитывать информацию типаналоговых льгот, перенасыщенности рынка и т.п.Методы определения циклической компоненты в экономических вре"менных рядах и связанные с ней индексы деловой активности относят"338ся к эконометрии и выходят за рамки материала, рассматриваемого вданной книге. Более подробно об этом можно прочесть в [135].11.6. $ …Простейшие модели тренда. Приведем модели трендов, наиболеечасто используемые при анализе экономических временных рядов, а так"же во многих других областях. Во"первых, это простая линейная модельtrt = b0 + b1 · t,•••Полигармоническая модель. Простейший вариант полигармони"ческой модели временного ряда — это косинусоидальная модель:(11.2)которая, несмотря на свою простоту, оказывается полезной во многихреальных задачах.
Если нелинейный характер тренда очевиден, томожет подойти одна из следующих моделей:•рактеристики механизмов, генерирующих исследуемые временные ря"ды. Это, разумеется, существенно облегчает исследование. Мы рассмо"трим только один тип моделей временных рядов, часто используемыйв технических приложениях — полигармоническую модель. О другихмоделях временных рядов, возникающих в технических приложениях,Вы можете узнать в [62], [31].полиномиальная: trt = b0 + b1 t + b2 t2 + · · · + bn tn , где значениестепени полинома n в практических задачах редко превышает 5;логарифмическая: trt = exp(b0 + b1 t). Эта модель чаще всегоприменяется для данных, имеющих тенденцию сохранять посто"янные темпы прироста;aлогистическая: trt = 1+b·e−ct ;Гомперца: log(trt ) = a − b · r t , где 0 < r < 1.Две последние модели задают кривые тренда S"образной формы.Они соответствуют процессам с постепенно возрастающими темпамироста в начальной стадии и постепенно затухающими темпами роста вконце.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
