В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поэтому, рассуждая так же, как в разделе 11.2, мы получаем, что для любого у н (О, 1) ,/л(Մ— а) ~де н 1+те — — 1Х-квантиль станДаРтного ноРмального РаспРеДелениЯ. Поз- 1+ тому с уверенностью у 100% мы можем утверждать, что а а Хк — ин..
— (а ( Х„+и~+- э /л зг,~л Ш. Оба лараметра а н а~ неизвестны. В скеме прямых измерений- такая ситуация возникает, югда неизвестны ни измеряемый параметр, ни точность измерительного прибора. В этой ситуации наилучшими приближениями для параметров а и о з будуг 2З.2. Выгоды о нараманрал нормального раснгыделеннл 145 Чтобы сделать вывод о точности зтих приближенных равенств, мы заметим, что из теоремы Фишера и Определения 3.1.2 вытекает, что случайная величина /л(Մ— а) т„= Я имеет распределение Стьюдента с л — 1 степенями свободы. Если для а н (О, 1) мы обозначим а-квантиль такого распределения через 1„1(а), то для любого у н (О, 1) мы будем иметь ,Я(Хн — а) 1+ у Поэтому с уверенностью у 100% мы можем утверждать, что Обратим внимание, что мы оценили точность приближения а на Х„, не привлекая никвюй информации о неизвестном параметре о 2.
Чтобы оцешпъ точность приближения аг аа аг, воспользуемся вторым пунктом теоремы Фишера, из которого, рассуждая так же, как в ситуации П, мы приходим к следующему выводу: зафиксировав произвольный уровень доверия у н (О, 1), с уверенностью у 100% мы можем утверждать, что (л — 1) Яг 2 (л — 1) дг Хг ()+у) Хг (12г.) При анализе нормальных выборок часто возникает задача об объединении однородных выборок.
Если имеются дае нормальные выборки Х1,..., Х„и Х„+и..., Х„+, то статистические выводы на основе объединенной выборки Х1,..., Х„+м должны быль более точны, нежели выводы на основе юскдой из выборок объемов л и лг в отдельности. Единственным непременным условием возможности объединения выборок является их однородность: параметры обеих нормальных выборок Х1,..., Х„и Х„+1,..., Хн+м должны совпадать. Проверить, совпадают ли эти параметры, можно статистически.
Рассмотрим следующую задачу. 2.3. Сокээксеическнй аиалкв иорыакьнык выборок Пусть имеются две независимые выборки: Х1,..., Х„и У1,..., У, причем выборка Хп..., Х„взята из нормальной генеральной совокупности с параметрами а1 и пз, а выборка Уп..., Г взята из нормальной генеральной совокулностл с параметрами аз и а22. Требуется проверить, что параметры совокупностей совпадают: а1 = аз и о 2 = п22. Обозначим ох = 2 Согласно второму утверждению теоремы Фишера, величина (л -1)Яхз/аз имеет распределение хи-квэдрат с л — 1 степенями свободы, а величина (т -1) бг/свз~ имеет распределение хи-квадрат с ш — 1 степенями свободы.
Поэтому, если о.з = о 2, то согласно Определению 3.1.3, величина (и — 1)Яхз (т — 1)ф долина иметь распределение Фишера-Снедеюра с л — 1 и ш — 1 степенями свободы. Поэтому, чтобы проверить гипотезу о совпадении дисперсий сг1 — — оз, следует зафиксировать малое положительное число а, интерпретируемое как вероятлосп практически невозможного события (следует отметить, что в реальных исследованиях принято выбирать значения а = 0,01 илл а = 0,05), и проверить, попадает ли наблюдаемое ЗНЙЧЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Еа,ы В ИНТЕРВая (хо-Кщ-1 (У), ха — Кщ-1 (1 — 5)~, ГДЕ З„кы 1 Я) И 2„1 1 (1 — $) — СООтастетВЕЛНО ~- И (1 — $)-КяаНтИЛИ распределепия Фишера-Снедеюрэ с и — 1 и т — 1 степенями свободы. Бели величина Ек Кы 1 попала в указанный интервал, то гипотезу о совпадении дисперсий следует принять.
В противном случае — отверглуп. При этом вероятность ошибочного отказа от гипотезы равенства дисперсий в случае, югда зта гипотеза на сэмом деле верясь будет равна п. Предположим, что гипотеза о совпадении дисперсий рассматриваемых НОрМаЛЬНЫХ ГЕНЕраЛЬНЫХ СОВОКуПНОСтЕй Прлпата, тО ЕСТЬ О12 — — С22 ш О.з. 2212. Выводы о нараметрах нормального раонраданеннн 147 Тогда можно убедиться, что случайная величина Մ— У имеет нормальное распределение с параметрами а1 — аз и („- + — ) с~.
В то же время, по Определению 3.1.1 и второму пункту теоремы Фишера, случайная величина [[и — 1)Ях~ + [ги — 1)Я~~]/сз имеет РаспРеделение хи-кваЛРат с и + т — 2 степенями свободы. Таким образом, если а1 = аъ то по Определению 3.1.2, случайная величина и+т ит[и+ т — 2) Т„ имеет распределение Стьюдента с и + т — 2 степенями свободы. Поэтому, чтобы проверить гипотезу о совпадении средних значений а1 = аз, следует зафиксировать малое положительное число а, интерпретируемое как вероятносп практически невозможного события, и проверить, попадает ли наблюдаемое значение величины Т„, в интервал (-Г„+ З (1 — $), 7н+ -З (1 — $)~, Гдс гн+ -З (1 — й) — (1 — у)-КаалтИЛЬ распределения Стьюдента с т + и — 2 степенями свободы.
Если величина Т„попала в указанный интервал, то гипотезу о совпадении средних значений следует припать. В противном случае — отвергнуть. При этом вероатносп ошибочного отказа от гипотезы равенства средних значений в случае, когда зта гипотеза на самом деле верна, будет равна а. Следует особо обсудить формулировку вывода о результатах проверки статистических гипотез во всех упомянутых выше ситуациях.
Решение о том, что гипотеза отвергается, формально должно иметь вид: имеющиеся данные противоречат гииотгзв. В то же время, в противоположной ситуации было бы ошибкой заключить, что гииотвза верна. Ведь фактически у иас просто нет достаточных оснований отвергиуп ее. Поэтому если мы не отвергаем гипотезу, то зто нв означает, чгио мы соглаиазгмгя с нви. Наш вывод должен иметь вид: имеющиеся данные нв иротиворвчат гииотвзв. Друппги словами, рассмотренные вылив критерии нмеют характер необходимых, но ие достаточных условий.
В заключение следует остановиться на некоторых стереоп)пах, связанных с нормальным законом. Нормальное распределение является аналитически удобной идеальной абстракцией, обладающей многими благоприяпмми свойствами. К числу таких свойств, несомненно, относится стохастическая независимость выборочного среднего и выборочной дис- 148 персии в нормальных выборках. Кстати, заметим, что зто свойство является характеристическим, то есть нормальное распределение является единственным заюном, обладазощнм таким свойством.
В разделе 1.9 мы уже говорили о том, что нормальное распределение во многих практических ситуациях довольно далею от того, чтобы быль адекватной моделью происходящего. Использование нормального распределения во многих случаях как бы реализует "принцип пыппщы", который ищет монетку не там, где он ее потерял, а там, где стоит фонарь, потому что там светлее. 2.4. Методы построении оценок неизвестных параметров 2.4.1. Метод иаибольшего правдоподобия При статистичесюм анализе стохастических ситуаций очень полезен и эффекпавен принцип наибольшего правдоподобия, юторый в самом общем виде может быль сформулирован так: при поиске причин тех или иных событий, если нет никаких других соображений, следует исходить из наиболее правдоподобных объяснений. Этот общий принцип реализуется в задиах математнчесюй статистики как мееод максимального правдоподобия, математическая формализация которого выпщшт следу1ощнм образом.
Пусть в распоряжении исследователя имеется независимая однороднаа выборка Хы..., Х„. Предположим, что распределение генеральной совокупности Р(Х1 < х) зависит от неюторого неизвестного параметра д: Р(Х1 с х) = Г(х; д). Функция праедолодобия Ь(0; Хн..., Х„) определяется по-разному в зависимости от того, дискретно или непрерывно распределение Г(х; 9).
Если функция распределения Г(х; В) дискретна, то есп каждая из случайных величин Х1,..., Х„может принимать значения хп хз,... с вероятностями соот- 149 2.4.1. Маюод маи йиь шеро щишдолодобяя ветственно р(х1, В), р(хз, '9), ..., то определим функцию р(х; В) как р(х1„9), если х = х1, р(х; 9) = р(х„; 9), если х = х„, О, солих й (х1,хт,...). Если же функция распределения Г(х; 9) непрерывна, то определим функ- цию р(х; 9) как плотность распределения Г(х; 9): для любого у гт Р(у; 9) = / р(х; 9)Ых. Для обоих зтих случаев функция правдоподобия определяется как Ь(9; Хп..., Х„) = Пр(Х",9).
,/ 1 Функция правдоподобия звлзетсз функцией аргумента В и имеет смысл вероятности наблюдать то, что фактически наблкцается. Посюльку, как правило, происходят события, вероятность юторых велика, то пршщип наябольшего правдоподобия сводится к следующим рассуждениям. Если мы наблюдаем выборку Х1,..., Х„, то собьпне, результатом юторого является выборка, имеет бслыпую вероятность.
Стало быль, наиболее правдоподобным значением параметра В является то, при ютором зта вероятность максимальна. Таким образом, искать прибляжение 9 к неизвестному "истинному'* значению параметра В следует, исходя из условия 1.(9; Х,,..., Х„) > 1,(В; Х,,..., Х„) для всех возможных значений параметра 9. Злдлчл 4.1.1. Пусть имеется выборка Хп..., Х„из совокупностя с нормальным распределением с параметрами ги н единица, то есть Р(Х1 <х)) = Ф(х — ид, -оо < х < оо, 2.4. Меыооы оленнеанил нелеееотных лараыетрое 150 причем неизвестный параметр л! может принимать толью целые значе- ния. Найти наиболее правдоподобное значение параметра т. Функция правдоподобия для этой задачи имеет вид (Х лз)2 2 л — — ~~! (Х.
— т) 2, /=1 1 )~/з ехр 1 ~л (Х лз)2~ р+ ~~=1(х/ — 0 + 1))') л л (Х вЂ” !л) — ~(Х/ — (л! + 1)) /=1 /=1 л л л ~~1 Х3-2л1~~ Х/+ив!з — ~),Х/з 1) — 2(в! + 1) ~~1 Х/ — нв! — 2лв! — л 2 / 1 л = ехр л (в!+ ~У) — ~ Х/ /=1 Последнее выражение не меньше единицы то!па и толью то!да, ютда л л !в! + 21) Е Х/ ) О / 1 Наибольшее значение функции правдоподобия будем искать, сравнивая отношение ее значений при соседних значениях в! с единицей.
Имеем Х.(т; Х1,..., Хл) Ь(в! + 1'„Х1,..., Хл) 2.4.2. Метод мамеомое 151 или, что то же самое, ш>Մ— ~. 1 Таким образом, наиболее правдоподобное значение т параметра т равно (Մ— Ц, е Т ((Մ— 1]; Х,,..., Х„) > 1 ([Մ— —,']+ 1; Х1,..., Х„), а если ь([Մ— Ц; Х1,...,Х„) ~ Ь((Մ— 1]+1;Х1,...,Х„), то оно равно (Մ— з] + 1. Здесь символом [х) мы обозначили наибольшее нз всех целых чисел, не превосходящих х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
