Д.П. Костомаров - Методическое пособие для студентов 2 курса (1113836), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Погрешность аппроксимации правой части имеет в узле xi порядок m ,если ψ 2 = O(hm) → 0 при h→ 0Опр. Погрешностью аппроксимации разностной схемы на решении в узле xi(локальной погрешностью) назовем величину ψ , равнуюψ =ψ1-ψ2= (Lu)h - Lh uh - ( fh - ϕh)= ϕh- Lh uh ,здесь использовано, что Lu=f..Опр. Значения локальной погрешности аппроксимации в каждом узле xiобразуют сеточную функцию погрешности аппроксимации ψ i .Обычно требуется оценка погрешности аппроксимации на сетке, т.е. оценкафункции ψ i в некоторой сеточной норме.Опр. Говорят, что погрешность аппроксимации разностной схемыимеет m-ый порядок на сетке, если   ψ =O(hm).Опр. Решение разностной схемы сходится к решению дифференциальногоуравнения с порядком k на сетке, если погрешность решения  zh   =  uh - yh   = O(hk) → 0 при h→ 0.§ 2.

Численное решение задачи Коши2.1. Требуется найти численное решение задачи Коши для ОДУ первогопорядкаНа отрезке [0,T] вводим разностную сетку ω τ = { tn = nτ , n=0,...,N, τ =T/N }и сеточнуюфункцию yn = y(tn).2.2. Метод ЭйлераЯвный метод Эйлера.Погрешность аппроксимации явного метода Эйлера ψ = O(τ ) - первогопорядка( ψ 1 = O(τ ), ψ 2 = 0 ).2.3. Одним из способов повышения порядка сходимости разностных схем дляОДУ является использование методов Рунге-Кутта. Общий вид схем Рунге-Кутта для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка имеет следующий :Величины pk и αkвыбираются из соображений аппроксимации.Метод Рунге - Кутта второго порядкаВеличины p1, p2 , α определяются из условия второго порядка аппроксимации,для данной схемы p1 = (2 α -1)/ α , p2 = 1/2 α .Метод Рунге- Кутта второго порядка можно записать в другом видеУсловие второго порядка аппроксимации (1-σ )α =0.5.На практике широко распространен Метод Рунге - Кутта четвертогопорядка :Данная схема имеет четвертый порядок аппроксимации.2.4.Другую возможность для повышения порядка сходимости разностных схем длярешения ОДУ предоставляют Методы Адамса.В методах Адамса коэффициенты bi находятся из условий наивысшего дляданного p порядка погрешности аппроксимации.Методы Адамса являются многошаговыми и являются разновидностью p шаговых методов.

P-шаговый метод может быть записан в следующем общемвиде:P- шаговому методу Адамса соответствует набор коэффициентов a i видаa0 =1, a1 = -1, a2 = ... = ap=0Явный двухшаговый метод Адамса.Погрешность аппроксимации имеет второй порядок. Для нахождения y1 (совторым порядком) используется обычно схема Рунге-Кутта второго порядка.Неявный двухшаговый метод Адамса.Погрешность аппроксимации имеет третий порядок . Для начала решениязадачи Коши для ОДУ первые p шагов нужно сделать с помощью какого-либодругого метода, например, метода Рунге - Кутта.Литература.[1] А.А. Самарский.

Введение в численные методы. Москва: Наука, 1987.[2] А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. Москва: Наука, 1989.[3] А.Н.Тихонов, Д.П.Костомаров. Вводные лекции по прикладной математике.Москва: Наука, 1984..

Характеристики

Список файлов книги