Лекции ВМиК. Численные методы. [Замок Дракона] (1113826), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Погрешность аппроксимации правой части имеет в узле xi порядок m , если ψ2= O(hm) − 0 при h− 0Опр. Погрешностью аппроксимации разностной схемы на решении в узле xi (локальной погрешностью) назовем величину ψ , равнуюhttp://www.ergeal.ru/archive/cs/chm/ (5 of 9) [23.01.2009 13:58:51]Лекции ВМиК. Численные методы. [Замок Дракона]ψ=ψ1-ψ2= (Lu)h - Lh uh - ( fh - ϕh)= ϕh- Lh uh ,здесь использовано, что Lu=f..Опр. Значения локальной погрешности аппроксимации в каждом узле xi образуют сеточную функцию погрешности аппроксимации ψ i .Обычно требуется оценка погрешности аппроксимации на сетке, т.е. оценка функции ψ i в некоторой сеточной норме.Опр.

Говорят, что погрешность аппроксимации разностной схемы имеет m-ый порядок на сетке, если ч к ψ ч к = O(hm).Опр. Решение разностной схемы сходится к решению дифференциального уравнения с порядком k на сетке, если погрешность решенияч к zh ч к =ч ace=Symbol>к uh - yh ч к = O(hk) − 0 при h− 0.§ 2.Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)Требуется найти численное решение задачи Коши для ОДУ первого порядкаНа отрезке [0,T] вводим разностную сетку wt= { tn = nτ , n=0,...,N, τ =T/N } и сеточную функцию yn = y(tn).Метод Эйлера1.Явный метод Эйлера.Погрешность аппроксимации явного метода Эйлера ψ = O(τ ) - первого порядка ( ψ1= O(τ ), ψ2= 0 ).Одним из способов повышения порядка сходимости разностных схем для ОДУ является использование методов Рунге-Кутта.Общий вид схем Рунге -Кутта для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка имеет следующий :Величины pk и αkвыбираются из соображений аппроксимации.Метод Рунге - Кутта второго порядкаВеличины p1, p2 , α определяются из условия второго порядка аппроксимации, для данной схемы p1 = (2 α -1)/ α , p2 = 1/2 α .http://www.ergeal.ru/archive/cs/chm/ (6 of 9) [23.01.2009 13:58:51]Лекции ВМиК.

Численные методы. [Замок Дракона]Метод Рунге- Кутта второго порядка можно записать в другом видеУсловие второго порядка аппроксимации (1-σ )α =0.5.На практике широко распространен Метод Рунге - Кутта четвертого порядка :Данная схема имеет четвертый порядок аппроксимации.Другую возможность для повышения порядка сходимости разностных схем для решения ОДУ предоставляют Методы Адамса.В методах Адамса коэффициенты bi находятся из условий наивысшего для данного p порядка погрешности аппроксимации.Методы Адамса являются многошаговыми и являются разновидностью p - шаговых методов. P-шаговый метод может быть записанв следующем общем виде:P- шаговому методу Адамса соответствует набор коэффициентов a i видаa0 =1, a1 = -1, a2 = ...

= ap=0Явный двухшаговый метод Адамса.Погрешность аппроксимации имеет второй порядок. Для нахождения y1 (со вторым порядком) используется обычно схема РунгеКутта второго порядка.http://www.ergeal.ru/archive/cs/chm/ (7 of 9) [23.01.2009 13:58:51]Лекции ВМиК. Численные методы. [Замок Дракона]Неявный двухшаговый метод Адамса.Погрешность аппроксимации имеет третий порядок . Для начала решения задачи Коши для ОДУ первые p шагов нужно сделатьс помощью какого-либо другого метода, например, метода Рунге - Кутта.§ 3. Разностная схема для решения краевой задачи второго порядкаРассмотрим задачу для уравнения второго порядка с краевыми условиями первого рода.Разностная аппроксимация второй производной на равномерной сетке ωhпростейшего вида имеет второй порядок аппроксимации:Тем самым разностная схема второго порядка аппроксимации для краевой задачи с краевыми условиями первого рода имеет вид:Данная разностная схема может быть решена при помощи метода прогонки, который устойчив при q>0.

Для примененияметода прогонки разностную схему удобно переписать в видеНа практике часто встречается задача с краевыми условиями первого и второго рода:Разностная схема аппроксимирующая краевую задачу с краевым условием второго рода требует специальной аппроксимациипервой производной в краевом условии со вторым порядком аппроксимации:При аппроксимации первой производной использован тот факт, что исходное дифференциальное уравнение справедливо и в точкеx=1.

Решение данной разностной схемы может быть получено с помощью метода прогонки, для чего удобно записать разностную схемув виде:http://www.ergeal.ru/archive/cs/chm/ (8 of 9) [23.01.2009 13:58:51]Лекции ВМиК. Численные методы. [Замок Дракона]§ 4. Разностная задача на собственные значенияДифференциальная задача Штурма-ЛиувилляЧисла λ и соответствующие функции u(x)ƒ 0, удовлетворяющие поставленной краевой задаче называются собственными числамии собственными функциями соответственно.

Для данной задачи.Заметим, что функции um(x) являются линейно независимыми и взаимно ортогональными и могут быть нормированы.Для разностной задачи на собственные значениясоответствующие собственные функции и собственные значения разностной задачи имеют видЗаметим, что функции ym(x) являются линейно независимыми и взаимно ортогональными, как и в дифференциальном случае, имогут быть нормированыhttp://www.ergeal.ru/archive/cs/chm/ (9 of 9) [23.01.2009 13:58:51].

Характеристики

Список файлов лекций