Задания для студентов (1113139)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЗАДАЧИ 2009 ГОДА1. L — линейное подпространство матриц из Cn×n с двумя свойствами: (1) AB = BA для всехA, B ∈ L; (2) A2 = 0 для всех A ∈ L. Докажите, что dim L ≤ n2 /4.2. Дана матрица A ∈ Rm×n . Доказать замкнутость множества{y = Ax, x = [x1 , . . . , xn ]⊤ , x1 , . . . , xn ≥ 0}.3. Пусть Mp — множество всех комплексных n × n-матриц A таких, что ||Ax||p = ||x||p для любогоx ∈ Cn . Доказать, что для всех p 6= 2 множество Mp одно и то же и совпадает с множествомматриц вида DP , где D — диагональная матрица с элементами |dii | = 1, а P — матрица перестановки.4. Докажите, что функционал f (p) = p′ (0) (значение производной многочлена p(t) при t = 0) налинейном пространстве многочленов p(t) с нормой ||p|| = max |p(t)| не будет ограниченным.−1≤t≤1mn5.

Даны компактные выпуклые множества L ⊂ R , M ⊂ R и матрица A ∈ Rm×n . Доказать, чтоmax min y ⊤ Ax = minm maxn y ⊤ Ax.x∈Rn y∈Rmy∈Rx∈R6. Пусть a1 , . . . , am ∈ Rn . Докажите, что пересечение полупространств⊤a⊤1 x ≤ c1 , . . . , am x ≤ cmпусто тогда и только тогда, когда для некоторых α1 , . . . , αm ≥ 0 выполняются равенстваα1 a1 + . . . + αm am = 0,α1 c1 + . . . + αm cm = −1.7.

Пусть A = [aij ] и D = [dij ] — комплексные матрицы порядка n, при этом D — диагональнаяматрица с элементами dii = aii при 1 ≤ i ≤ n. Докажите, что если ||A||2 = ||D||2 , то нулевыхэлементов в матрице A не меньше, чем 2n − 2.8. Пусть L — нижняя треугольная матрица с нижней треугольной частью, взятой из матрицыA ∈ Cn×n . Докажите, что||L||2 ≤ log2 2n ||A||2 .9.

Докажите, что матрица порядка n > 1 имеет конечное число инвариантных подпространствв том и только том случае, когда каждому собственному значению соответствует ровно однажорданова клетка.10. Матрицы A и B порядка n коммутируют.Докажите,что существуют невырожденные матрицыIk 0X 0P и Q такие, что P AQ =и P BQ =, где блоки Ik , X и N, Y имеют порядок k0 N0 Yи n − k, соответственно, и, кроме того, матрица Ik единичная, а N нильпотентная.11.

Пусть A = A⊤ ∈ Cn×n . Докажите, что матрица A обладает сингулярным разложением A =V ΣU ∗ с дополнительным условием U ∗ = V ⊤ .12. Пусть σ1 ≥ ... ≥ σn — сингулярные числа n × n-матрицы1 21 2.. ..A=...1 21Докажите, что 1 ≤ σn−1 ≤ ... ≤ σ1 ≤ 3 и, кроме того, 0 < σn < 2−n+1 .13. Известно, что A = A∗ > B = B ∗ ≥ 0. Докажите, что A1/2 > B 1/2 ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы