Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тогда:x̃ ∈ KN1 , Q̂x̃ = θ̃2 , x = h−1e x̃;x̃ ∈ ker(Q̂), x = h−1e x̃;x ∈ h−1ker(Q̂) .eПусть x ∈ h−1ker(Q̂) . Тогда существует столбец x̃, удовлетворяющий условиям:ex̃ ∈ ker(Q̂), x = h−1e x̃. Следовательно:x̃ ∈ KN1 , Q̂x̃ = θ̃2 , x = h−1e x̃;x ∈ L1 , Q̂(he x) = θ̃2 ;x ∈ L1 , h−1Q̂(hx)= θ2 ;ef3.2. Матрица линейного оператора23x ∈ L1 , (h−1f Q̂he )x = θ2 ;x ∈ L1 , Ax = θ2 ;x ∈ ker(A).Пусть N1 = Nчто ker(A) = {θ1 } ⇐⇒ det(Q) 6= 0.

Пусть ker(A) = {θ1 }. 2 . Докажем,Тогда: ker(Q̂) = he ker(A) = {θ̃1 }. Следовательно, det(Q) 6= 0.ker(Q̂) = {θ1 }.Пусть det(Q) 6= 0. Тогда ker(Q̂) = {θ̃1 }. Следовательно: ker(A) = h−1e2. Очевидно:h h ii−1−1N1R(A) = A[L1 ] = (h−1Q̂h)[L]=h=hQ̂h[L]= h−1Q̂KL(Q1 , . . . , QN1 ) =e1e 1ffff−1= L(h−1f Q1 , . . . , hf QN1 ).h−1fТак как KN2 ≈ L2 , то:= dim L(Q1 , . . . , QN1 ) = rank(Q).rank(A) = dim R(A) = dim h−1L(Q,...,Q)1N1fЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}, N ∈ N. Обозначим:  01 .. 0  e1 =  ..  , . . . , eN =  .  . 0.10Тогда e — базис пространства KN .

Будем говорить, что e — простейший базис пространстваKN .Пусть x ∈ KN . Тогда: [x]j (e) = xj при j = 1, N . Следовательно, [x](e) = x. Тогдаhe x = x. Следовательно, he = I (здесь I — единичная функция на множестве KN ).Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈N, dim(L1 ) = N1 ; L2 — линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 ; e —базис пространства L1 , f — базис пространства L2 .1. Пусть: A, B ∈ Lin(L1 , L2 ), [A](f, e) = [B](f, e). Тогда A = B.2.

Пусть Q ∈ KN2 ×N1 . Существует оператор A, удовлетворяющий условиям: A ∈Lin(L1 , L2 ), [A](f, e) = Q.3. Пусть A, B ∈ Lin(L1 , L2 ). Тогда [A + B](f, e) = [A](f, e) + [B](f, e).4. Пусть: λ ∈ K, A ∈ Lin(L1 , L2 ). Тогда [λA](f, e) = λ[A](f, e).Доказательство.1. Пусть x ∈ L1 . Тогда:Ax = [A]ji (f, e)[x]i (e)fj = [B]ji (f, e)[x]i (e)fj = Bx.2.

Обозначим: Ax = Qji [x]i (e)fj при x ∈ L1 . Тогда: A ∈ Lin(L1 , L2 ), [A](e, f ) = Q.3. Пусть i = 1, N1 . Очевидно, (A + B)ei = [A + B]ji (f, e)fj . С другой стороны:(A + B)ei = Aei + Bei = [A]ji (f, e)fj + [B]ji (f, e)fj = [A]ji (f, e) + [B]ji (f, e) fj =j= [A](f, e) + [B](f, e) i fj .jТогда: [A + B]ji (f, e) = [A](f, e) + [B](f, e) i при j = 1, N2 .243. Общие сведения о линейных операторах. Матрица линейного оператора4. Пусть i = 1, N1 . Очевидно, (λA)ei = [λA]ji (f, e)fj .

С другой стороны:j(λA)ei = λA(ei ) = λ [A]ji (f, e)fj = λ[A]ji (f, e) fj = λ[A](f, e) i fj .jТогда: [λA]ji (f, e) = λ[A](f, e) i при j = 1, N2 .Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈ N,dim(L1 ) = N1 ; L2 — линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 .Пусть: e0 — базис пространства L1 , f0 — базис пространства L2 . Обозначим: ϕ(A) =[A](f0 , e0 ) при A ∈ Lin(L1 , L2 ). Очевидно, ϕ— изоморфизм пространства Lin(L1 , L2 ) напространство KN2 ×N1 . Тогда: dim Lin(L1 , L2 ) = dim(KN2 ×N1 ) = N1 N2 .Утверждение.

Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈N, dim(L1 ) = N1 ; L2 — линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 ;L3 — линейное пространство над полем K, N3 ∈ N, dim(L3 ) = N3 ; A ∈ Lin(L1 , L2 ),B ∈ Lin(L2 , L3 ), e — базис пространства L1 , f — базис пространства L2 , g — базиспространства L3 . Тогда [BA](g, e) = [B](g, f )[A](f, e).Доказательство. Пусть i = 1, N1 . Очевидно, (BA)ei = [BA]ki (g, e)gk .

С другой стороны:(BA)ei = B(Aei ) = B [A]ji (f, e)fj = [A]ji (f, e)B(fj ) = [A]ji (f, e) [B]kj (g, f )gk =k= [B]kj (g, f )[A]ji (f, e) gk = [B](g, f )[A](f, e) i gk .Тогда: [BA]ki (g, e) = [B](g, f )[A](f, e)kiпри k = 1, N3 .Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈N, dim(L1 ) = N1 ; L2 — линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 ; e,e′ — базисы пространства L1 , f , f ′ — базисы пространства L2 .′1. Пусть: A : L1=⇒L2 , A — линейный оператор. Тогда [A]ji′ (f ′ , e′ ) =′αjj (f ′ , f )[A]ji (f, e)αii′ (e, e′ ) при: i′ = 1, N1 , j ′ = 1, N2 ([A](f ′ , e′ ) = α(f ′ , f )[A](f, e)α(e, e′ )).′2.

Пусть: A : L1=⇒L2 , A — полулинейный оператор. Тогда [A]ji′ (f ′ , e′ ) =′αjj (f ′ , f )[A]ji (f, e)αii′ (e, e′ ) при: i′ = 1, N1 , j ′ = 1, N2 ([A](f ′ , e′ ) = α(f ′ , f )[A](f, e)α(e, e′ )).Доказательство.1. Пусть: i′ = 1, N1 , j ′ = 1, N2 . Тогда:h ij ′ ′′′′(f ) = αii′ (e, e′ )[Aei ]j (f ′ ) =[A]ji′ (f ′ , e′ ) = [Ae′i′ ]j (f ′ ) = A αii′ (e, e′ )ei′′= αii′ (e, e′ ) αjj (f ′ , f )[Aei ]j (f ) = αjj (f ′ , f )[A]ji (f, e)αii′ (e, e′ ).2. Пусть: i′ = 1, N1 , j ′ = 1, N2 .

Тогда:h ij ′ ′′j′′ ′′ j′′i′[A]i′ (f , e ) = [Aei′ ] (f ) = A αi′ (e, e )ei(f ) = αii′ (e, e′ )[Aei ]j (f ′ ) =′′= αii′ (e, e′ ) αjj (f ′ , f )[Aei ]j (f ) = αjj (f ′ , f )[A]ji (f, e)αii′ (e, e′ ).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L1 — линейное пространство над полем K, N1 ∈ N,dim(L1 ) = N1 ; L2 — линейное пространство над полем K, N2 ∈ N, dim(L2 ) = N2 ; A ∈Lin(L1 , L2 ).Пусть: e — базис пространства L1 , i = 1, N1 .

Очевидно, [A]i (f, e) f ∈ (T L2 )10 .Пусть: f — базис пространства L2 , j = 1, N2 . Очевидно, [A]j (f, e) e ∈ (T L1 )01 .3.2. Матрица линейного оператора25Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A∈ Lin(L, L).Очевидно, [A](e) e ∈ (T L)11 . Тогда: tr [A](e′ ) = tr [A](e) , det [A](e′ ) = det [A](e)при: e, e′ — базисы пространства L. Выберем базис e0 пространстваL. Обозначим: tr(A) =tr [A](e0 ) , det(A) = det [A](e0 ) . Тогда: tr(A) = tr [A](e) , det(A) = det [A](e) при: e —базис пространства L.264. Собственные значения и собственные векторы линейного оператораЛекция 4.

Собственные значения и собственные векторылинейного оператора4.1. Инвариантные подпространства линейного оператораОпределение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; A ∈ lin(L, L).Будем говорить, что Q — инвариантное подпространство оператора A, если: Q — подпространство пространства L, Q ⊆ D(A), A[Q] ⊆ Q.Замечание.

Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K.1. Пусть: A ∈ lin(L, L), Q — инвариантное подпространство оператора A. Тогда: A|Q ∈lin(L, L), D( A|Q ) = D(A) ∩ Q = Q, R( A|Q ) = A[Q] ⊆ Q. Следовательно, A|Q ∈ Lin(Q, Q).Пусть: A ∈ lin(L, L), Q — подпространство пространства L, A|Q ∈ Lin(Q, Q). Тогда:Q — подпространство пространства L, Q = D( A|Q ) = D(A) ∩ Q ⊆ D(A), A[Q] = R( A|Q ) ⊆Q. Следовательно, Q — инвариантное подпространство оператора A.2. Пусть: A ∈ lin(L, L), r ∈ N, Q1 , . .

. , Qr — инвариантные подпространства оператораA. Тогда Q1 + · · · + Qr — инвариантное подпространство оператора A.Очевидно, Q1 + · · · + Qr — подпространство пространства L. Пусть x ∈ Q1 + · · · + Qr .Тогда существуют векторы x1 , . . . , xr , удовлетворяющие условиям: x1 ∈ Q1 , . . . , xr ∈ Qr ,x = x1 + · · · + xr . Следовательно: x = x1 + · · · + xr ∈ D(A), Ax = A(x1 + · · · + xr ) =Ax1 + · · · + Axr ∈ Q1 + · · · + Qr .3. Пусть A, B ∈ Lin(L, L). Будем говорить, что операторы A, B коммутируют, еслиAB = BA. Обозначим, [A, B] = AB − BA. Будем говорить, что [A, B] — коммутатороператоров A, B.

Очевидно, операторы A, B коммутируют тогда и только тогда, когда[A, B] = Θ.Пусть операторы A, B коммутируют. Тогда ker(B), R(B) — инвариантные подпространства оператора A.Очевидно: ker(B) — подпространство пространства L, ker(B) ⊆ L = D(A). Пустьx ∈ ker(B). Тогда: x ∈ L, Bx = θ.

Следовательно: Ax ∈ L, B(Ax) = A(Bx) = Aθ = θ.Тогда Ax ∈ ker(B).Очевидно: R(B) — подпространство пространства L, R(B) ⊆ L = D(A). Пустьx ∈ R(B). Тогда существует вектор u, удовлетворяющий условиям: u ∈ L, x = Bu. Следовательно: Au ∈ L, Ax = A(Bu) = B(Au). Тогда Ax ∈ R(B).Замечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; A ∈ Lin(L, L), e — базис пространства L, Ã = [A](e), r ∈ N, i1 , . . . , ir = 1, N ,i1 < · · · < ir , Q = L(ei1 , . .

. , eir ).1. Множество Q является инвариантным подпространством оператора A тогда и толькотогда, когда: Ãjik = 0 при: k = 1, r, j = 1, N , j ∈/ {i1 , . . . , ir }.Пусть Q — инвариантное подпространство оператора A. Пусть k = 1, r. Тогда eik ∈ Q./ {i1 , . . . , ir }. СледовательСледовательно, Aeik ∈ Q. Тогда: [Aeik ]j (e) = 0 при: j = 1, N , j ∈jjно: Ãik = [Aeik ] (e) = 0 при: j = 1, N , j ∈/ {i1 , . .

. , ir }.jПусть: Ãik = 0 при: k = 1, r, j = 1, N , j ∈/ {i1 , . . . , ir }. Очевидно: Q — подпространство/пространства L, Q ⊆ L = D(A). Пусть x ∈ Q. Тогда: [x]i (e) = 0 при: i = 1, N , i ∈{i1 , . . . , ir }. Следовательно:Ax =Ãji [x]i (e)ej=r XNXk=1 j=1Ãjik [x]ik (e)ej=r XrXk=1 m=1Ãiim[x]ik (e)eim ∈ Q.k4.2. Собственные подпространства линейного оператора27m2. Пусть Q — инвариантное подпространство оператора A. Тогда: A|Q k (ei1 , . . .

, eir ) =Ãiimпри k, m = 1, r.kr mPПусть k = 1, r. Очевидно, A|Q eik =A|Q k (ei1 , . . . , eir )eim . Так как Q — инвариm=1/ {i1 , . . . , ir }. Тогда:антное подпространство оператора A, то: Ãjik = 0 при: j = 1, N , j ∈A|Q eik = Aeik = Ãjik ej =rXe im .Ãiimkm=1mСледовательно: A|Q k (ei1 , . . . , eir ) = Ãiimпри m = 1, r.k4.2. Собственные подпространства линейного оператораЗамечание. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K; A ∈ lin(L, L).1. Пусть λ ∈ K. Тогда:D(A − λI) = D(A) ∩ D(I) = D(A) ∩ L = D(A).Пусть x ∈ D(A − λI).

Характеристики

Список файлов лекций