Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть: λ ∈ K, x ∈ H, (Â − λI)x = θ; x̃ = he x. Тогда:λ ∈ K, x̃ ∈ KN , [Â](e) − λI˜ x̃ = θ̃; x = h−1e x̃. Следовательно:[Â](e) − λI˜ x̃ = θ̃,[B](e)−1 [A](e) − λI˜ x̃ = θ̃.Пусть e — базис пространстваH. Пусть: λ ∈ K, x ∈ H, (Â − λI)x = θ; x̃ = he x. Тогда:N˜λ ∈ K, x̃ ∈ K , [Â](e) − λI x̃ = θ̃; x = h−1e x̃. Следовательно:[Â](e) − λI˜ x̃ = θ̃, ˜[B](e) [Â](e) − λI x̃ = [B](e)θ̃,[A](e) − λ[B](e) x̃ = θ̃.8411.
Кривые и поверхности второго порядкаЛекция 11. Кривые и поверхности второго порядка11.1. Аффинное пространствоОпределение (аффинное пространство). Пусть: M — множество; K ∈ {C, R, Q}, L — ли→нейное пространство над полем K; F : M × M =⇒ L. Далее обычно будем писать −p−1 p2вместо F (p1 , p2 ).Пусть справедливы утверждения:1. M 6= ∅;→ −−→ −−→2. −p−1 p2 + p2 p3 = p1 p3 при p1 , p2 , p3 ∈ M ;3. ∀p0 ∈ M ∀x ∈ L∃!p ∈ M −p→0p = x .Будем говорить, что (M, L, F ) — аффинное пространство над полем K. Будем говорить, что M — носитель пространства (M, L, F ). Будем говорить, что L — присоединённое линейное пространство к аффинному пространству (M, L, F ).
Будем говорить, что p —точка пространства (M, L, F ), если p ∈ M . Будем говорить, что x — вектор пространства~ = L.(M, L, F ), если x ∈ L. Пусть Q = (M, L, F ). Обозначим, QВнимание! Далее обычно не будем различать множество M и пространство(M, L, F ).Замечание (операция откладывания вектора от точки). Пусть: K ∈ {C, R, Q}; Q — аффинное пространство над полем K.~ По определению аффинного пространства, существует единПусть: p0 ∈ Q, x ∈ Q.ственная точка p, удовлетворяющая условиям: p ∈ Q, −p→0 p = x. Обозначим, p0 ⊕ x = p.Далее часто будем писать p0 + x вместо p0 ⊕ x.~p→Пусть p0 ∈ Q. Обозначим: ϕp0 (p) = −0 p при p ∈ Q. Очевидно, ϕp0 : Q =⇒ Q.
Так как−→~~∀x ∈ Q∃!p∈ Q(p0 p = x), то: ϕp0 — обратимая функция, D(ϕp0 ) = Q, R(ϕp0 ) = Q.−−−−−−→~ Очевидно, ϕp0 ϕ−1 (x) = x. Тогда p0 ϕ−1 (x) = x. С другойПусть: p0 ∈ Q, x ∈ Q.p0p0−−−−−−→−1стороны, p0 (p0 ⊕ x) = x. Тогда ϕp0 (x) = p0 ⊕ x.−→Пусть p0 , p ∈ Q. Очевидно, ϕ−1p0 ϕp0 (p) = p.
Тогда p0 ⊕ p0 p = p.Замечание (аффинная система координат в аффинном пространстве). Пусть: K ∈{C, R, Q}; Q — аффинное пространство над полем K, N ∈ N, dim(Q) = N .−→Пусть O ∈ Q. Пусть p ∈ Q. Будем говорить, что Op — радиус-вектор точки p относительно точки O.−→Пусть: O ∈ Q, e — базис пространства Q. Обозначим: hO,e (p) = [Op](e) при p ∈ Q.kОчевидно: hO,e — обратимая функция, D(hO,e ) = Q, R(hO,e ) = KN ; h−1O,e (x) = O + x ek приx ∈ KN . Будем говорить, что: hO,e — аффинная координатная карта (аффинная системакоординат) в пространстве Q, O — начало отсчёта координатной карты hO,e , e — базискоординатной карты hO,e .
Пусть p ∈ Q. Будем говорить, что h1O,e (p), . . . , hrO,e (p) — коорди−→ mmнаты точки p в координатной карте hO,e . Очевидно: hmO,e (O) = [OO] (e) = [θ] (e) = 0 при−−−−−−−→mm = 1, N ; hm(e) = [ek ]m (e) = δkm при k, m = 1, N .O,e (O + ek ) = O(O + ek )Пусть: O, O′ ∈ Q, e, e′ — базисы пространства Q; p ∈ Q, x = hO,e (p), x̃ = hO′ ,e′ (p).Тогда:−→−−→−→−−→−−−→ −→→x = Op (e) = OO′ + O′ p (e) = OO′ (e) + O′ p (e) = OO′ (e) + α(e, e′ ) O′ p (e′ ) == hO,e (O′ ) + α(e, e′ )x̃.11.2. Кривые и поверхности второго порядка8511.2.
Кривые и поверхности второго порядкаЗамечание. Пусть: Q — аффинное пространство над полем R, N ∈ N, dim(Q) = N .Будем говорить, что F — полином степени не выше 2 в пространстве Q, если существуют объекты O, e, A, B, C, удовлетворяющие условиям: O ∈ Q, e — базис пространства Q,A ∈ RN ×N , A — симметричная матрица, B ∈ RN (точнее B ∈ R1×N ), C ∈ R,mF (p) = Ak,m hkO,e (p)hmO,e (p) + 2Bm hO,e (p) + C, p ∈ Q.Будем говорить, что F — полином степени 2 в пространстве Q, если существуют объекты O, e, A, B, C, удовлетворяющие условиям: O ∈ Q, e — базис пространства Q, A ∈ RN ×N ,A — симметричная матрица, A 6= Θ̃, B ∈ RN , C ∈ R,mF (p) = Ak,m hkO,e (p)hmO,e (p) + 2Bm hO,e (p) + C, p ∈ Q.Пусть F — полином степени не выше 2 в пространстве Q. Очевидно, F : Q =⇒ R.Пусть: O ∈ Q, e — базис пространства Q. Будем говорить, что A, B, C — коэффициентыполинома F в координатной карте hO,e , если: A ∈ RN ×N , A — симметричная матрица,B ∈ RN , C ∈ R,mF (p) = Ak,m hkO,e (p)hmO,e (p) + 2Bm hO,e (p) + C, p ∈ Q.Будем говорить, что σ — поверхность второго порядка в пространстве Q, если существует функция F , удовлетворяющая условиям: F — полином степени 2 в пространствеQ, σ = ker(F ).Пусть σ — поверхность второго порядка в пространстве Q.
Очевидно, σ ⊆ Q.Определение. Пусть: Q — аффинное пространство над полем R, dim(Q) = 2.Будем говорить, что l — кривая второго порядка в пространстве Q, если существуетфункция F , удовлетворяющая условиям: F — полином степени 2 в пространстве Q, l =ker(F ).Утверждение.
Пусть: N ∈ N; A1 , A2 ∈ RN ×N , A1 , A2 — симметричные матрицы, B1 ,B2 ∈ RN , C1 , C2 ∈ R; (A1 )k,m xk xm + 2(B1 )m xm + C1 = (A2 )k,m xk xm + 2(B2 )m xm + C2 приx ∈ RN . Тогда: A1 = A2 , B1 = B2 , C1 = C2 .Доказательство. Очевидно:(A1 )k,m xk xm + 2(B1 )m xm + C1 = (A2 )k,m xk xm + 2(B2 )m xm + C2 , x ∈ RN ;(A1 )k,m xk xm + 2(B1 )m xm + C1 = (A2 )k,m xk xm + 2(B2 )m xm + C2 , x = θ̃;C1 = C2 .Тогда: (A1 )k,m xk xm + 2(B1 )m xm = (A2 )k,m xk xm + 2(B2 )m xm при x ∈ RN .Очевидно:(A1 )k,m xk xm + 2(B1 )m xm = (A2 )k,m xk xm + 2(B2 )m xm , x ∈ RN ;(A1 )k,m (tx)k (tx)m + 2(B1 )m (tx)m = (A2 )k,m (tx)k (tx)m + 2(B2 )m (tx)m ,t ∈ R, t 6= 0, x ∈ RN ;t(A1 )k,m xk xm + 2(B1 )m xm = t(A2 )k,m xk xm + 2(B2 )m xm , t ∈ R, t 6= 0, x ∈ RN ;lim t(A1 )k,m xk xm + 2(B1 )m xm = lim t(A2 )k,m xk xm + 2(B2 )m xm , x ∈ RN ;t→0t→08611.
Кривые и поверхности второго порядка2(B1 )m xm = 2(B2 )m xm , x ∈ RN ;B1 = B2 .Тогда: (A1 )k,m xk xm = (A2 )k,m xk xm при x ∈ RN . Так как A1 , A2 — симметричные матрицы,то A1 = A2 .Замечание. Пусть: Q — аффинное пространство над полем R, N ∈ N, dim(Q) = N .1. Пусть: O, O′ ∈ Q, e, e′ — базисы пространства Q. Обозначим:α(e, e′ ) hO,e (O′ )′ ′.β(O, e; O , e ) =0···01Очевидно: β(O, e; O′ , e′ ) ∈ R(N +1)×(N +1) , det β(O, e; O′ , e′ )= det α(e, e′ )6= 0;′ ′′′˜β(O, e; O , e ) = I тогда и только тогда, когда: O = O , e = e .Пусть: O, O′ , O′′ ∈ Q, e, e′ , e′′ — базисы пространства Q. Докажем, чтоβ(O, e; O′ , e′ )β(O′ , e′ ; O′′ , e′′ ) = β(O, e; O′′ , e′′ ).Пусть k, k ′′ = 1, N . Тогда:Xk′βkk′ (O, e; O′ , e′ )βkk′′ (O′ , e′ ; O′′ , e′′ ) =β(O, e; O′ , e′ )β(O′ , e′ ; O′′ , e′′ ) k′′ =k′ =1,N +1X=k′k′′N +1′ ′′′ ′′k′ ′βkk′ (O, e; O′ , e′ )β (O′ , e′ ; O′′ , e′′ ) + βN+1 (O, e; O , e )βk′′ (O , e ; O , e ) =k′ =1,N′= αkk′ (e, e′ )αkk′′ (e′ , e′′ ) = αkk′′ (e, e′′ ) = βkk′′ (O, e; O′′ , e′′ ).Пусть k ′′ = 1, N .
Тогда:β(O, e; O′ , e′ )β(O′ , e′ ; O′′ , e′′ )=X′N +1k′′=X′βkN′ +1 (O, e; O′ , e′ )βkk′′ (O′ , e′ ; O′′ , e′′ ) =k′ =1,N +1N +1N +1′ ′′ ′′′ ′′βkN′ +1 (O, e; O′ , e′ )βkk′′ (O′ , e′ ; O′′ , e′′ ) + βN+1 (O, e; O , e )βk′′ (O , e ; O , e ) = 0 =k′ =1,N= βkN′′+1 (O, e; O′′ , e′′ ).Пусть k = 1, N . Тогда:β(O, e; O′ , e′ )β(O′ , e′ ; O′′ , e′′ )=Xk′kN +1=X′′ ′′′ ′′kβkk′ (O, e; O′ , e′ )βN+1 (O , e ; O , e ) =k′ =1,N +1N +1k′ ′′ ′′′ ′′βkk′ (O, e; O′ , e′ )βN +1 (O′ , e′ ; O′′ , e′′ ) + βN+1 (O, e; O , e )βN +1 (O , e ; O , e ) =k′ =1,N′k′′ ′′= αkk′ (e, e′ )hkO′ ,e′ (O′′ ) + hkO,e (O′ ) = hkO,e (O′′ ) = βN+1 (O, e; O , e ).Очевидно:β(O, e; O′ , e′ )β(O′ , e′ ; O′′ , e′′ )=X′N +1N +1=X′k′ ′′′ ′′βkN′ +1 (O, e; O′ , e′ )βN+1 (O , e ; O , e ) =k′ =1,N +1N +1N +1k′ ′′′ ′′′ ′′ ′′′ ′′βkN′ +1 (O, e; O′ , e′ )βN+1 (O , e ; O , e ) + βN +1 (O, e; O , e )βN +1 (O , e ; O , e ) = 1 =k′ =1,NN +1′′ ′′= βN+1 (O, e; O , e ).Пусть: O, O′ ∈ Q, e, e′ — базисы пространства Q.
Тогда: β(O, e; O′ , e′ )β(O′ , e′ ; O, e) =˜ Следовательно, β(O, e; O′ , e′ )−1 = β(O′ , e′ ; O, e).β(O, e; O, e) = I.11.2. Кривые и поверхности второго порядка872. Пусть: O ∈ Q, e — базис пространства Q. Обозначим:hO,e (p)ψO,e (p) =, p ∈ Q.1Очевидно, ψO,e : Q =⇒ RN +1 .Пусть: O, O′ ∈ Q, e, e′ — базисы пространства Q; p ∈ Q. Докажем, что ψO,e (p) =β(O, e; O′ , e′ )ψO′ ,e′ (p).Пусть k = 1, N .
Тогда:Xk′kβkk′ (O, e; O′ , e′ )ψOψO,e(p) =′ ,e′ (p) =k′ =1,N +1=Xβkk′ (O, e; O′ , e′ )ψk′O′ ,e′′N +1k′′ kkk′ ′(p) + βN+1 (O, e; O , e )ψO′ ,e′ (p) = αk′ (e, e )hO′ ,e′ (p) + hO,e (O ) =k′ =1,Nk= hkO,e (p) = ψO,e(p).Очевидно:N +1ψO,e(p) =X′kβkN′ +1 (O, e; O′ , e′ )ψO′ ,e′ (p) =k′ =1,N +1=X′N +1N +1N +1k′ ′βkN′ +1 (O, e; O′ , e′ )ψO′ ,e′ (p) + βN +1 (O, e; O , e )ψO ′ ,e′ (p) = 1 = ψO,e (p).k′ =1,N3. Пусть: A ∈ RN ×N , A — симметричная матрица, B ∈ RN , C ∈ R. Обозначим:A BTD=.B CТогда: D ∈ R(N +1)×(N +1) , D — симметричная матрица, Dk,m = Ak,m при k, m = 1, N ;DN +1,m = Bm при m = 1, N ; Dk,N +1 = Bk при k = 1, N ; DN +1,N +1 = C.
Пусть: O ∈ Q, e —базис пространства Q; p ∈ Q. Тогда:XXXN +1kmkmmDk,m ψO,e(p)ψO,e(p) =Dk,m ψO,e(p)ψO,e(p) +DN +1,m ψO,e(p)ψO,e(p) +k,m=1,N +1k,m=1,N+Xm=1,NN +1N +1N +1kDk,N +1 ψO,e(p)ψO,e(p) + DN +1,N +1 ψO,e(p)ψO,e(p) =k=1,Nm= Ak,m hkO,e (p)hmO,e (p) + 2Bm hO,e (p) + C.Пусть: D ∈ R(N +1)×(N +1) , D — симметричная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
