Бадьин. Линейная алгебра (лекции) (1113126), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Тогда: A — полуторалинейная форма в пространстве L, [A](e) = Ã.Доказательство.1. Пусть x, y ∈ L. Тогда:A(x, y) = A [x]k (e)ek , [y]m (e)em = [x]k (e)[y]m (e)A(ek , em ) = [A]k,m (e)[x]k (e)[y]m (e).2. Очевидно, A — полуторалинейная форма в пространстве L.
Пусть k, m = 1, N . Тогда:j[A]k,m (e) = A(ek , em ) = Ãi,j [ek ]i (e)[em ]j (e) = Ãi,j δki δm= Ãk,m .3. Пусть x, y ∈ L. Тогда:A(x, y) = A [x]k (e)ek , [y]m (e)em = [x]k (e)[y]m (e)A(ek , em ) = [A]k,m (e)[x]k (e)[y]m (e).4. Очевидно, A — полуторалинейная форма в пространстве L. Пусть k, m = 1, N . Тогда:jj[A]k,m (e) = A(ek , em ) = Ãi,j [ek ]i (e)[em ]j (e) = Ãi,j δki δm= Ãi,j δki δm= Ãk,m .6.2. Билинейные и полуторалинейные формы51Замечание. Пусть:K ∈ {C, R, Q}; N ∈ N, Ã ∈ KN ×N . Обозначим: ∆0 (Ã) = 1, ∆k (Ã) =det {Ãi,j }i,j=1,k при k = 1, N .
Будем говорить, что ∆1 (Ã), . . . , ∆N (Ã) — угловые минорыматрицы Ã.Будем говорить, что à — симметричная матрица, если ÃT = Ã. Будем говорить, чтоà — антисимметричная матрица, если ÃT = −Ã.Будем говорить, что à — эрмитова матрица, если ÃT = Ã. Будем говорить, что à —антиэрмитова матрица, если ÃT = −Ã.˜ Пусть à — ортогоБудем говорить, что à — ортогональная матрица, если ÃÃT = I.−1Tнальная матрица. Тогда: det(Ã) 6= 0, à = à . Пусть: det(Ã) 6= 0, Ã−1 = ÃT .
Тогда Ã —ортогональная матрица.˜ Пусть Ã — унитарнаяБудем говорить, что Ã — унитарная матрица, если ÃÃT = I.матрица. Тогда: det(Ã) 6= 0, Ã−1 = ÃT . Пусть: det(Ã) 6= 0, Ã−1 = ÃT . Тогда Ã — унитарнаяматрица. Пусть Ã — эрмитова матрица. Очевидно: Ãk,k = Ãk,k , ∆k (Ã) = ∆k ÃT = ∆k (Ã) приk = 1, N . Тогда: Ãk,k , ∆k (Ã) ∈ R при k = 1, N .Замечание.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; e — базис пространства L.Пусть A — симметричная билинейная форма в пространстве L. Очевидно: [A](e) —симметричная матрица, A(x, y) = [A]k,m (e)[x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L.Пусть: Ã ∈ KN ×N , Ã — симметричная матрица, A(x, y) = Ãk,m [x]k (e)[y]m (e) при x,y ∈ L. Очевидно: A — симметричная билинейная форма в пространстве L, [A](e) = Ã.Пусть A — эрмитова полуторалинейная форма в пространстве L. Очевидно: [A](e) —эрмитова матрица, A(x, y) = [A]k,m (e)[x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L.Пусть: Ã ∈ KN ×N , Ã — эрмитова матрица, A(x, y) = Ãk,m [x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L.Очевидно: A — эрмитова полуторалинейная форма в пространстве L, [A](e) = Ã.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; e, e′ — базисы пространства L.1.
Пусть A — билинейная форма в пространстве L. Тогда: [A]k′ ,m′ (e′ ) =′′′m′′ T′[A]k,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ) при k , m = 1, N ([A](e ) = α(e, e ) [A](e)α(e, e )).2. Пусть A — полуторалинейная форма в пространстве L. Тогда: [A]k′ ,m′ (e′ ) =m′′′′′′ T[A]k,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ) при k , m = 1, N ([A](e ) = α(e, e ) [A](e)α(e, e )).Доказательство.1. Пусть k ′ , m′ = 1, N . Тогда:′m′m= αkk′ (e, e′ )αm[A]k′ ,m′ (e′ ) = A(e′k′ , e′m′ ) = A αkk′ (e, e′ )ek , αm′ (e, e )A(ek , em ) =′ (e, e )em′m= [A]k,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ).2. Пусть k ′ , m′ = 1, N . Тогда:′′mm= αkk′ (e, e′ )αm[A]k′ ,m′ (e′ ) = A(e′k′ , e′m′ ) = A αkk′ (e, e′ )ek , αm′ (e, e )em′ (e, e )A(ek , em ) =m′= [A]k,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ).Определение.
Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; Q — квадратичная форма в пространстве L, e — базис пространства L.Выберем функцию A, удовлетворяющую условиям: A — симметричная билинейная форма526. Линейные, билинейные и квадратичные формыв пространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L. Обозначим, [Q](e) = [A](e).
Будем говорить,что [Q](e) — матрица квадратичной формы Q в базисе e.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈ N,dim(L) = N ; e — базис пространства L.1. Пусть Q — квадратичная форма в пространстве L.
Тогда: [Q](e) — симметричнаяматрица, Q(x) = [Q]k,m (e)[x]k (e)[x]m (e) при x ∈ L.2. Пусть: Q̃ ∈ KN ×N , Q̃ — симметричная матрица, Q(x) = Q̃k,m [x]k (e)[x]m (e) приx ∈ L. Тогда: Q — квадратичная форма в пространстве L, [Q](e) = Q̃.Доказательство.1. Выберем функцию A, удовлетворяющую условиям: A — симметричная билинейнаяформа в пространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L. Тогда: [A](e) — симметричная матрица,A(x, y) = [A]k,m (e)[x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L; [Q](e) = [A](e), Q(x) = A(x, x) при x ∈ L.Следовательно: [Q](e) — симметричная матрица, Q(x) = A(x, x) = [A]k,m (e)[x]k (e)[x]m (e) =[Q]k,m (e)[x]k (e)[x]m (e) при x ∈ L.2. Обозначим: A(x, y) = Q̃k,m [x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L.
Так как Q̃ — симметричнаяматрица, то: A — симметричная билинейная форма в пространстве L, [A](e) = Q̃. Очевидно: Q(x) = Q̃k,m [x]k (e)[x]m (e) = A(x, x) при x ∈ L. Так как A — симметричная билинейнаяформа в пространстве L, то: Q — квадратичная форма в пространстве L, [Q](e) = [A](e).Так как [A](e) = Q̃, то [Q](e) = Q̃.Утверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K,N ∈ N, dim(L) = N ; Q — квадратичная форма в пространстве L, e, e′ — бази′′′m= 1, Nсы пространства L.
Тогда: [Q]k′ ,m′ (e′ ) = [Q]k,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ) при k , m′′ T′([Q](e ) = α(e, e ) [Q](e)α(e, e )).Доказательство. Выберем функцию A, удовлетворяющую условиям: A — симметричнаябилинейная форма в пространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L. Тогда: [Q](e) = [A](e),′m[Q](e′ ) = [A](e′ ). Следовательно: [Q]k′ ,m′ (e′ ) = [A]k′ ,m′ (e′ ) = [A]k,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ) =′′′′mk[Q]k,m (e)αk′ (e, e )αm′ (e, e ) при k , m = 1, N .Определение. Пусть: L — линейное пространство над полем C, N ∈ N, dim(L) = N ; Q —обобщённая квадратичная форма в пространстве L, e — базис пространства L. Выберемфункцию A, удовлетворяющую условиям: A — полуторалинейная форма в пространствеL, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L. Обозначим, [Q](e) = [A](e).
Будем говорить, что [Q](e) —матрица обобщённой квадратичной формы Q в базисе e.Утверждение. Пусть: L — линейное пространство над полем C, N ∈ N, dim(L) = N ;e — базис пространства L.1. Пусть Q — обобщённая квадратичная форма в пространстве L. Тогда: Q(x) =[Q]k,m (e)[x]k (e)[x]m (e) при x ∈ L.2. Пусть: Q̃ ∈ CN ×N , Q(x) = Q̃k,m [x]k (e)[x]m (e) при x ∈ L. Тогда: Q — обобщённаяквадратичная форма в пространстве L, [Q](e) = Q̃.Доказательство.1.
Выберем функцию A, удовлетворяющую условиям: A — полуторалинейная формав пространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L. Тогда: A(x, y) = [A]k,m (e)[x]k (e)[y]m (e) приx, y ∈ L; [Q](e) = [A](e), Q(x) = A(x, x) при x ∈ L. Следовательно: Q(x) = A(x, x) =[A]k,m (e)[x]k (e)[x]m (e) = [Q]k,m (e)[x]k (e)[x]m (e) при x ∈ L.6.2. Билинейные и полуторалинейные формы532. Обозначим: A(x, y) = Q̃k,m [x]k (e)[y]m (e) при x, y ∈ L. Тогда: A — полуторалинейнаяформа в пространстве L, [A](e) = Q̃. Очевидно: Q(x) = Q̃k,m [x]k (e)[x]m (e) = A(x, x) приx ∈ L.
Так как A — полуторалинейная форма в пространстве L, то: Q — обобщённаяквадратичная форма в пространстве L, [Q](e) = [A](e). Так как [A](e) = Q̃, то [Q](e) =Q̃.Замечание. Пусть: L — линейное пространство над полем C, N ∈ N, dim(L) = N ; e —базис пространства L.Пусть Q — эрмитова квадратичная форма в пространстве L.
Очевидно: [Q](e) — эрмитова матрица, Q(x) = [Q]k,m (e)[x]k (e)[x]m (e) при x ∈ L.Пусть: Q̃ ∈ CN ×N , Q̃ — эрмитова матрица, Q(x) = [Q]k,m (e)[x]k (e)[x]m (e) при x ∈ L.Очевидно: Q — эрмитова квадратичная форма в пространстве L, [Q](e) = Q̃.Утверждение. Пусть: L — линейное пространство над полем C, N ∈ N, dim(L) = N ;Q — обобщённая квадратичная форма в пространстве L, e, e′ — базисы простран′′′mства L. Тогда: [Q]k′ ,m′ (e′ ) = [Q]k,m (e)αkk′ (e, e′ )αm= 1, N ([Q](e′ ) =′ (e, e ) при k , mα(e, e′ )T [Q](e)α(e, e′ )).Доказательство.
Выберем функцию A, удовлетворяющую условиям: A — полуторалинейная форма в пространстве L, Q(x) = A(x, x) при x ∈ L. Тогда: [Q](e) = [A](e),m′[Q](e′ ) = [A](e′ ). Следовательно: [Q]k′ ,m′ (e′ ) = [A]k′ ,m′ (e′ ) = [A]k,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ) =′′′m[Q]k,m (e)αkk′ (e, e′ )αm′ (e, e ) при k , m = 1, N .547. Метод Лагранжа, закон инерции, критерий СильвестраЛекция 7.
Метод Лагранжа, закон инерции, критерийСильвестраУтверждение. Пусть: K ∈ {C, R, Q}; L — линейное пространство над полем K, N ∈Z, N > 2, dim(L) = N ; A — эрмитова полуторалинейная форма в пространстве L.Существует число k0 , существуют векторы e1 , . . . , eN , удовлетворяющие условиям: k0 =1, N , e1 , . . . , eN — базис пространства L, [A]k0 ,k (e), [A]k,k0 (e) = 0 при: k = 1, N , k 6= k0 .Доказательство.
Докажем вспомогательные утверждения.1. Пусть: e — базис пространства L, Ã = [A](e), k0 = 1, N , Ãk0 ,k0 6= 0. Докажем, что существуют векторы e′1 , . . . , e′N , удовлетворяющие условиям: e′1 , . . . , e′N — базис пространстваL, [A]k0 ,k (e′ ), [A]k,k0 (e′ ) = 0 при: k = 1, N , k 6= k0 .Пусть: x ∈ L, x̃ = [x](e).
Тогда:X= Ãk0 ,k0 x̃k0 x̃k0 +m=1,N , m6=k0= Ãk0 ,k0A(x, x) = Ãk,m x̃k x̃m =XÃk0 ,m x̃k0 x̃m +Ãk,k0 x̃k x̃k0 +k=1,N , k6=k0XÃk,m x̃k x̃m =k,m=1,N , k,m6=k0XÃk0 ,m k0 mÃk,k0 k k0x̃k0 x̃k0 +x̃ x̃ +x̃ x̃Ãk0 ,k0Ãk0 ,k0m=1,N , m6=k0k=1,N , k6=k0X+Ãk,m x̃k x̃m =X!+k,m=1,N , k,m6=k0= Ãk0 ,k0−XÃk0 ,k k k0Ãk0 ,m m +x̃ +x̃x̃ −Ãk0 ,k0Ãk0 ,k0k=1,N , k6=k0m=1,N , m6=k0!XXÃk,k0 Ãk0 ,m k m+x̃ x̃Ãk,m x̃k x̃m =Ãk0 ,k0 Ãk0 ,k0Xx̃k0k,m=1,N , k,m6=k0= Ãk0 ,k0 x̃k0 ++k,m=1,N , k,m6=k0Xk=1,N , k6=k0XÃk0 ,k k k0x̃ +x̃Ãk0 ,k0k,m=1,N , k,m6=k0Xm=1,N , m6=k0Ãk0 ,m m x̃ +Ãk0 ,k0!Ãk,k0 Ãk0 ,m k mx̃ x̃ .Ãk,m −Ãk0 ,k0Обозначим:Øk0 ,k0 = Ãk0 ,k0 ,Øk0 ,k , Øk,k0 = 0 при: k = 1, N , k 6= k0 ;Ãk,k0 Ãk0 ,mØk,m = Ãk,m −при: k, m = 1, N , k, m 6= k0 ;Ãk0 ,k0XÃk0 ,m mx̃ ,x̃˜k0 = x̃k0 +Ãk0 ,k0m=1,N , m6=k0˜jjx̃ = x̃ при: j = 1, N , j 6= k0 .7. Метод Лагранжа, закон инерции, критерий Сильвестра55Тогда: Ø ∈ KN ×N , Ø — эрмитова матрица, Øk0 ,k , Øk,k0 = 0 при: k = 1, N , k 6= k0 ; x̃˜ ∈ KN ,A(x, x) = Ø x̃˜k x̃˜m .k,mk0Обозначим: βkk00 = 1, βm=Ãk0 ,mjj= δmпри: j = 1, N , j 6= k0при: m = 1, N , m 6= k0 ; βmи m = 1, N .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
