С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Определение 2. Упорядоченная совокупностьдвух (трсх) взаимно псрпсидикуляри х осей коордипагп с общим началом называется декартовой системой координат на плоскости (в пространстве); координата точки ЛХ по1-й оси координат называстсл г-ой декартовой координатой точки ЛХ. Обычно начало координат обозначают буквой О, а оси координат-- Ох, Оу, (Ог). Иногда их обозначают также Охг, Охю (Отз). Поскольку в дальнейшем речь будет идти главным образом о декартовых координатах, то слово «декартовы» мы будем, как правило, опускать. Из аксиом геометрии следует, что каждая точка ЛХ плоскости (пространства) имеет вполне определенный набор координат х, у (х,у, з); обратно, для любых чисел х, у (х, у, ) на плоскости (в пространстве) существует ровно одна точка М с координатами х, у (х, у, г).
Иными словами, соответствие М ~-~ х, у (ЛХ ~-~ х, у, з) является взаимно однозначным. Тот факт, что точка ЛХ имеет координаты х, у (х, у, з) условимся обозначать так: М(х, у) (ЛХ(х, у, г)). Часто бывает удобно обозначать координаты точки и саму точку одной и той же буквой: ЛХ(тг, тз) (ЛХ(тг, тз, тз)). г р г.«в=~ф,— рДоказател ьс.
Утверждение теоремы является очевидным следствием теоремы Пифагора, которая, как нетрудно заметить, верна и для вырожденных треугольников. Т е о р е м а 2. Пусть ЛХ середина огирсэка АВ. Тогда т., = (а, + 6,)гг2. Доказательство. Пусть Аи В, и Мг — проекции точек А, В и ЛХ на ось Ох,. Если точки А, и В; совпадают, то точка ЛХ, совпадает с А„ и В„ и, следовательно, является серединой отрезка А,В,.
Если же точки А, и В; различны, то точка ЛХ, является серединой отрезка А,В; по теореме Фалеса '). И в том, и в другом случае, согласно теореме 2 п.1, т; = = (а, + Ь,),г2. 3. Криволинейные координаты на плоскости. Наряду с декартовой рассматриваются и другие системы координат. Их объединяют общим названием криволинейные координаты. Любая такая система координат на гг ) В стереометрии теорема Фалеса формулируется так: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков н через их концы правее ги параллельные плоскости, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Координаты точки плоскости задается двумя уравнениями вида х = х(и,и) ) у = у(и,и) / Таким образом, каждому набору чисел и, и соответствует набор чисел х, у.
Егчи верно и обратное утверждение — каждому набору чисел х, у соответствует единственный набор чисел и, и, то числа и, и могут рассматриваться как криволинейные координаты точки. Чтобы найти криволинейные координаты точки ЛХ, нужно сперва определить ее декартовы координаты, а затем из формул (1) найти и и и. Название «криволинейные координатыь обьясняется тем, что координатные линии, т. е. линии и = сопз$, и линии и = сопв1, в таких системах координат, вообще говоря, не являются прямыми (как в декартовой системе координат). Наиболее употребительными криволинейными координатами на плоскости являются полярные координатна Они определяются формулами х = рсоэр ) у=рв' р /' где р ) О, О < р < 2х.
Нетрудно видеть, что величины р и р имеют простой геометрический смысл: р — это расстояние точки ЛХ от начала координат, т. е. ОЛХ, а р угол между лучом ОЛХ и осью Ох, отсчитываемый в направлении оси Оу. Ясно, что по заданным декартовым координатам (х,у) числа (р, р) определяются однозначно всегда, за исключением единственного случая: х = у = О. В этом случае р = О, а число р может быть произвольным.
Таким образом, любая точка, отличная от начала координат О, взаимно однозначно описывается набором чисел (р, ~р); точка О описывается набором чисел (О, р), где ~р — любое число, удовлетворяющее условию О < ~р < < 2х. Отметим, что линии р = савве в полярной системе координат представляют собой лучи с началом О, а линии р = сопэб — окружности с центром О.
Используются и другие криволинейные координаты: биполлрные коорсганатм (в них линии и = сопэ1 представляют собой окружности, проходящие через две данные точки, а линии и = сопят — так называемые окружности Апполония, пересекающие линии и = сопвС под прямым углом), э липтические координаты (на них мы остановимся в гл. 4) и ряд других. Выбор тех или иных криволинейных координат определяется, как правило, симметриями изучаемых с их помощью геометрических объектов.
4. Криволинейные координаты в пространстве. Криволинейные координаты в пространстве задаются тремя уравнениями вида т = х(и,и,ю) у = у(и,и,т) г = с(и,и,ю) Гл 1. Векторы и координаты ЗО Наиболее употребительными среди них являются цилиндрические и сферические координаты. Ц линдричесхие координаты определяются формулами х = рсов,р у = ряпе» где р > О, О < р < 2.г, а число в — любое.
Геометрический смысл цилиндрических координат ясен; число в имеет тот же смысл, что н в декартовых координатах, а р и р — зто полярные координаты проекции данной точки на плоскость Оху. Название «цилиндрнческие координаты» объясняется тем, что поверхности р = соней представляют собой цилиндрические поверхности радиуса р с осью Ов. Сферические координаты определяются формулами ) х = рсов~рсовО у = ряпрсов0 в = рвш0 где р > О, О < р < 2к, — к/2 < 0 < к/2. Название «сферические координаты» объясняется тем, что поверхности р = сопвС представляют собой сферы радиуса р; линии ~р = сопвФ представляют собой меридианы на этих сферах, а линии 0 = соней — параллели (точки 0 = — к/2 и 0 = к/2 соответствуют южному и северному полюсу, а линия 0 = Π— экватору).
В 2. ВектоРы 1. Вектор. Определение. Вектором называетсл направленный отрезок, т.е. отрезок, длл которого один из концов считается первым (началом), а другой — вторым (,концом). Если начало и конец вектора совпадают, то он называется нулевым (в противном случае ненулевым). Условимся обозначать векторы либо двумя заглавными буквами полужирного шрифта, например АВ (А— начало,  — конец), либо одной строчной буквой полужирного шрифта— а; нулевой вектор будем обозначать символом о.
) Иногда сферическими координатами называют криволинейные координаты, определяемые формулами х =- рсов»»япО ) у = рв|пхв|пО в = рсовО где р > О, О < Э» < 2к, О < О < г. Принципиально эти координаты ни чем не отличаются от рассматриваемых нами — онн получаются из них заменой Π— » л/2 — О. Векторы Из определения следует, что любой отрезок АВ определяет два вектора: АВ и ВА (если отрезок вырожденный, то эти векторы совпадают). При этом вектор ВА называется противоположным АВ (соответственно АВ -- противоположным ВА). Вектор, противоположный вектору а, обозначают так: — а.
Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ обозначается чвк: ~АВ~ или )а~. Если длина вектора равна единице, то его называют единичным. 2. Равенство векторов. Обычно говорят так: векторы называются равными, если их длины равны и они одинаково направлены. Такое определение, при всей своей наглядности, представляется не вполне удачным им трудно пользоваться. Поэтому поставим своей целью сформулировагь другое определение, С хз более удобное с практической точки зрения.
Рассмотрим вектор АВ и произвольную точку О. Пусть ВС вЂ” вектор, симметричный АВ О относительно точки О (т. е. точка О симметрична точке А, в точка С .— точке В). Тогда, оче- А В видно, длины векторов АВ и 1)С равны, они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, но их направления противоположны (см. рисунок). Следовательно, в обп1епринятом смысле векторы АВ и СВ равны. Тем самым, можно сказать так. Определение. Дэа вектора называютсл равнылоц если один из них центрально симметричен вектору, противоположному другому. 3. Координаты вектора. Определение. 1-ой координатой вектора называется раэность1-х координат его конца а качала.
Условимся обозначать через (ты ... ) координату тг точки ЛХ на прямой, координаты гпы тг точки ЛХ на плоскости, или координаты гпы тг, тпз точки ЛХ в пространстве. Таким образом, если, например, А(аы ... ), В(6ы ... ), хы ... -- координаты вектора АВ, то т, = 6, — ач. Тот факт, что вектор а имеет координаты аы ... условимся обозначать так: а = = )аы...). Замечание. Из определения следует, что ~а~=~фа~.
Теорема. Вектпоры равны тогда и только тогда, когда их координаты совпадают. Доказательство. Согласно определению, векторы АВ и СВ равны тогда и только тогда, когда векторы АВ и ПС центрально симметричны, т. е. середины отрезков АО и ВС совпадакгг; (а, -~ д,)/2 = (6г + с,)/2, или д, — с, = 6, — а„т. е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов совпадают. '1еорема доказана. Следствие 1.
Равные векторы обладают следуюгцими свойствами: Г любой вектор равен самому себе: а = а; 2' если а = Ь, то Ь = а; Гл 1. Векторы и координаты 3' если а = Ь и Ь=с, то а = с. Следствие 2. Для любой точки М и любого вектора а существует единственнал точка Х такая, что М1х1 = а (построение вектора М1ч' = а обычно называют откладыванием вектора а от точки ЛХ). В самом деле, вектор М1ч1 равен вектору а тогда и только тогда, когда а, — т, = а„т.с. тогда и только тогда, когда п, = аг+т,. Таким образом, положение точки Ж определяется однозначно. С л е д с т в и е 3.
Вектор одиозна "то определлется своими координатами и началом. 4. Сумма векторов. Определение. Пусть АВ и С — произвольные векторы, ВК = = СВ. Суммой АВ + СП называется вектор АЕ. Таким образом, чтобы сложить два вектора, нужно от конца первого вектора отложить второй; вектор, началом которого является начало первого вектора, а концом конец отложенного, и есть искомая сумма. Это правило сложения двух векторов называют правилом треугольника. Теорема.
Пусть х = (хы ...), у = (уы ...). Тогда х + у =(х + у, ...). Доказательство. Пусть А н  — начало н конец вектора х, Е— конец вектора х = х + у. Тогда г; = е, — а, = (е, — Ь,) + (Ь, — а,) = = у, . х; = х;+ уь Теорема доказана. 5. Произведение вектора на число. Определение. Произведением вектора АВ на число Л называется такой вектор АС, что: 1' то'чки А, В и С лежат иа одной прямой; 2' АС = )Л)АВ; 3' при Л > О, АВ у'= 0 лучи АВ и АС совпадают; при Л < О, АВ ф О лучи АВ и АС не совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
