Домашняя контрольная работа 1 (1112287)
Текст из файла
Å. Å. Òûðòûøíèêîâ11. Ïóñòü G ãðóïïà ñ åäèíèöåé e. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a2 = e äëÿ ëþáîãî a ∈ G, òî ãðóïïà Gàáåëåâà.2. Ìàòðèöà A ïîðÿäêà n êîììóòèðóåò ñî âñåìè äèàãîíàëüíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêà n: AB = BAäëÿ âñåõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö B ïîðÿäêà n. Äîêàæèòå, ÷òî A äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ðàâíûìè ýëåìåíòàìè íà äèàãîíàëè.13. Íàéòè âñå ïîäãðóïïû ãðóïïû öåëûõ ÷èñåë Z îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ÷èñåë.4. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé áåñêîíå÷íîé ãðóïïå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïîäãðóïï áåñêîíå÷íî.5.
 êîíå÷íîé ãðóïïå G âûáðàíû ïîäãðóïïû H1 è H2 ïîðÿäêà n1 è n2 , ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå,÷òî ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå H1 H2 = {g ∈ G : g = h1 h2 , h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 } ðàâíî n1 n2 /d, ãäåd ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ïåðåñå÷åíèè H1 ∩ H2 .6. Êàêèå ñìåæíûå êëàññû ÿâëÿþòñÿ ïîäãðóïïàìè?7. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ àáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà pq, ãäå p è q ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, ÿâëÿåòñÿöèêëè÷åñêîé.8. Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íå èçîìîðôíà ãðóïïå âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ.9.
Íàéäèòå âñå ãðóïïû, èçîìîðôíûå ëþáîé ñâîåé íååäèíè÷íîé ïîäãðóïïå.10. Ïî çàäàííûì íåíóëåâûì ÷èñëàì a0 , . . . , a2n ñîñòàâëåíû ìàòðèöûa0a1Ak = a2 ...aka1a2a3...ak+1a2a3a4...ak+2...ak... ak+1 (k+1)×(k+1)... ak+2 ,∈R......... a2kk = 1, . . . , n,ïðè ýòîì ñòîëáöû êàæäîé èç íèõ ëèíåéíî çàâèñèìû.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî q òàêîå,÷òî ak = a0 qk , 0 ≤ k ≤ 2n.11. Äëÿ êàæäîãî n íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðûõ ñòîëáöû òðåõäèàãîíàëüíîéìàòðèöûa−1A=1a1... ... ...−1 a 1−1 aïîðÿäêà n ëèíåéíî íåçàâèñèìû.12. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âèäàa0a1a2a1a0a1 a2x11a1 x2 = 0 .a0x30èìååò ðåøåíèå, ïðè÷åì x1 6= 0. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîëáöû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìû.13. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ìíîæåñòâî ïîäñòàíîâîê ñòåïåíè n ìîæíî óïîðÿäî÷èòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîêàæäàÿ ñëåäóþùàÿ ïîäñòàíîâêà áóäåò ïîëó÷àòüñÿ èç ïðåäûäóùåé ïóòåì óìíîæåíèÿ ñïðàâà íàíåêîòîðóþ òðàíñïîçèöèþ.14.
Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ ÷åòíóþ ïîäñòàíîâêó ñòåïåíè n ≥ 3 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ öèêëîâ äëèíû 3.15. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà n èçîìîðôíà íåêîòîðîé ïîäãðóïïå ãðóïïû âñåõ ïîäñòàíîâîê ñòåïåíè n.1 Òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿñêàëÿðíûìè.216. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.17. Ïóñòü H ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû G, êîììóòèðóþùèõ ñ ëþáûì ýëåìåíòîì èç G.Äîêàçàòü, ÷òî H íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà. Äîêàçàòü òàêæå, ÷òî åñëè ôàêòîð-ãðóïïà G/H öèêëè÷åñêàÿ, òî G ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé.18.
Ïóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà. Ýëåìåíòû a, b ∈ G íàçûâàþòñÿ, åñëè b = hah−1äëÿ íåêîòîðîãî h ∈ G. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ñîïðÿæåííûõ ñ a, ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåìïîðÿäêà ãðóïïû G.19. Íàéòè âñå îáðàòèìûå ìàòðèöû A ïîðÿäêà n, äëÿ êîòîðûõ âñå ýëåìåíòû A è A−1 íåîòðèöàòåëüíû.Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ìàòðèö îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿìàòðèö.20. Ïóñòü A, B ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n; I è 0 åäèíè÷íàÿ è íóëåâàÿ ìàòðèöû ïîðÿäêàn. Äîêàçàòü, ÷òî−1 ñîïðÿæåííûìèI0021.22.23.24.25.26.27.A 0I B0 II= 00−A ABI−B .0I(Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñ ÷èñëîì îïåðàöèé s(n) ïîðîæäàåò àëãîðèòì óìíîæåíèÿ ìàòðèö ïîðÿäêà n ñ ÷èñëîì îïåðàöèé s(3n)).ßâëÿåòñÿ ëè ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ âåðõíèõ òðåóãîëüíûõ ìàòðèö íîðìàëüíûì äåëèòåëåì ãðóïïû âñåõ íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö äàííîãî ïîðÿäêà?Äàíû ìàòðèöû-ñòîëáöû u1 , .
. . , uk , v1 , . . . , vk ∈ Rn è A = u1 v1> + ... + uk vk> . Äîêàçàòü, ÷òîdet A = 0, åñëè k < n.Ìàòðèöà B ñ îïðåäåëèòåëåì b = det B ïîëó÷åíà èç A ñ îïðåäåëèòåëåì a = det A ïðèáàâëåíèåì÷èñëà c 6= 0 ê êàæäîìó ýëåìåíòó. Íàéòè ñóììû àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé âñåõ ýëåìåíòîâ(ïîäìàòðèö ïîðÿäêà 1) äëÿ A è äëÿ B .Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ñäåëàòü âûðîæäåííîé, èçìåíèâ ëèøüîäèí èç åå ýëåìåíòîâ.Ïóñòü In è Im åäèíè÷íûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n è m.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìàòðèö Aðàçìåðîâ m × n è B ðàçìåðîâ n × m èç îáðàòèìîñòè Im − AB âûòåêàåò îáðàòèìîñòü In − BA.Äîêàæèòå, ÷òî det(I + F ) 6= 0, åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû-âîçìóùåíèÿ F ïîðÿäêà n ïîìîäóëþ ìåíüøå 1/n.Ïóòü A n×n-ìàòðèöà ðàíãà k, à B ëþáàÿ íåâûðîæäåííàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà k. Îáîçíà÷èì÷åðåç R ïîäìàòðèöó ðàçìåðîâ k × n, ñîñòîÿùóþ èç ñòðîê ìàòðèöû A, ñîäåðæàùèõ ïîäìàòðèöóB , à ÷åðåç C ïîäìàòðèöó ðàçìåðîâ n × k , ñîñòîÿùóþ èç ñòîëáöîâ, ñîäåðæàùèõ B . Äîêàçàòü,÷òî−1A = CBR.28.
Ïóñòü A è B ìàòðèöû ðàíãà 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè AB = BA, òî ðàíã ìàòðèöû A + B íåáîëüøå 1.29. Ìàòðèöà A èìååò r ñòîëáöîâ, à ìàòðèöà B èìååò r ñòðîê. Äîêàæèòå, ÷òîr ≥ rank(A) + rank(B) − rank(AB).30. Íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà è îáðàòíàÿ ê íåé ðàçáèòû íà áëîêè îäèíàêîâûõ ðàçìåðîâ:A=A11A21A12,A22A−1 =B11B21B12.B22Äîêàçàòü, ÷òî áëîê A11 íåâûðîæäåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåâûðîæäåí áëîê B22 .31. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñ ýëåìåíòàìè (xi + yj )n−1 ..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
