Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости(без док-ва) (1111763)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Вопрос 10. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о сходимости(без док-ва)10.1. Тригонометрическая система функцийОпределение 10.1. Две интегрируемые функции f  x  и g  x  называютсяортогональными на отрезке  a, b  , еслиb f ( x)g ( x)dx  0.Конечная или бесконечнаяaсистема функций называется ортогональной на отрезке  a, b  , если любые две функцииэтой системы ортогональны на этом отрезке.Важный пример ортогональной системы функций даѐт тригонометрическая системафункций.Теорема 10.1. Тригонометрическая система функций1,cos x,sin x,cos2 x,sin 2 x....,cos nx,sin nx,...

ортогональна на отрезке   ,  .◄ Прежде всего установим ортогональность каждой функции системы с первой из них.Имеем1 1  cos kxdx   k sin kx    011 1k1sinkxdxcoskx(1)(1) k  0 kkkОпираясь теперь на известные из средней школы тригонометрические формулы, получим1 cos kx cos lxdx  2  cos  k  l  x  cos  k  l  x dx  0, k  l,1 sin kx sin lxdx  2  cos  k  l  x  cos  k  l  x dx  0, k  l ,1 sin kx cos lxdx  2  sin  k  l  x  sin  k  l  x dx  0,Последнее равенство справедливо и при k  l . ►1210.2.

Тригонометрический ряд ФурьеОпределение 10.2. Тригонометрическим многочленом называется функция видаT ( x) A02  A1 cos x  B1 sin x    A2 cos 2 x  B2 sin 2 x   ...   An cos nx  Bn sin nx  ,где A0 , Ak , Bk , k  1,..., n  действительные числа. Если An  Bn  0 , то число n22называется порядком(степенью) тригонометрического многочлена T ( x).Функциональный рядA02   An cos nx  Bn sin nx (1)n 1называется тригонометрическим рядом.

Коэффициенты рядаA0 ,..., An , B1,..., Bn , n  произвольные действительные числа.Частичные суммыsn ( x) тригонометрического ряда (1)s0 ( x) A02, sn ( x) A0n2   Ak cos kx  Bk sin kx , n  1,2,...k 1представляют собой тригонометрические многочлены порядка  n .Определение 10.3. Пусть функция f ( x) определена и интегрируема на отрезке[ , ] . Числаa0 an bn 111f ( x)dx,(2) f ( x)cos ndx, n  1,2,...,(3) f ( x)sin nxdx, n  1,2,...(4)называются коэффициентами Фурье функции f ( x) .Тригонометрический рядa02   an cos nx  bn sin nx n 12(5)3(независимо от того, сходится он, или расходится) коэффициенты которого –коэффициенты Фурье интегрируемой функции f ( x) , называется рядом Фурье этойфункции.Связь между функцией f ( x) и еѐ рядом Фурье принято обозначать так:a0f ( x), x [ , ]2   an cos nx  bn sin nx  , x  .n 1Частичными суммами sn ( f ( x)) ряда Фурье (5) функции f ( x) будуттригонометрические многочленыs0 ( f ( x)) a02, sn ( f ( x)) a0n2   ak cos kx  bk sin kx , n  1,2,...(6)k 1порядка  n .Теорема 10.2.

Равномерно сходящийся на [ ,  ] тригонометрический ряд (11)есть ряд Фурье своей суммы.◄Пусть тригонометрический ряд (5) равномерно сходится на [ ,  ] и f ( x) - его сумма,так чтоf ( x) =A02   Ak cos kx  Bk sin kx (7)k 1и функция f ( x) непрерывна на [ ,  ] . Более того, f ( x) - непрерывная и 2 периодическая функция на всѐм множестве .Интегрируя почленно ряд (7) и учитывая ортогональность тригонометрическихфункций, получим1f ( x)dx 1A0dx  A0 и, согласно (2), A0  a0 . Умножив равенство (7) на cos kx и2проинтегрировав, найдѐм11 f ( x)cos kdx    A cosk2kdx  Ak , и, согласно (3), Ak  ak , k . Аналогично,умножив равенство (7) на sin kx , покажем, что Bk  bk , k ( на основании (4)).

►Тригонометрический многочлен можно считать конечным тригонометрическимрядом, имеющим нулевые коэффициенты для всех индексов, больших его порядка n , ипоэтому равномерно сходящимся на всѐм множестве . Согласно теореме10.2, многочленT ( x) совпадает со своим рядом Фурье, коэффициенты которого равны нулю для всех34индексов, больших индекса n . В частности, этим свойством обладают частичные суммыряда Фурье.Следствие. Для любого n  0,1,2,... частичные суммы sn ( f ( x)) (6) ряда Фурье (7)интегрируемой функции f ( x) имеют одинаковые с f ( x) коэффициенты Фурье для всехиндексов k ,0  k  n .Замечание. Разумеется, если функция f ( x) разрывна, то еѐ ряд Фурье не будет равномерносходиться к ней (сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна).10.3.

Коэффициенты Фурье чётных и нечётных функцийНапомним, что если функции f ( x), g ( x) интегрируемы на отрезке [a, a] иf ( x)  чѐтная, а g ( x)  нечѐтная, тоaaaa0a f ( x)dx  2 f ( x)dx,  g ( x)dx  0,a0в чѐм легко убедиться, представив интегралв виде суммы интеграловв первом из них x на  x .aaa  и заменив0Поэтому, если функция f ( x) интегрируема на этом отрезке и f ( x)  чѐтная, то еѐкоэффициенты Фурье равныan 2 f ( x)cos nxdx, n  0,1,2,..., bn 0, n  1,2,...

,0так чтоf ( x)a0   an cos nx,2 n1а если f ( x)  нечѐтная, тоan  0, n  0,1,2,..., bn 2иf ( x) b sin nxn 1n.4 f ( x)sin nxdx, n  1,2,...05Пример. Рассмотрим 2  периодическую функцию f ,f ( x)  x , x [ , ], f ( )  f ( ). Тогда bn  0, n  1,2,... иa0 22 f ( x)dx    xdx   , a0n022 f ( x)cos nxdx    x cos nxdx 002  x sin nx cos nx 2(1)n  1 , n  ,22  nn 0  nтак что a0   , a2 k  0, a2 k 1  x244, k  1,2,... .

Кроме того, по теореме 10.2, (2k  1)2cos(2k  1) x, x [ ,  ],(2k  1) 2k 1(8)поскольку тригонометрический ряд Фурье в правой части формулы (8) равномерно сходитсянапо признаку Вейерштрасса( сходится мажорирующий рядk 1x  0 имеем410  , откуда2  k 1 (2k  1) 21 (2k  1)2). В точке12 .28k 1 (2k  1)Поэтому1 112 1  1 2 1  2   A,222n(2k1)(2k)84 k 1 k8 4n 1k 1k 1Aоткуда A 26, так что1 111 21  2  2  ...  2  ...

  2  .2 3n6n 1 n10.4. Сходимость ряда Фурье в точкеМы установили, что равномерно сходящийся тригонометрический ряд есть ряд Фурьесвоей суммы (теорема 10.2). Сформулируем без доказательства теорему, дающуюдостаточные условия сходимости ряда Фурье.Теорема 10.3. В точке x0 , где функция f ( x) дифференцируема или, по крайнеймере, имеет обе конечные односторонние производные, ряд Фурье сходится, причѐм56сумма его равна f ( x0 ) . в точке x0 разрыва первого рода функции f для сходимости еѐряда Фурье достаточно предположить существование конечных пределовD  f ( x0 )  limt 0f ( x0  t )  f ( x0  0) f ( x0  t )  f ( x0  0), D f ( x0 )  lim,t 0ttпричѐм на этот раз суммой ряда будетf ( x0  0)  f ( x0  0).210.5.Тригонометрические ряды 2l  периодических функцийДо сих пор мы говорили о разложении функций, имеющих период 2 , в ряд потригонометрическим функциям.

Рассмотрим функции, период которых 2l отличен от 2 . Вlэтом случае функция f lfxa0x  имеет уже период 2 . Еѐ можно разложить в ряд Фурье2   an cos nx  bn sin nx  ,n 1гдеan 11l l f  x  cos ndx, n  0,1,2,... , bn   f  x  sin ndx, n  1,2,... .     Положив y f  ya0lx, получим x ly, dx ldy, иnn    an cosy  bn siny ,2 n1 ll где1n1n,f(y)cosydy,n0,1,2,...bf(y)sinydy, n  1,2,... . (9)nl lll lllan lПонятно, что все результаты п.10.4, относящиеся к сходимости рядов Фурье, переносятся ина ряды (9).10.6. Разложения только по косинусам или только по синусамПредположим, что функция f ( x) задана лишь на отрезке [0,  ] .

Часто ставитсязадача представить еѐ рядом Фурье, причѐм требуется, чтобы это разложение содержало либотолько косинусы, либо только синусы. Для этого следует доопределить еѐ в промежутке[ ,0) соответствующим образом.67Для 0  x   положимf (  x)  f ( x) ,так что в результате получится чѐтная функция на отрезке [ ,  ] .рис.Еѐ разложение будет содержать только косинусы. Если дополнить определение функцииf ( x) для 0  x   равенствомf ( x)   f ( x),то получится нечѐтная на отрезке [ ,  ] функцияи в еѐ разложении будут только члены с синусами.7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций