Лекции по матану (1109382), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(-фЫ~ ~$~Щ~ ~~ ~ ~~; (ь~~~ ~~аЬ~(~ ~ К Ка+Е~ + ~ с;саа~4а+И~,~ ~ ~и~ А ы~ ~~~мх. ы с и,м 4~~о~ М~ Алл,мс4 ~й л, В~ к-~ ~сэ4ск.о~ М. = ~Д; ~-4~ ~~ ~ ~'. (~) ~, 0.~~6~с и.м фф р.~щ.а.у~„Сесар,,"тй~~ ~с, си<, ~,с ~ ~ ~~"Ь~ Ьй~ ~~~А~ Ы +Ор ~(~~~р СЛъ) > и- ~-"р~лил~сил О(6~) Аф,.+ 0 рыл,~~ ~Ь.ь~ф~ц М6М~~йф Ом~+й МА М~~ 64.амСих~,о ) ~ц„~,~~.~ ф ~"~"'М ~~'-1~-~М~=Ф ж"~ ~. ч~ ~~ ~ ~~~ ' ~ $ ~" ~)- ~~((), Ей. ~~-Рй)= ~,'Ес~~~ -ф М,~. „„, ~ ~, с ~ " ' ~~~~ ~~о~'О~о~~) =,Х ъ~,~") Е„аФ ~~~~~. ~ о ~аФ~ ~ о ф~,.~~) ~~6 Е ~ 7. Ь.~ ~ьф~~~ ~.
о(а~~ ~. а ~ ~~м ~ ~~аМ), ~+.~б, ~ 4 ~ д ~~ — ~ ~ бс~~Ж.~~) '~ в ~' Л).' ~ Оа,д ~ 4мм л«~ ы.ьг» - с.иу -,,~ (3) ~,~м~ „м-~, о« ~-~~~, 1 ~ ~ Х . ~ ,,„. ~, ~~~ ,„ ... ~ ~е Ъ, Ф~~~~~~~~нф~а ~ б~р~цил~~ ~ ~~~Си.о44емж Ие~а.мерц,~л.. Ъ .4, Я-и ~~фЮ.зим К к. ОС+А 04эи Фс~. 64.о.~ .ел,К4д Ч'а.с„иэ-~~ о~ ~м, о ~у )=~Ьс„-- р~ ), ~ ~ а~а.~е сч, ( ~а,~ ~о ~~ЩИ.
м.= ~~С~, ~ '~ ~ ~,~ С."ф,иг~~ 4 фгбс~ а. 4 цх~бс~с~ ~ Эч~~~~~.~- -" '~ ~ ~ С~.с~,... а~с ~~~ ААЧЯ.~л2фл~л.,~ О~.с~ >~ ц.ц,.„.-, 1(„.С, ~ с~1, ... ~ А.„ а~ ~ м, 2- =~о,--.,~ > ~~Ъ мм,А т ~а ~~ ~ ~нМ,м ~ ~ ю м.ю ".с и аЪО.ЬМ.МиьГ а~~[ )Я ~,, ~ Цбс)ф~ ~(~А,~ - ~~~с,.)4.„~,=(~,,~ ~,,~р~ ~„„; ~, ~;~~ дс„,~,с~ си~,а — ~ф ~„;.се'~~ ~т„' ~~~ О ~'~н; ~~, Ь~вь хм ~ Ат„М4=М~,,ж)(4~=1 ~л, „1ыс м,~~ ~~„~=~~~~~А~,® - .-. ~~а~ 4.'е ®, 4 В~,', ~ф р тр ~л иьииыс~А ~ Им о Ь~ ~ ~ ~"~~~- Р~" ~~ ' ~"Ф ~ ~"ф~~« ~~'~~ ~4Ф~ ц~~ ~~~~~А~ +." ~ ф ~Мй~с~, ~~.) ~ОС, ~д ~ ~ ~ ~ (Ъмч~Х+~ чу.~~.~.и.со.иЯЬ~ ~ИЯЛИ,оеиж~ ц~уо Ъл и~ ~ и чиж Я' А ~ь''=М фу~ил~~к ~,Лш Я = ф (Й~ '~~'ф ~с~ ~-~~мыс~, с~-ф~.Ь,, с.ух( Ю:6 4 Ь м с>, ~АУМ.Ф й~-э Йл~.йф4 ий ~- И.~ъа~~.4л.~А~уу-бсср $ Я Ь фл4л~4~Я А4Д,аА1.ИР ( 4 ~ АЯ е)(~~= АЕЬ~= ~~~~~"' " а~;- 'К ~м.
=~~~~" Х вЂ” '~~ =2:~~~< М > ~ме*~ыь ы~, ~М~и ~~~; ~ ~~ (си~ =сА се ф.-Ъ~4л~~зА4 Ф~ ~Я~Я ~ ~ ~=с~а А ,~~~1,~у.~)=У-А~/ -~lАл ~.~,с~~ -"~ ~ = — ~ ~ у(,с~ф(;> ~)о~с=О С.~ф 4 ШАЮСи5~1' .4~. ~й баем.И.ал ЧФЯЭы ~"- И.~/= Я ~,у Аыйй,,4 й, Лм Р о. ~Г кА ~аглаи Сс~л Ш~„с~.~ 7л~.оИ.6+ича Ом 'Ь И~ м и ж~~-~. '~рд,иод( ыи.см 0 ОМс~.
°, ~ . йг~ьаь ~и ~ил ~~фи.ь ~ а~м4ка 4 тв~с«с2Ь,ф 4 а~а -. ~з.м,~ — а н~ъ с~ м р ~ ~~~ии~ ~.(. А ~~рд~ ~ К (~ ~ ~~~ ~~ )~ ~» ~~И~~. ©лил ~~~~~~~~ И ~~ ~~ ~1, ~а,~м 1"~ '~.й~ ~ ~э~ае ига.З.и.и.е. МЬ' Олм ~Мам~ И~~с~~,~~~„~ )~ ~~.с~~~мк„~ ф, ~~'"~~~ ~~~ й И и.~» ~~( ~)-~~~~ ~ ф~~ф ~~ДД ф ЙбсФ' ~~~И~(А~И А ~ ЬС. ф ф~-~~~~~~~ .~р щ~у~ 4 ,~э ъ. =$ЬС,~р ),~~ с-~-~.е Ьк.о . и ьоИ с ~ъ,о Х,а ~-а~ д -. --.=' =: ~~-.--)-~ ~ мс~-~ ~ с~ иЪ~й' '~йю Ъма~аи~ е. с~иа~ ~в~е~и~рд,~д О с ~ М~М Й .л ~ ~~)~„р <~~ щ~ (,~ ~си.с а ~лл4Ы~гЫА~ н, М М1Сьс э( мОл. ОйоЛ~у.дг~ ~~< ~ ".~ 'ЪЧ ЮМл~~~и.~.
О.~.ар ~,~~~ц -- ~,~р,.а р ~,'~' ~ "'"у е Глава 2 Дифференцируемые функции нескольких переменных Теорема. Если функция Дх, у) дифференцируема в точке Рю(хю, у,), то график г = 1(х, у) этой функции обладает в точке М,(х,, у,, г,), гю = Д(хю, ую), касательной плоскостью, которая задается уравнением г, — з = ~„(х, ую)(х х )+ / (у — ую), так что значение дифференциала функции ~ в точке Р, при приращениях х — х,, у — у, аргументов равно приращению У вЂ” зю аппликаты точки касательной плоскости (текущие координаты касательной плоскости обозначены х, у, г.
в отличие от текущих координат х, у, г поверхности г = ~(х,у)). Ъ"Пусть Р(х, у) н 13 и р = ~РюР~ = В силу дифференцируемости функции .1' в точке Р„ —, =К(хю,ую)( — х,)+У(у-ую)+а(;у) а, (3 3) 0 « — — = =)а). ФМ )М'М) )з — 2! МюМ Рю' Р ММ Следовательно, — -+ 0 при Р— + Р,; т.е., П М,М касательная плоскость к графику функции ~ в точке М, . А где а(х;у)-+О при Р— +Р,; т.е., при р-+О. С другой стороны, уравнение (3.2) есть уравнение плоскости — обозначим ее П, — проходящей через точку М, (х,, у,, г,), г, =~(х„ую). Вычитая (3.2) из (3.3), получаем г-г, =а р.
Пусть Ф вЂ” основание перпендикуляра, опущенного из точки М(х, у,Д(х,у)) графика на плоскость П, и М'— точка этой плоскости, имеющая те же абсциссу х и ординату у, что и М (и значит, аппликату У) (см. рис. 2.3). Так как ММ < ~ММ~ и М М > Р,Р1, то ~~ д д щ.а ~ а ~йаюкма 4ыс и эс м~~м~ 4.~., оьм4мм. а ~с.~ею я. и оги+н~лс~~~. ~Ф~и' ф(~-4= Ф("-сы--,~с,~, см.~м~е м+си ~, ~, ~ ~ ~,д ~ ~~ьлзь ~ оъ ~~ с„д~ ~ ~~ -р ~СО-СиФи~ й й~рйи~бл~к.а.~ ~'~ ~ ) ~'~"~~~4~-0~У М ЬИ~ФФР и ОаТК~ь~йц'р ~ Уа иг 4 ~кзРщ.~ ~ ~д~ «Ъ ~~' мь~ла~х,4.4~И4, г.о а~.
Ъ 4 Т с ~~с, Ъх Г'~ ~ й~ «~кю м е ~l ~~рц~„р~ Ъ~,~" ~~ ~~; С '~ )) '1~ ~ ~ ~ ~ ~ф~ ~ ~И ~ ~~с с ~„~ ~+ ~ + Ж ~'~~'"~~ Ь~~д"ф~ е- ах %т ~ .. Мам4„.а-сд а с ~"~' ~+~ ~ С ~~~Я м 5.МО~м.~'лЗ~А~» Хек 3 ~~, ~ (~ ~ а Ъ ) у ~~~"4~= С=Я7'~-* '~ус=- (, а ~>гУ4 с с~.нчдр ф Ъ ~( ф Я~ОС.~И-~~~фlЦ~.е.~. ~р~ ~д Фе~н.а. (""$ К маска (~~, ) мд р~,ь ~ 4 цкмсм, р а, ~ аоа ~7 ~ Я (<м.,4 ); ~') 'Й~е~ц ~ ~ „„, ~,.~„~, (~.,4~ Й) = (а- р, а.~-~). Я~ с~р~аьл~ 4 м д $ 4 Я ((аЦ;~)а~~У ~ ~й ~ ~ ~- ~М"-~ ~» 4~~~ ~! ~ ~~ ~ —,~„~~ ~р „~ад~-а.~с~ссд о ~с~ил-Ос~и~~ ~<о. Ц~-~Га~ ~~са~9~~ 4[~~Р~~1,4~1) — $' 2~914~~ сд) зыАм.с 4,1 ~С~~~,~0 ~~~ й.
Мк т о~.ж 8, О< 9 (~, 'Уь 4 ~в~ .-и~ ч4 ~и „-~' 4 Я(с„,~~.~) С.Мф~ймл. (Ъмо ~. ~дав.м,с~мХЪ. (ЪЯрАИ~.Ясл .~> и.~а.~.~, ~д~ ~д ~~ ~- ) И~и~ М ~силЙсй ~й:ЮАф8 И й ЛЮ4~хс~~ ис~~ ь~.о ~' (а вС 4~~~ ~'И+8~,4~-~.~" (д у~~ ~ ~~ ~ рбмк~-~р.~= ~~ ~. <а~в,~ 4~в,~~ ~ь) ~~~~~~'~~в ~ ~м~+с~». ивою ~~а~.бил~ ~«а~ю ЯъЮ,ФМк ~ои~ но~ьл, 4~АЬ~ ~ ~ М-~Мф~-~~~~4г~~4 .4~ ~4ХВ~МИ ~4 ~'~ Ш.о ~~~~л(-.,~„~ рр-„у~~ г~~ ~ ( Я о 8 .~,ъг ~' (а.тб~,4 О„Ц) ~" ~,4)+ ~~~,Ь) ~ ~~~, ц~~ я д „д ~ ь~. ~~,~сГ, ЫЫ,Слс~юЙ .мм,~ ~4 а ~ъ~~ме~ а<.~, ~~'"'~ ~ф~ ~' с~а~~=~ о,,ь~|. с~ К4М 0(и~(г,о<~~~.г, 4л~, ~ай а с ~ ~ас х4 4.а-м ~ (' 4 а~й,4);~) -еа' м~а~амад ию.
оснФ~ал ~м. СЮ "э.а~». ~ми~~ы ~аю ~ ~~а) ~ ф(д ~+~~ ~~) ~с-~о ~' ~;~ о '~с ~м ы вил,,~„„М~" ~ ) ~' ~„,~ ~) ~с-~ о Ж~ ~,у. ~ р. с Ъ) ~ ~~~~~~ и~ ~' «-,~~-4,' я,~) ~»~о у~4 ~,а ~А ~.1,~~о а~и а ы л ~,ъъ е~ ум~' ,~;„Я бь.4„4~-3' ~р,„4) ~~ ) ~ .~ь Н „цацы ~ к. СФ1~ ~.
~а~ы.ю м. '~~ 4~ф"«1~ М), с.в у4 .~ ь. ~" и,4)=~' Ф,41 ~рд„~Я.4.~М4. '~„. 55 Й4~гуА-~А'Мм ~ ~~ у.~, р ~лм с. имж ~~~,~ у и д~ ° ~ ~.(,, ~4-~ьа-~6;~ ~А ~ к4 а ь~А~~ ~ 4е~,~ ТЬ"~~ = ~, ~,,~, — ~~а,~~, Т '. ~-'у'"ф ' %~~ ф~ ~надь ~с ю.ас С кд а ~Хай ~'- ~~У'~~'-~~-"А~- Й~ ~:% Ам~ 4е.а ~ы,' ~~щс дм,~ ~ ~ ~ -~-~" '-~~ж ~ 'м~4, ~м.а '~~4 ~~.'й. ~ О '1„е м4лц,Р,М~~Ар ~. ~~МЯ Я3 йА~Д~~'~,( ~ У, 4 й.~. ~„, ~,.... Д =ФМ" — — ' ~"'~'~ Ь~=~~~зэ- ~~ъ.~иА444м -, м.~ц„,зу ~ М "~-М~ ~~ ьъ "~ '~~ йд;~~,~ ~ ~, „ 1~-Е. 4А ~Ф„~7м~.~ М ~м~-~.м.а ~$~~~~$Ь~фОМ НМЪ~Я 46, Щу Р~ ) ~ д Ц 4.~еЪь~ „М,~~ 4 м К4+~,' Сдам~-м,р .~."к~~~„р~у„~ ( ~~ Т:~ Й е ~нас Мю~за 3Р~,~4~~ ~и~ь й.
~~~ф М.~мм.аф И~Смм, ~„„„к.> ~ С б4 94 „Ф~ ~-4~ ~ ~НУ-Ъ~, 'Ъ| -О ~~с~~ ~ХЪФ,Ч ~ф ~~~~.ФЮНФ ~М.( .— ~Ф б.М.~М~А. ~~ 4 3ь~ М„~ ~м4 аА ~-" ~~й4Д4~+~ ~-р 4 мж,~,р~ ~ ~ р~М~а4, ~4,р".' ф 4 ~ йъа ~ О ~,~„~,~~.а~Аж~,~~,й.й,.~, 4ф~с.,~~ 4 М;Ф~лАА' ~ "-~;, ~-" Ь~ Ц~. „~(~,,~)=ъ~~~~>~ .ъ ~,,~~ ъ$=~~,ъ~-.ф ~, з. ~ ~ ~~д. О.й.~.4.~м. ~р. Я ~'~.'~~~., КЙй ~~~ .Ф кс ~ ~ 1 ~АФФМ,о ~ Ф сс.о.аШ~,А ~,а~ р~ ~ 1. ~ ~'~~"~сМм 9 ~~~~ЖЙ кФ~а. ~Ф~ дм.ж„~ ) ~ ~др ~~МРфЮ.ОИ-~ А-.~ ~„~ ~ ~../МЮ.Р Д,д,,у„д~-„,„,.~, „- д А ~~,,~>=сЦ..
А~" ~ р,$, ~ц ' д~' Ф к~,А -~~ тд,,д~ Ьмлю л ~ ц " ~~с;ь4 ~ 0,,~4, ~Ь;М,~-й,„),~ ~ ~ „~-ф- с.'~9,;0~;А, — $ с;а,, м,„~д„~ =ф.~ -~~~~;-~ '~~ -~~-М,~,, Я.с*,~.у,- -~~„~~ - ~.— )'4ь-~.~ ~'-~~..~~,, ~у ~,~,~~ ~д~~,.$а~д~р М~МйФАЬЮ~Фсй эСаУи ~4~~а~ ~и.фффОЩ«,- ~д4.а.~ива- и- Ь~ ~ ~ и=а, 1 1ь Ф Ч чФ"4 ~" ~~-.) Ий~од~,~~4.оА м,"Шло И,~э4~~~.У г-Я 1е ~нй.~,.М Ь (~:,"~ 4 ~~де~~~~р к~ С.А~~~~с~32.
~М= Я., О-ЗЪ~<4лл С ~4~-~.~~.Й. р~.д,>.а'~яМ'м~ о . Ъ "~ Ь~=1 Ь~ллМй.а Ф.ЬМ.~.шл ~с.ММ.С.~ ~~ у~~.~. 4 ~с~ к,виар ~.щ,„, „~ ,7 .~ь~ ~М~~~ 4 чм с. чс=ос„,~ '>~Ь(,го~л.д.мКоъ 1-'~„, ~ ~ ж ~ ~ ~ 'О, Си.ф4.Ь.~,ш о й Л~ю.4.Ы„м,„~ 1ы~~-~,ж=~~;1, ", 4 ~-~~„..., „) = = 1~ ~~.=.--~-=,' ~-~~ ~, ~®.~, -'~ "~~,е~~ <~ ®~с~.м.,Рлц~рд~ 0 фаей К~,МьО ~® = ~~~++~),~ ~~~~Д~ ~ С.О'РХДД.<.~) ~у„ц цд (Ю,М~~~Алм ~Й ~О„Ы ~.о Й 4усйф~са ~+~ ~4Ас ХМЪ~ ~е ~,~их> 4о~же м ~ с мз ь ~ж~ 0 рО2- 4~~4""~"~-ф~- ~ ~©~~"-~ ~~"~"- "' ~~ 4> 6~.4(~.ы~,АО~~.~иЯ,КъМ~р, ~рО~фЯ О'МА0.ИСОА ~~'~=~~о~ х ~ ~ ~~~~ р~~ т ФЮ~,~ 9,~Ъ ~~ф~~~'~4 Ьо д мР.
6 ь ~й ~а,~~ 'ф[ь~с~ ь ((~ о ~д ~ (~)~дц~~(д~~ ~ '"~~" "~~'Ф'"~' Э~ ~~~, ~ мк рй)=(-(~ С~,~~о~ф:с~ ~~~~~о)=А ~~ ~ ° а~ ~ ~О й~в~ ~ +~~~ ~ ~',,;Ф.м~ад ~ 'Ъ.~ а,Ъ~.~ ~~-~ ~ ь~. ~;.~й, ~ьМа~.ам.4, фМ,.Ф ~ Ф Кн.~Ф 1 йА~.~~ФМФ6 фдК ф~~~~с~~д "~ ~~~ ~ъ.4С4" ~ ~'~~Х~~ ~:~~ ~~Я. '~4- ~ф4М. К~ /Й, 4 ~~~~ ~ р 4~~фд р д~~ ~// Фе~~Ф~ ~- ° .= .
Ъ~~~ 7.~~~~ч-а ~ Ж~4Х и~, .ЫА/ 4,Ф 4Ю$ Х~аФ~ Р ~ ~ФЮ с Х .ЙМА~мЯ.С И1а Я ~.~~~ М„;~МЩ,д„,„~„ ~„ймдМА~4р~Я.С~ ~<.4 Ъ4 4~А+м~4', 'ЧА, ф ." ~ ~ъка. ' ~~,.~,р„ 4,~~х ~=а; г~., 4еа ' с и.м им ~4(ммд (. ~, Я.йУ~.м ~ ~д О4~.«4,й.~~~У.Й. 4 К~~.М.~, '~ ~~~ ~ ~ ~ ~ '~ ~ = ~-~-~~ 'Ъо -- =~и ~~ — ~м' ~ ~ а ~е Ь. ~ф~)~.1~~.ю~ ~,.~-~- 4СФ:е. Х.~ О ~~~.,~,"~ Я,,~ М~чж 1сФ - ~ ~~"~' "~о~, ~' ф 4 ~М. ~мФ~~~~ ~1а~-" . ~ ~ 3~~"'~ ~~ ~ ~ ~'~~' ~'-ЬХ- ~» ЫК Ьй~ ~ "~~~ ~,~ —, „":,( ф — ~~ — ~-',~' ~" ~ '~ Т~ ь 1м Р."~ Ж.
~ 'У- ~'-~~+~~~~ -й~м.~, -...,.,„ 'Х. $Ъ» ~~-4- Йм~~'6 4л~ ~~~. ~-Й ~~"~4 З М. ~~Ю:ЪМ.4.~д," ~зй ~ ~, ° ~ Г 4.Д.,4-4.4.$~,4., ~~-~-йд~ Й А~Ф.~Ф ~.~~„~~, „уд,~ ~ ф д ~,~ д;,~, %' ~~ ~'~ф~"-~~- ~ ' ~~ "- ~-~. ~ ~ ~ к ~м.к ~ ~ а Гам и.~' ~ "-~ "~ = ~ ~~ ~-, м 4к -, -~,'- д;~ ое..ж», ~.Я~~ С,же~~.беж~ ~ 4 .Ь-4.Р1-~." Юм;,ах~М.аС Р К~3 "м ~, ~~~4.~+Ь.6з4~,4Я'-Ж ~ЙЪ'~44~~ ~ '~-~'~ ) 4 'Ф-йм,~О~+~.Ж. (~'".~ ~~ ~ ~- ф~О ~ ~ ° ~ Д '~м~рК~~4~~4.ъаА С. ~Й~4А~ Ф'~4фЛ~~~ 'Р ~4- «Й~«см~ ~ "М.Ф Юич.'~Са д,д~щ~ ф4„рУ7 ~(дд '~4~~ч~~- .АМ й Ь'.,~.~й~~~~ ~,~-~~ ',1, 4Р~,;,.и~-~р ~ — ~~~~~:~~лА ЬМ, '~ 4 !(~,-Я'~р~,„,„.~ ~р .~",, Р ~, Ь~ ~4.Д „0~9+~ О.,АИ~МФ ~ ~ Й44~7~А4~А~ ж~ 4Д~(Яюр ~ Ац~ ~р.,ЦА~дФ ф Д Д ~ д .-,, С ',~~ '"~4.М~Р ~.('..~.
)'ф ~ $'„Х~ .~Р4~~'~. ~ ~Д6.6~4,~~ ~ ~;„~- ~ ',.'.ф;~~,~ д ~ ° 6с - ~ ~ ' 6 ' ~~~~~ ~М-~,~ Р'2~~.ь,~~ М ~+~~„ц ~;~ ~ " ф'~,=~ '~ М- 4М~а. Х.~ ~„7 съем ~ и~ йФ~~' О~~ М о, ж ~ Х~> ~~ААА~4 а.ьа .ц у~ ~ ~ а «"„д"~ МЙАМ'.м,~4-й 4А Ф ~~,Д а д~~„а,и~„~ ~~~~.,йй.о ~~~М~ь~Ж~'~~~:> ~ Ж ~4сМ4~й-й, у 1ф $3~,~к о „О.Й~6О.,Ф4~ Й.й„'~4ф~ М ~(М~-~~ М ЙЗъ,~64-Й.О~А~ ~„~4~Ф'~Ф.4рА 4А~ ~й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
