Предел композиции функций (1108938)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ПРЕДЕЛ КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙВы могли задуматься, почему вычислении пределовax − 1ln(1 + x)и limlimx→0x→0xxмы пользовались теоремой о непрерывности композиции функций и ни словом не обмолвилисьо кажущейся естественной теореме о пределе композиции функций.Дело в том, что правильно сформулировать теорему о пределе композиции функций несколько сложнее, чем теорему о непрерывности композиции функций, и, чтобы не запутаться, можновсегда обходиться построением соответствующих непрерывных функций и их композиции.Внимание! Сейчас будет сформулировано неверное утверждение!«Теорема». Пусть функция y = f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x = a, причём limx→a f (x) = b.

Пусть функция z = g(y) определена в некоторой проколотойокрестности точки y = b, причём limy→b g(y) = c. Тогда 1) сложная функция F (x) ≡ g(f (x))определена в некоторой проколотой окрестности точки x = a и 2) limx→a F (x) = c. (НЕВЕРНО!!!)Задание. 1. Показать, что каждое из утверждений данной теоремы неверно.

Для этогорассмотреть примеры:а) f (x) = x sin x1 , g(y) =sin y,yб) f (x) = x sin x1 , g(y) = | sgn y|,в) f (x) = 0, g(y) = | sgn y|.Объяснить, в чём заключаются «проблемы» и каковы их «источники».2. Изменить формулировку «теоремы» так, чтобы утверждение стало верным.

Это можносделать двумя способами:1) потребовать, чтобы функция g(y) («внешняя») была непрерывной в точке y = b, и тогдабудет верно, что limx→a g(f (x)) = g(limx→a f (x));2) не изменять требования на функцию g(y), но наложить дополнительное требование на функцию f (x).Анализ приведённых в задании 1 примеров должен помочь вам правильно сформулироватьнужные условия и доказать верные утверждения. Требуется подробно доказать получившиесятеоремы.3. Пользуясь доказанными вами теоремами, подробно объяснить вычисление пределов:sin 5x 5xsin 5xsin tsin 5x= lim·= lim· 5 = lim·5=5x→0 5xx→0 5xt→0 tx→0xx(теорема из п. 2) части 2 задания);11lim sin x sin= sin lim x sin= sin 0 = 0x→0x→0xxlim(теорема из п. 1) части 2 задания).4.

Придумать свои примеры вычисления пределов типа двух предложенных, а также своиконтрпримеры в духе части 1 задания.1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы