Программа экзаменов по высшей алгебре 1 и 3 семестры (1108701)
Текст из файла
Программа экзаменов по высшей алгебреЛектор — Евгений Соломонович Голод1, 3 семестры1 семестр (2002 г.)1. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Метод Гаусса.2. Множества и отображения. Композиция, обратное отображение, бином Ньютона. Бинарная операция,группа, обобщенный закон ассоциативности.3.
Группа Sn . Разложение перестановки на независимые циклы и транспозиции. Чётность перестановки.4. Определитель. Свойство полилинейности. Неизменность при транспонировании. Свойство кососимметричности. Поведение определителя при ЭП. Вычисление посредством приведения к треугольной матрице.Критерий det = 0 в терминах ступенчатого вида.5. Теорема и формулы Крамера. Случай однородной системы.6. Определитель с углом нулей. Разложение определителя по строке/столбцу.
Фальшивое разложение.7. Определитель Вандермонда. Приложение к задаче интерполяции.8. Линейная зависимость векторов и её свойства. Критерий det = 0 в терминах линейной зависимости.9. Основная лемма о линейной зависимости. Базис системы векторов. Существование и свойства. Стандартный базис в Rn . Алгоритм поиска базиса конечной системы векторов. Ранг системы векторов и его свойства.10. Подпространства. Линейная оболочка.
Свойства множеств решений СЛУ. Задание подпространства однородной СЛУ. Размерность и базис подпространства решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений.11. Операции над матрицами и их свойства. Поведение произведения при транспонировании.12. Элементарные матрицы и их связь с ЭП. Представление невырожденной матрицы в виде произведенияэлементарных матриц. Определитель произведения матриц.
Аксиоматическое задание определителя.13. Матричное уравнение AX = B. Обратная матрица, существование и единственность, способы вычисления.14. Ранг матрицы. Совпадение его с рангом системы строк и столбцов. Ранг произведения матриц. Поведениеранга при ЭП. Ранг ступенчатой матрицы.
Выражение ранга через миноры. Теорема о ранге матрицы.15. Теорема Кронекера – Капелли (Критерий совместности и определенности в терминах ранга матрицы). Выбор главных и свободных неизвестных.16. Степени элементов в полугруппе и группе. Порядок элемента и его вычисление в Sn .17. Кольцо и его свойства. Группа обратимых элементов. Делители нуля. Поле и его характеристика.18. Построение поля C. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра.19. Изоморфизм групп и колец. Существование и единственность C. Комплексное сопряжение — изоморфизм.20. Корни из единицы. Порядок элемента в циклической группе.
Порождающие элементы. Изоморфизм циклических групп.21. Кольца и поля классов вычетов. Малая теорема Ферма.22. Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом. Старший член, степень, делителинуля, обратимые элементы. Деление с остатком в K[x].23. НОД в K[x] и в Z. Существование и единственность для произвольных евклидовых областей. Взаимнопростые элементы в Z и в K[x].
НОК.24. Неприводимые множители в Z и в K[x]. Однозначность разложения на на неприводимые множители.Представление НОД в виде линейной комбинации f и g. Китайская теорема об остатках.25. Дифференцирование в K[x]. Поведение кратности неприводимого множителя при дифференцировании.Отделение кратных множителей.126. Многочлен как функция. Теорема Безу. Кратность корня. Поведение кратности корня при дифференцировании. Отделение кратных корней.27. Число корней с учетом кратностей. Функциональное и алгебраическое равенство многочленов. Интерполяционный многочлен Лагранжа.28.
Многочлены над C как функции f : C → C. Лемма Даламбера. Алгебраическая замкнутость C.29. Разложение многочленов над C. Число корней многочлена из C[x] с учетом кратностей. Граница длякорней. Теорема Штурма.30. Поле частных области целостности. Разложение дробей в сумму простейших дробей и многочлена.31. Формулы Виета. Многочлены от n переменных. Лексико-графическо-степенной порядок на мономах.
Старший член и его свойства. Симметрические многочлены. Результант и дискриминант.32. Подгруппы циклических групп. Таблица Кэли и ее свойства. Теорема Кэли.33. Разложение группы на смежные классы по подгруппе H. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы.Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме.34. Факториальность K[x].
Лемма Гаусса и ее следствия. Признак неприводимости Эйзенштейна.35. Алгебраические и целые алгебраические числа.Последняя компиляция: 19 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.23 семестр (2005 г.)1.
Понятие факторгруппы. Структура гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме.2. Связь между подгруппами в группе и факторгруппе. Изоморфизм G/N ∼= G/H.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.H/NHK ∼ KH = K∩H .Произведения подгрупп. Нормализатор подгруппы. ИзоморфизмЦентр группы. Факторгруппы по центру.Группа автоморфизмов. Внутренние автоморфизмы. Группа автоморфизмов циклической группы.G1 ×...×Gn ∼Прямое произведение групп. Изоморфизм H= (G1 /H1 ) × .
. . × (Gn /Hn ).1 ×...×HnПорядок элемента в прямом произведении. Прямое произведение циклических групп.Системы порождающих в группах. Примеры (Sn , An ).Теорема о приведении целочисленной матрицы к диагональному виду.Свободные абелевы группы. Конечно порожденные абелевы группы как факторгруппы свободных групп.Теорема о согласованных базисах для конечно порожденной абелевой группы и ее подгруппы.
Разложения конечно порожденной абелевой группы и ее подгруппы в прямую сумму бесконечных и примарныхциклических (существование).Теорема единственности разложения конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму бесконечныхи примарных циклических.Конечные подгруппы мультипликативной группы поля. Классификация конечных абелевых групп с точностью до изоморфизма.Дискретные подгруппы в конечномерном вещественном векторном пространстве.Коммутаторы и коммутанты, их свойства.Понятие разрешимой группы. Связь разрешимости группы с разрешимостью ее подгрупп и факторгруппы.Разрешимость группы невырожденных верхних треугольных матриц.Понятие классов сопряженных элементов.
Классы сопряженных элементов в GLn (K), K ⊂ C и Sn .Классы сопряженных элементов в An .Понятие простой группы. Простота группы An , n > 5.Простота группы SO3 .Действие группы н множестве (представление группы перестановками). Теорема Кэли. Орбиты, стабилизаторы, неподвижные точки. Число элементов в орбите.
Классы сопряженных элементов и классы сопряженных подгрупп как орбиты.Транзитивное действие. Эквивариантные отображения и изоморфизмы действий.Конечные p-группы. Центр и разрешимость конечных p-групп. Группы порядка p2 .Полупрямое произведение групп. Примеры групп порядка p3 .Силовские p-подгруппы. Существование p-подгрупп (первая теорема Силова).Теорема о сопряженности и число силовских p-подгрупп (вторая и третья теоремы Силова).Группы порядка pq (p, q — простые числа).Идеалы (левые, правые, двусторонние) в кольце.
Структура гомоморфизма кольца. Факторкольцо. Теорема о гомоморфизме для колец. Соответствие между подкольцами, идеалами в факторкольце и исходномK∼идеале. Изоморфизм K+I.= I∩KIГлавные левые (правые) идеалы. Тело как кольцо с единицей без нетривиальных левых идеалов. Коммутативные кольца главных идеалов (примеры).Понятие простого кольца. Идеалы в кольце квадратных матриц над кольцом с единицей.Понятие алгебры над полем. Случай алгебры с единицей. Гомоморфизм алгебр, идеалы в алгебре. Конечномерные алгебры, структурные константы. Конечномерные алгебры без делителей нуля.Факторалгебра алгебры многочленов от одной переменной над полем.
Когда она является полем? Полекомплексных чисел как такая факторалгебра.Существование расширение поля, в котором данный многочлен разлагается на линейные множители.34. Подалгебра, порожденная одним элементом алгебры. Алгебраические и и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Случай алгебры с делением (тела).35. Расширение полей. Простое алгебраическое расширение. Размерность башни полей. Алгебраические итрансцендентные числа.
Поле алгебраических чисел.336. Конечные поля: число элементов, существование конечных полей, существование неприводимых многочленов заданной степени.37. Конечные поля: единственность конечного поля данного порядка.38. Построение алгебры кватернионов.39. Конечномерные алгебры с делением над полями комплексных и действительных чисел (теорема Фробениуса).40. Понятие модуля. Подмодули, гомоморфизм модулей, фактормодуль, теорема о гомоморфизме, связь между подмодулями в модуле и фактормодуле. Прямая сумма модулей.41. Произведение левого идеала и модуля. Произведение и степень левых идеалов. Свойство левого идеала,являющегося прямым слагаемым в кольце.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
