Задачи для подготовки к коллоквиуму №1 (В.Н. Чубариков) (1108274)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задачи для подготовки к коллоквиуму №1по математическому анализуЛектор — В. Н. ЧубариковI семестр, 2004 г.Набор текста: П. Рахмонов, вёрстка: DMVN Corporation.1. Пусть x, y ∈ [a, b]. Тогда |x − y| 6 b − a.2. Доказать равенствоx + y + |x − y|= max{x, y}.23. Пусть F (1) = 2, F (n) = F (n−1)+ 12 для всех натуральных чисел n, больших единицы.

Тогда F (n) = 2+ n−12 .4. Построить такие множества B ⊂ A ⊂ X и отображение F : X → X, чтоF (A r B) 6= F (A) r F (B)5. Пусть F : X → Y . Тогда следующие утверждения эквивалентны:а) F – вложение (инъективное отображение);б) F −1 (F (A)) = A для любого подмножества A ⊂ X;в) F (A ∩ B) = F (A) ∩ F (B) для любой пары подмножеств A, B в X.г) F (A) ∩ F (B) = ∅ для любой пары подмножеств A, B в X для которой A ∩ B = ∅.д) F (A r B) = F (A) r F (B) для любой пары подмножеств A, B в X для которой B ⊂ A.6.

Рассмотрим отображения f : A → B, g : B → C и h : C → D. Пусть отображения f ◦ g и g ◦ h биективны.Доказать, что отображения f , g и h сами биективны.7. Множество всех конечных подмножеств натуральных чисел N счетно.8. Для того, чтобы X было бесконечно, необходимо и достаточно, чтобы для каждого отображения f : X → Xсуществовало такое непустое подмножество A ⊂ X, что A 6= X и f (A) ⊂ A.Указание: Если бы f обладало этим свойством и X было бы бесконечным, то X было бы счетным.

Тогдаможно считать, что X = N и f (n) > n при n > 0; это приводит к противоречию).9. Пусть E — бесконечное множество, D ⊂ E, D — не более чем счетное множество и E r D. Тогда множестваE r D и D равномощны.10. Множество всех иррациональных чисел равномощно множеству всех вещественных чисел R.11. Доказать, что [a, b] ∼ (a, b), [a, b] ∼ [a, b).12. Доказать, что sup A = − inf(−A), sup A ∪ B = max(sup A, sup B).13. Пусть определены выражения в правых частях соотношений. Тогда справедливы следующие утверждения:а) inf (−f (x)) = − sup f (x);x∈Ax∈Aб) sup (f (x) + g(x)) ≤ sup f (x) + sup g(x);x∈Ax∈Ax∈Aв) sup (f (x) + g(x)) > sup f (x) + inf g(x), если sup g(x) существует;x∈Ax∈Ax∈Aг) sup (f (x) + c) = c + sup f (x) для любого вещественного числа c;x∈Ax∈Af (x1 , x2 );д) supsup f (x1 , x2 ) =supx1 ∈A1 x2 ∈A2(x1 ,x2 )∈A1 ×A2е)supf (x1 ) + f (x2 ) = sup f (x1 ) + sup f (x2 ).(x1 ,x2 )∈A1 ×A2x1 ∈A1x1 ∈A114. Пусть B — непустое ограниченное множество вещественных чисел, b = sup B и b ∈/ B.

Тогда b являетсяпредельной точкой множества B.115. Пусть {xn } — бесконечно малая последовательность отрицательных вещественных чисел. Тогда для каждого натурального числа m существует бесконечно много номеров n > m таких, что xn 6 xm .nknn→∞ 216. Доказать, что а) lim= 0, где k — постоянная; б) lim n(a1/n − 1) = ln a, a>0.n→∞17.

Пусть lim xn = +∞. Тогда limn→∞x1 +...+xnn= +∞.18. Пусть pn >0 для всех n ∈ N и lim (p1 · . . . · pn )1/n = p.n→∞n19. Исходя из равенства lim 1 + n1 = e, доказать, что lim (n!)n1/n = e.n→∞n→∞1 n+p20. Доказать, что последовательность an = 1 + nстрого убывает тогда и только тогда, когда p > 12 .21. Для любого рационального числа r с условием |r| < 1 справедливо неравенство 1 + r 6 er 6 1 +111+ n+2+ . . .

+ 2n= ln 2.22. Доказать, что lim n+1r1−r .n→∞23. Пусть xn — последовательность с ограниченным изменением, т.е. существует такое c > 0, что для всехn ∈ N справедливо неравенствоn−1X|xk+1 − xk | < c.k=1Тогда последовательность xn сходится.24. Пусть 0 6 xm+n 6 xm + xn . Тогда существует предел limn→∞xnn .25. а) lim (an + bn ) ≤ lim an + lim bn , если последние пределы существуют.n→∞n→∞n→∞б) Если lim an = a и lim bn = b, то lim an bn = ab.n→∞n→∞n→∞в) lim an = − lim (−an )n→∞n→∞26.

Пусть lim an = +∞. Тогда существует min an .n→∞n∈N27. Пусть lim an = a. Тогда последовательность {an } имеет либо наибольший, либо наименьший элемент,n→∞либо тот и другой.28. Пусть sn = a1 + a2 + . . . + an → +∞, ak > 0, lim an = 0. Тогда множество предельных точек дробныхn→∞частей {sn } совпадает с отрезком [0; 1].29. Пусть lim (sn+1 − sn ) = 0 и не существует ни конечного, ни бесконечного предела lim sn , и пустьn→∞n→∞l = lim sn ,n→∞L = lim sn .n→∞Тогда последовательность sm расположена всюду плотно на отрезке [l; L].30. a) Пусть an > 0 и lim an = 0.

Тогда существует бесконечно много номеров n таких, чтоn→∞an > max(an+1 , an+1 , an+1 , . . .).б) Пусть an > 0 и lim an = 0. Тогда существует бесконечно много номеров n таких, чтоn→∞an < min(a1 , a2 , . . . an−1 ).Последняя компиляция: 27 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)