Тыртыш v.s. Кима - теормин (1106698), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1. Полярное разложение линейного оператора.

Представление матрицы А в виде А = HQ с неотрицательно определенной H и унитарной Q называется ее полярным разложением. Полярное разложение матрицы можно считать аналогом тригонометрической формы комплексного числа.

1. Преобразование подобия.

Пусть А и B квадратные матрицы порядка n, а S - невырожденная матрица. Переход от матрицы А к подобной ей матрице B = S^-1AS называется преобразованием подобия.

1. Прямая сумма линейных подпространств.

1. Ранг и база системы векторов.

Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов называется её базой. Число векторов базы называется рангом системы векторо.

1. Ранг и дефект линейного оператора.

1. Размерность корневого подпространства линейного оператора в комплексном пространстве.

1. Самосопряженный оператор.

1. Скалярное произведение.

Пусть V - вещественное (комплексное) линейное пространство, на котором каждой упорядоченной паре векторов x, y ∈ V поставлено в соответствие вещественное число (х, у) таким образом, что:

(1) (х, х) ≥ 0 ∀ x ∈ V; (x, x) = 0 ⇔ x = 0;

(2) (x, y) = (y, x) ∀ x, y ∈ V; (для комплексного пространства )

(3) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ∀ x, y, z ∈ V;

(4) (ax, y) = a(x, y) ∀ x, y ∈ V, ∀ a ∈ R (C);

Число (x, y) называется скалярным произведением векторов х и у. Вещественное (комплексное) линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым (унитарным).

1. Собственное значение и собственный вектор линейного оператора.

Пусть А - матрица порядка n. Число λ ∈ С, и ненулевой столбец х ∈ Сⁿ, связанные соотношением Ax = λх называются собственным значением и собственным вектором матрицы А. Пара x, λ называется собственной парой матрицы А.

1. Собственное подпространство.

Множество L является подпространством, инвариантным относительно А и называется собственным подпространством. Размерность L называется геометрической кратностью собственного значения λ.

1. Соотношение для матриц билинейной формы в различных базисах.

Матрицы билинейной формы А(х, у) в базисах е и f = eQ связаны с оотношением А_f = Q^TA_eQ.

1. Соотношение для матриц квадратичной формы в различных базисах комплексного пространства.

Определение не найдено.

1. Соотношение для матриц линейного оператора в различных парах базисов.

1. Соотношение для размерностей суммы и пересечения двух линейных подпространств.

1. Соотношение для спектральной нормы линейного оператора A.

1. Соотношение эрмитовой конгруэнтности матриц.

Комплексные матрицы A и B называются эрмитово конгруэнтными,

если B = P*AP для некоторой невырожденной матрицы P. Это отношение является отношением эквивалентности на множестве матриц n x n.

1. Соотношения, связывающие ядра и образы операторов и .

1. Сопряженный оператор.

В этом случае оператор А* называется сопряженным (к оператору А) оператором.

1. Спектральная характеристика положительно определенного оператора.

Самосопряжённый оператор А в унитарном (и евклидовом) пространстве положительно определён (соответственно А ≥ 0, А < 0, А ≤ 0) тогда и только тогда, когда все его собственные значения λ > 0 (λ ≥ 0, λ < 0, λ ≤ 0).

1. Спектральная характеристика самосопряженного оператора.

Нормальный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве самосопряжён тогда и только тогда, когда все корни его характеристического многочлена вещественны.

1. Спектральная характеристика унитарного оператора.

Нормальный оператор в унитарном пространстве унитарен тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю равны единице.

1. Теорема Гамильтона-Кэли.

1. Теорема об инвариантных подпространствах минимальной размерности для оператора, действующего в вещественном пространстве.

1. Теорема об эквивалентности норм.

1. Теорема о канонической паре базисов линейного оператора.

1. Теорема о неполном базисе.

1. Теорема о представлении линейных пространств в виде прямой суммы двух его подпространств.

Линейное пространство V является прямой суммой своих подпространств L₁ и L₂ тогда и только тогда, когда:

1) dim V = dim L₁ + dim L₂;

2) L₁ ∩ L₂ = {0}.

1. Теорема о ранге и дефекте линейного оператора.

1. Теорема о расщеплении линейного оператора.

1. Теорема о собственных векторах нормального оператора, отвечающего различным собственным значениям.

Собственный вектор нормального оператора, отвечающий собственному значению λ, является собственным вектором сопряженного оператора, отвечающим собственному значению λ̅.

1. Теорема о соотношении между матрицами прямого и сопряженного операторов.

В паре биортогональных базисов сопряженному оператору соответствует сопряженная матрица.

1. Теорема Фредгольма.

1. Теорема Шура.

1. Тождество параллелограмма.

1. Унитарный оператор.

Квадратная комплексная матрица А называется унитарной,

если АА* = А*А = I.

Линейный оператор U, действующий в унитарном (увклидовом) пространстве, называется унитарным (ортогональным) оператором,

если U*U = UU* = I.

1. Формула для вычисления координат вектора x в ортонормированном базисе e₁, e_2, ... , e_n.

В евклидовом (унитарном) пространстве координаты х₁, ... ,х_n вектора х в базисе e = (e₁, ... , e_n) вычисляются по правилу x_i = (x, e_i) тогда и только тогда, когда е - ортонормированный базис.

1. Формула для вычисления расстояния от вектора до подпространства в конечномерном пространстве.

Расстояние между вектором f и линейном подпространством L в евклидовом (унитарном) пространстве равно длине перпендикуляра, опущенного из вектора f на L.

1. Формула для вычисления расстояния от вектора до линейного аффинного многообразия в конечномерном евклидовом пространстве.

Пусть Н = х₀ + L - линейное аффинное многообразие в евклидовом (унитарном) пространстве. Тогда р(f, H) = p(f - x₀, L).

1. Формула для вычисления расстояния между двумя линейными аффинными многообразиями в евклидовом пространстве.

Пусть Н₁ = х₁ + L₁ и Н₂ = x₂ + L₂ - линейные аффинные многообразия в евклидовом (унитарном) пространстве. Тогда р(H₁, H₂) = p(x₁ - x₂, L₁ + L₂).

1. Формулы Якоби.

Если в матрице квадратичной формы А(х, х) ранга r первые r угловых минора отличны от нуля (Δ_k ≠ 0, k = 1, 2, ... ,r), то существует базис е, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид

А_е = diag(λ₁, ..., λ_r, 0, ... ,0), где λ_k = Δ_k/ Δ_k-1.

1. Эрмитово разложение линейного оператора.

Линейный оператор А в унитарном (евклидовом) пространстве может быть предствавлен, и притом единственным образом, в виде суммы эрмитова (симметрического) и косоэрмитова (кососимметрического) оператора.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)