Задачи (1106319)
Текст из файла
1. Ìàòðèöà A ïîðÿäêà n êîììóòèðóåò ñî âñåìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêà n: AB = BA äëÿ âñåõ ìàòðèöB ïîðÿäêà n. Äîêàæèòå, ÷òî A äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ðàâíûìè ýëåìåíòàìè íà äèàãîíàëè.2. Äëÿ êàæäîãî n íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðûõ ñòîëáöû òðåõäèàãîíàëüíîéìàòðèöûa−1A=1a1... ... ...−1 a 1−1 aïîðÿäêà n ëèíåéíî íåçàâèñèìû.3.
Ìàòðèöà ðàçìåðîâ (n + 1) × n èìååò ýëåìåíòû aij > 0 ïðè i = j è aij < 0 ïðè i 6= j . Äîêàæèòå,÷òî ïðè n = 3 åå ñòîëáöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Âåðíî ëè ýòî ïðè n = 4?4. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âèäàa0a1a25.6.7.8.9.10.11.12.13. 1x1a2a1 x2 = 00x3a0a1a0a1èìååò ðåøåíèå, ïðè÷åì x1 6= 0. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîëáöû ìàòðèöû êîýèöèåíòîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Äîêàæèòå, ÷òî ñòîëáöû âåùåñòâåííîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâèñèìû òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ëèíåéíî íåçàâèñèìû ñòîëáöû ìàòðèöû A⊤ A.Ïóñòü u, v ∈ Rn è I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Äîêàæèòå, ÷òî det(I + uv⊤) = 1 + v⊤ u. n × n-ìàòðèöå èìåòñÿ åäèíñòâåííûé ìèíîð ïîðÿäêà r < n, îòëè÷íûé îò íóëÿ. Äîêàæèòå, ÷òîâñå ìèíîðû ïîðÿäêà k ≥ r + 1 ðàâíû íóëþ.Ïóñòü A ìàòðèöà ïîðÿäêà n ñ ýëåìåíòàìè aij = ±1.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè n = 4, òî | det A| ≤ 16,è ïîñòðîéòå ìàòðèöó, äëÿ êîòîðîé det A = 16.Äàíà êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A òàêàÿ, ÷òî A3 = 0. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà I − A îáðàòèìà.Íàéòè âñå îáðàòèìûå ìàòðèöû A ïîðÿäêà n, äëÿ êîòîðûõ âñå ýëåìåíòû A è A−1 íåîòðèöàòåëüíû.Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ìàòðèö îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿìàòðèö.Äàíû ìàòðèöû P1 , . . .
, Pn ïîðÿäêà n, êàæäàÿ îòëè÷àåòñÿ îò åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïåðåñòàíîâêîéñòîëáöîâ (òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ ìàòðèöàìè ïåðåñòàíîâêè). Ïóñòü P1 +...+Pn = E , ãäå E ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû 1. Êðîìå òîãî, ïóñòü Pi Pj = Pj Pi äëÿ âñåõ i, j . Äîêàæèòå,÷òî ìíîæåñòâî ìàòðèö P1 , . .
. , Pn îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö.Äîêàæèòå, ÷òî îïðåäåëèòåëü òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöû íå èçìåíèòñÿ, åñëè êàæäûé íàääèàãîíàëüíûé ýëåìåíò óìíîæèòü, à êàæäûé ïîääèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ïîäåëèòü íà îäíî è òî æå÷èñëî.Ïóñòü In è Im åäèíè÷íûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n è m. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìàòðèö Aðàçìåðîâ m × n è B ðàçìåðîâ n × m èç îáðàòèìîñòè Im − AB âûòåêàåò îáðàòèìîñòü In − BA.Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî îáðàòèìîñòü êàæäîé èç ýòèõ ìàòðèö ðàâíîñèëüíà îáðàòèìîñòè ìàòðèöûïîðÿäêà m + n ñ áëî÷íûì ðàçáèåíèåì âèäàImBA.In14.
Äàíû ÷èñëà a è b òàêèå, ÷òî 1 − ab 6= 0. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà1b 2A=b ...bna1b...a2a1...bn−1bn−2...an... an−1 ... an−2 ...... ...1îáðàòèìà è îáðàòíàÿ ê íåé ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé.15. Ïóòü A n×n-ìàòðèöà ðàíãà k, à B ëþáàÿ íåâûðîæäåííàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà k. Îáîçíà÷èì÷åðåç R ïîäìàòðèöó ðàçìåðîâ k × n, ñîñòîÿùóþ èç ñòðîê ìàòðèöû A, ñîäåðæàùèõ ïîäìàòðèöóB , à ÷åðåç C ïîäìàòðèöó ðàçìåðîâ n × k , ñîñòîÿùóþ èç ñòîëáöîâ, ñîäåðæàùèõ B . Äîêàçàòü,÷òî−1A = CBR.16.
Äîêàæèòå, ÷òî ïîäìàòðèöà, ðàñïîëîæåííàÿ íà ïåðåñå÷åíèè r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê è rëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû ðàíãà r, ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé.17. Èçâåñòíî, ÷òî A⊤ = −A. Äîêàæèòå, ÷òî ðàíã ìàòðèöû A ÷èñëî ÷åòíîå.18. Ïóñòü A è B ìàòðèöû ðàíãà 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè AB = BA 6= 0, òî ðàíã ìàòðèöû A + B íåáîëüøå 1.19.
Çàäàíû ñòîëáöû x, y ∈ Rn, ïðè÷åì x 6= 0. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöàA ∈ Rn×n òàêàÿ, ÷òî rankA ≤ 2 è Ax = y .20. Ìàòðèöà A èìååò r ñòîëáöîâ, à ìàòðèöà B èìååò r ñòðîê. Äîêàæèòå, ÷òîr ≥ rank(A) + rank(B) − rank(AB).21. Äàíû ìàòðèöû A è B ïîðÿäêà n òàêèå, ÷òî AB = 0 è ïðè ýòîì ìàòðèöà A + B íåâûðîæäåííàÿ.Äîêàçàòü, ÷òî rankA + rankB = n.22. Íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà è îáðàòíàÿ ê íåé ðàçáèòû íà áëîêè îäèíàêîâûõ ðàçìåðîâ:A=A11A21A12,A22A−1 =B11B21B12.B22Äîêàçàòü, ÷òî áëîê A11 íåâûðîæäåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåâûðîæäåí áëîê B22.23. Ïóñòü A íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n è A(I, J) åå íåâûðîæäåííàÿ ïîäìàòðèöà íàñòðîêàõ è ñòîëáöàõ, îïðåäåëåííûõ ñèñòåìàìè íîìåðîâ I = (i1 , .
. . , ik ) è J = (j1 , . . . , jk ), ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü k < n, à I ′ è J ′ äîïîëíèòåëüíûå ñèñòåìû íîìåðîâ. Äîêàçàòü, ÷òîdet A−1 (I ′ , J ′ ) = (−1)i1 +...+ik +j1 +...+jk det A(I, J)/ det A.24. Äîêàæèòå, ÷òî det(I + F ) 6= 0, åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû F ïîðÿäêà n ïî ìîäóëþ ìåíüøå1/n.25. Ïóñòü ÷èñëà x1, ..., xn , y1, ..., yn ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Äîêàçàòü íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèöû ñ ýëåìåíòàìè aij = 1/(xi − yj ).26.
ðóïïà H ïîðÿäêà n ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé ãðóïïû G ïîðÿäêà 2n. Ïðè ýòîì âñåíîðìàëüíûå ïîäãðóïïû ãðóïïû H ýòî H è {e}. Äîêàæèòå, ÷òî âñå íîðìàëüíûå ïîäãðóïïûãðóïïû G ýòî G, H è {e}.27.  êîíå÷íîé ãðóïïå G âûáðàíû ïîäãðóïïû H1 è H2 ïîðÿäêà n1 è n2, ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå,÷òî ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå H1H2 = {g ∈ G : g = h1h2, h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2} ðàâíî n1n2/d, ãäåd ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ïåðåñå÷åíèè H1 ∩ H2 .28. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ àáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà pq, ãäå p è q ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, ÿâëÿåòñÿöèêëè÷åñêîé.29. Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íå èçîìîðíà ãðóïïå âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ.30.
Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé áåñêîíå÷íîé ãðóïïå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïîäãðóïï áåñêîíå÷íî.31. Íàéäèòå âñå ãðóïïû, èçîìîðíûå ëþáîé ñâîåé íååäèíè÷íîé ïîäãðóïïå.32. Ïîäãðóïïà H ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû ñòåïåíè n îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (1) äëÿëþáûõ íîìåðîâ i, j ∈ {1, ..., n} ñóùåñòâóåò ïîäñòàíîâêà σ ∈ H òàêàÿ, ÷òî σ(i) = j ; (2) â Hñîäåðæàòñÿ òðàíñïîçèöèè (1, j) ïðè 2 ≤ j ≤ m è íåò òðàíñïîçèöèé âèäà (1, i), ãäå m + 1 ≤ i ≤ n.Äîêàæèòå, ÷òî n äåëèòñÿ íà m.33. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà pk â ñëó÷àå ïðîñòîãî p ñîäåðæèò ýëåìåíò ïîðÿäêà p..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
