Вопросы к Экзамену по Аналитической геометрии (1106315), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Векторы.Выведите формулу для вычисления векторного произведениявекторов в ортонормированному базисе.Выведите формулу двойного векторного произведения.Докажите, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятсяэтой точкой пополам.Разложите вектор a на две составляющие, одна из которых лежит в плоскости, перпендикулярной вектору n, а другая перпендикулярна этой плоскости.Решите векторное уравнение [x, a] = b (здесь a 6= 0, b — заданные векторы) и укажите необходимое и достаточное условиесуществования решения.Докажите тождество [a, b], [b, c], [c, a] = (a, b, c)2 .Докажите тождество abc (a, b, c)[x, y] = (a, x) (b, x) (c, x) . (a, y) (b, y) (c, y) 8.
Докажите тождество (x, a) (x, b) (x, c) (x, y, z)(a, b, c) = (y, a) (y, b) (y, c) . (z, a) (z, b) (z, c) 9. В треугольнике ABC точка D делит сторону [AB] в отношенииλ (т.е. |AD| : |DA| = λ). Выразите длину отрезка [CD] черездлины сторон треугольника (a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|) ичисло λ.10. В прямоугольном треугольнике ABC опущен перпендикуляр−−→[CH] на гипотенузу [AB]. Выразите вектор CH через векторы−−→−→a = CB и b = CA.11. В треугольнике ABC проведена высота [AH]. Выразите вектор−−→−→−→AH через векторы b = AB и c = AC.2.2. Матрицы.1.
Пусть матрицы A и B таковы, что оба произведения AB иBA существуют, т.е. A ∈ Rm×n и B ∈ Rn×m . Докажите, чтоtr(AB) = tr(BA).122. Найдите все матрицы второго порядка, квадраты которых равны (а) нулевой матрице; (б) единичной матрице.3. Пусть Ak = O. Докажите, что (I − A)−1 = I + A + A2 + · · · + Ak−1 .4. Матрица A такова, что A2 + A + I = O. Докажите, что A обратима, и найдите A−1 .5. Известно, что матрицы A и B обратимы и коммутируют. Докажите, что A−1 и B −1 также коммутируют.6.
Пусть X, Y — столбцы одинаковой высоты и A = XY T . Докажите, что существует такое число p, что A2 = pA.7. Матрицы A и B симметричны. Докажите, что матрица AB симметрична тогда и только тогда, когда A и B коммутируют.8. Пусть A ∈ Rn×n (т.е. A — вещественная квадратная матрица).Докажите, что из равенства tr(AT A) = 0 вытекает, что A = O.9. Докажите, что равенство AB − BA = I невозможно.2.3. Определители второго и третьего порядка.1. Докажите, что площадь параллелограмма, сторонами которогоявляются векторы a и b с координатами (a1 , a2 ) и (b1 , b2 ) (относительно некоторого ортонормированного базиса) соответственно,равна a1 a2 .S = ±b1 b2 2.
Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точкахA(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) равнаx1 y1 11S = ± x2 y2 1 .2 x y 1333. Пусть все элементы матрицы A второго порядка являются дифференцируемыми функциями одной переменной x, так что определитель det A этой матрицы также является функцией от x. Докажите, что det A — дифференцируемая функция, причём имеетместо формула a(x) b(x) ′ a′ (x) b′ (x) a(x) b(x) + ′ = c(x) d(x) c (x) d′ (x) .
c(x) d(x) 4. Для всех значений параметра p решите систему уравнений(p + 3)x +15y = p,px + (p + 4)y = p − 2.135. Для всех значений параметра p решите систему уравнений(p + 2)x +2py = 4,5x + (p + 3)y = 5.6. Пусть A — квадратная матрица порядка 3, B = adj A — её присоединённая матрица. Выразите det B через det A.2.4. Прямые и плоскости.1. Докажите, что если три прямые A1 x+B1 y = D1 , A2 x+B2 y = D2 ,A3 x + B3 y = D3 пересекаются в одной точке, тоA1 B1 D1 A2 B2 D2 = 0.A3 B3 D3 2.
Составьте полярное уравнение прямой, проходящей через точкиM1 (r1 , ϕ1 ) и M2 (r2 , ϕ2 ).3. Найдите необходимое и достаточное условие, при котором прямые в пространстве r = r1 +ta1 и r = r2 +sa2 : (а) скрещиваются;(б) пересекаются в единственной точке; (в) параллельны, но несовпадают; (г) совпадают.4. Прямая задана как пересечение двух плоскостей (r, n1 ) = D1 и(r, n2 ) = D2 .
Запишите уравнение этой прямой в виде [r, a] = b(т.е. выразите a, b через n1 , n2 , D1 , D2 ).5. Составьте уравнение прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые r = r 1 + ta1 и r = r 2 + ta2 и проходящей через точкуM0 (r 0 ), не лежащую ни на одной из этих прямых.6. Составьте уравнение прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые r = r 1 + ta1 и r = r 2 + ta2 под прямыми углами (т.е.уравнение общего перпендикуляра к этим прямым).7. Найдите необходимое и достаточное условие, при котором плоскости (r, n1 ) = D1 и (r, n2 ) = D2 : (а) пересекаются по прямойлинии; (б) параллельны, но не совпадают; (в) совпадают.8.
Даны прямая r = r 0 + ta и плоскость (r, n) = D. Найдите необходимое и достаточное условие того, что: (а) прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку), и вэтом случае найдите радиус-вектор точки пересечения; (б) прямая и плоскость параллельны (не имеют общих точек); (в) прямая лежит в плоскости.9. Прямая задана как пересечение двух плоскостей (r, n1 ) = D1 и(r, n2 ) = D2 . Запишите векторное параметрическое уравнениеэтой прямой, т.е. уравнение вида r = r 0 + ta.1410. Найдите радиус-вектор точки пересечения прямой [r, a] = b сплоскостью (r, n) = D.11.
Найдите проекцию точки M0 (r 0 ) на плоскость (r, n) = D параллельно прямой r = r 1 + ta при условии (a, n) 6= 0.12. Найдите проекцию точки M0 (r 0 ) на прямую r = r 1 + ta параллельно плоскости (r, n) = D при условии (a, n) 6= 0.13. Найдите ортогональную проекцию точки M0 (r 0 ) на прямую[r, a] = b.14. Найдите ортогональную проекцию точки M0 (r 0 ) на плоскостьr = r1 + ua + vb.15. Найдите расстояние между двумя параллельными плоскостямиr = r1 + ua + vb и r = r 2 + ua + vb.16. Найдите расстояние между двумя параллельными плоскостями(r, n) = D1 и (r, n) = D2 .17. Найдите расстояние от точки M0 (r0 ) до прямой [r, a] = b.18.
Составьте уравнение плоскости, содержащей параллельные прямые r = r 1 + ta и r = r 2 + ta.19. Найдите расстояние между параллельными прямыми r = r 1 +taи r = r 2 + ta.20. Найдите расстояние между параллельными прямыми [r, a] = b1и [r, a] = b2 .21. Составьте уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей (r, n1 ) = D1 и (r, n2 ) = D2 перпендикулярноплоскости (r, n3 ) = D3 .22. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (r 0 )и прямую [r, a] = b.23.
Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми [r, a1 ] = b1и [r, a2 ] = b2 .1.2.3.4.5.2.5. Линии второго порядка.Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса долюбой касательной к нему есть величина постоянная, и найдитееё.Докажите, что касательные к эллипсу отсекают на двух касательных к нему, проведённых в концах большой оси, отрезки,произведение которых равно квадрату малой полуоси эллипса.Получите параметрические уравнения гиперболы.Составьте уравнение гиперболы в системе координат, осями которой являются асимптоты гиперболы.Докажите, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы,пересекаются под прямым углом (т.е.
их касательные в точкепересечения перпендикулярны).156. Докажите, что отрезок любой касательной к эллипсу, заключённый между касательными, проведёнными в концах большой оси,виден из любого фокуса под прямым углом.7. Докажите, что для данной гиперболы произведение расстоянийот любой точки гиперболы до её асимптот есть величина постоянная, и найдите эту величину.8. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе, заключенныймежду её асимптотами, делится точкой касания пополам.9. Докажите, что две параболы с общим фокусом и противоположно направленными осями пересекаются под прямым углом (т.е.касательные в точке пересечения взаимно перпендикулярны).10. Докажите, что сумма обратных величин отрезков, на которыефокус параболы делит проходящую через него хорду, постоянна.Докажите, что отношение произведения длин этих отрезков кдлине хорды также постоянно.11.
Выведите формулы преобразования декартовых координат наплоскости при повороте и сдвиге системы координат.12. Выведите формулы преобразования коэффициентов уравнениялинии второго порядка при повороте системы координат и переносе начала координат.13. Опишите алгоритм приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и сдвига системы координат.14.
Перечислите основные ортогональные инварианты линий второго порядка и докажите их инвариантность..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
